数列的综合运用（新）.ppt

数列的综合运用 2014 高考热点 对于本考点 高考重点考查数列通项的求法 与数列有关的不等式的证明以及数列的实际应用题 数列的综合应用一般有四种题型 1 等差 等比数列的综合题 2 数列与其他章节知识的综合题 包括数列知识和指数 对数 不等式 三角函数 解析几何等知识的综合 3 数列的探索性问题 探索性问题检验学生探索规律的能力 因此是高考热点 这类问题对学生分析问题 解决问题的能力有较高要求 热点回顾 4 数列的实际应用 现实生活中涉及利率 产品利润 工作效率 人口增长 常常考虑用数列知识加以解决 1 某种细菌在培养过程中 每20分钟分裂一次 1个分裂成2个 经过3小时 这种细菌由1个可以繁殖成 A 511个B 512个C 1023个D 1024个解析 由题意知 细菌繁殖过程可以看作一个首项为1 公比为2的等比数列模型 所以a10 a1q9 29 512 故应选B 答案 B 2 数列 an 的通项公式是关于x的不等式x2 x nx n N 的解集中的整数个数 则数列 an 的前n项和Sn A n2B n n 1 C D n 1 n 2 解析 由x2 x nx 得0 x n 1 n N 因此an n Sn 答案 C 3 在直角坐标系中 O是坐标原点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 是第一象限的两个点 若1 x1 x2 4依次成等差数列 而1 y1 y2 8依次成等比数列 则 OP1P2的面积是 解析 由1 x1 x2 4依次成等差数列 得2x1 x2 1 x1 x2 5 解得x1 2 x2 3 又由1 y1 y2 8依次成等比数列 得y1y2 8 解得y1 2 y2 4 P1 2 2 P2 3 4 答案 1 4 已知数列 an 的通项公式是an n2 n 其中n N 是一个单调递减数列 则常数 的取值范围为 解析 由an 1 an n 1 2 n 1 n2 n 2n 1 0 得 2n 1 其中n N 因此 3 答案 3 5 某市2008年底有住房面积1200万平方米 计划从2009年起 每年拆除20万平方米的旧住房 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5 1 分别求2009年底和2010年底的住房面积 2 求2028年底的住房面积 计算结果以万平方米为单位 且精确到0 01 解 1 2009年底的住房面积为1200 1 5 20 1240 万平方米 2010年底的住房面积为1200 1 5 2 20 1 5 20 1282 万平方米 2009年底的住房面积为1240万平方米 2010年底的住房面积为1282万平方米 2 2028年底的住房面积为1200 1 5 20 20 1 5 19 20 1 5 18 20 1 5 20 1200 1 5 20 20 2522 64 万平方米 2028年底的住房面积约为2522 64万平方米 转化思想解决递推数列问题 例1 在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n N 1 证明 数列 an n 是等比数列 2 求数列 an 的前n项和Sn 3 证明 不等式Sn 1 4Sn对任意n N 皆成立 解 1 由题设an 1 4an 3n 1 得an 1 n 1 4 an n n N 又a1 1 1 所以数列 an n 是以首项为1 且公比为4的等比数列 2 由 1 可知an n 4n 1 于是数列 an 的通项公式为an 4n 1 n 所以 数列 an 的前n项和Sn 所以不等式Sn 1 4Sn对任意n N 皆成立 拓展提升 假设此题没有第 1 问 而只有 2 3 问 摆在面前的问题是 如何转化得到一个新的等比数列 下面介绍待定系数法 待定系数法 由题可设an 1 A n 1 B 4 an An B 展开得an 1 4an 3An 3B A 比较an 1 4an 3n 1得 由an 1 4an 3n 1 得an 1 n 1 4 an n n 1 数列 an n 为等比数列 数列与函数 不等式的综合应用 分析 对于第 1 2 问直接利用函数的相关知识解决 第 3 问可采用放缩法证明 拓展提升 本题是把函数与数列 以及不等式结合在一起的题目 前两问是函数问题 第 3 问中 把数列引入 得到数列 是等差数列 这是问题的关键 在对不等式证明的时候 主要应用了放缩法 技巧性很高 也是不等式证明中最难的一种方法 对不等式证明时 采用了分类讨论的思想 特别是对n 1时的分析 在解题时容易漏掉而导致错误 数列中的探索性问题 1 an xn yn 其中 xn 为等差数列 yn 为等比数列 2 an xn yn 其中 xn 和 yn 都为等差数列 3 an xn yn 其中 xn 为等差数列 yn 为等比数列 4 an xn yn 其中 xn 和 yn 都为等比数列其中 正确的有 请填写相应的序号 答案 3 拓展提升 本题构思新颖 有研究性学习的情境 解法一是通性通法 由Sn求an 再根据an的结构特征作出判断 解法二利用了选择题的特征 通过赋值a b 将问题特殊化 从而简化运算 这也是解选择题的常用技巧 图1中的 1 2 3 4 分别包含1 5 13和25个互不重叠的单位正方形 按同样的方式构造图形 则第50个图包含 个互不重叠的单位正方形 图1 解析 由图形知a2 a1 4 1 a3 a2 4 2 a4 a3 4 3 a50 a49 4 49 相加得a50 a1 4 1 2 3 49 4 4900 a50 4901 答案 4901 数列的创新型问题 例4 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 图2 他们研究过图2 1 中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图2 2 中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A 289B 1024C 1225D 1378 分析 由于命题只是要求从选项中选出既是三角形数又是正方形数的选项 所以首先应从选项中找到完全平方数 再检验它们是否满足三角形数即可 解析 由1024 322 1225 352知 有两个正方形数 又三角形数的通项公式为an 1 2 3 n 由于17为质数 故不能分解成n n 1 的两数之积 故这个数不可能是三角形数 由得n n 1 2 352 2 5 5 7 7 49 50 此时n 49 由 得n n 1 2 322 2 210 由于n n 1一个为奇数 一个为偶数 故2 210不可能分解为一个奇数一个偶数的乘积 此时无解 于是 1225既是三角形数又是正方形数 答案 C 拓展提升 本题源于数学史料 其背景是古希腊毕达哥拉斯学派研究的多边形数及日本数学家提出的 角谷猜想 本题既考查了考生的直觉观察能力 正确的运算能力 又彰显了数学文化 渗透了新课标的理念 对于数列 an 若存在常数M 使得对任意n N an与an 1中至少有一个不小于M 则记 an M 那么下列命题正确的是 A 若 an M 则数列 an 的各项均大于等于MB 若 an M bn M 则 an bn 2MC 若 an M 则 a M2D 若 an M 则 2an 1 2M 1 解析 对于A 即若 an M an与an 1中至少有一个不小于M 则数列 an 的各项不一定都大于M 错误 对于B 若 an M an与an 1中至少有一个不小于M bn M bn与bn 1中至少有一个不小于M 但它们不一定是同一个n值 则 an bn 2M不成立 对于C 若 an M 数列各项的正负及M的正负不确定 则 a M2不成立 则只有D成立 故选D 答案 D 1 在解决数列综合问题时要注意以下方面 1 用函数的观点和思想认识数列 将数列的通项公式与求和公式都看作自变量为正整数的函数 2 用方程思想去处理数列问题 把通项公式与求和公式看作列方程的等量关系 3 用转化思想去处理数学问题 将实际问题转化为等差数列或等比数列问题 4 用猜想与递推的思想去解决数学问题 2 数列应用问题利用数列模型解决的实际问题称为数列应用问题 在实际问题中 有很多问题都可转化为数列问题进行处理 如经济上涉及的利润 成本 效益的增减问题 在人口数量的研究中涉及的增长率问题以及金融中涉及的利率问题 都与数列问题相联系 处理数列应用问题的基本思想与处理函数应用问题的基本思想是一致的 数列应用题的解法一般是根据题设条件 建立目标函数关系 即等差数列或等比数列模型