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静力学图2-1-221. 如图2-1-22所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为。试求铁链A端受的拉力T。解.以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。图2-1-25在铁链上任取长为L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图2-1-24所示。由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足： 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大T，所以整个铁链对A端的拉力是各段上T的和，即 ： 观察 的意义，见图2-1-25，由于很小，所以CDOC，OCE=Lcos表示L在竖直方向上的投影R，所以 可得铁链A端受的拉力 图2-1-232. 半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为R，且弹性绳圈的劲度系数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图2-1-23所示，若平衡时弹性绳圈长为，求弹性绳圈的劲度系数k。 图2-1-26解.由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段m两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F。在弹性绳圈上任取一小段质量为m作为研究对象，进行受力分析。但是m受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察。选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系。从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图2-1-26和图2-1-27。先看俯视图2-1-28，设在弹性绳圈的平面上，m所对的圆心角是，则每一小段的质量图2-1-27 m在该平面上受拉力F的作用，合力为因为当很小时， 所以 再看正视图2-1-29，m受重力mg，支持力N，二力的合力与T平衡，即 现在弹性绳圈的半径为 所以 因此T= 、联立得，解得弹性绳圈的张力为： 设弹性绳圈的伸长量为x 则 所以绳圈的劲度系数为：图2-2-183 如图2-2-18所示，在水平放置半径为R的光滑圆弧槽内，有两个半径为R/3，重分别为G1和G2的小球A和B，已知G2G1，平衡时槽面圆心O与A球球心连线与竖直方向的夹角a多大？图2-2-21解.作出A、B两球受力如图，依题意可得几何0AB为等边三角形，两球由三力平衡关系有：解得：图2-3-164如图2-3-16所示，在光滑水平地面上有一木板，一木棒可沿水平轴O转动，其下端B搁在木板上，而整个系统处于静 止状态。现在用水平力F推木板，但木板仍没动。由此可以得出结论：施力F后，木棒与木板之间的正压力（ ） A变大 B变小C不变 D条件不足，不能判断如何变化 解.B图2-3-195. 如图2-3-19所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解.这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为Ff ，支持力为FN ，重力为G ，力矩平衡方程为：Ff R + FN（R + L）= G（R + L） 球和板已相对滑动，故：Ff = FN 解可得：Ff = 再看木板的平衡，F =Ff 。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦力为Ff= = F。图2-3-226. 如图2-3-22所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球心O点正下方C点处，OC=3R/8， 半球重为G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重为G/8的物体，它与半球平在间的动摩擦因数， 求无滑动时物体离球心O点最大距离是多少？解.物体离O点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度越大，但物体在球体斜面上保持相对静止时，有限度。设物体距球心为x时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴，根据平衡条件有：得 可见，x随增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则： 图2-3-237. 有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角，如图2-3-23所示。（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离为杆长），要使杆不滑倒，力F最大不能越过多少？（2）若将作用点移到处时，情况又如何？解.杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。杆的受力如图2-3-25所示，由平衡条件得 另由上式可知，F增大时，Ff相应也增大，故当Ff增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：解得：由上式又可知，当时对F就没有限制了。（1）当，将有关数据代入的表达式得 （2）当无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。图2-3-248. 如图2-3-24所示,六个完全相同的刚性长条薄片依次架在一个水平碗上，一端搁在碗口，另一端架在另一个薄片的正中点。现将质量为m的质点置于A1A6的中点处，忽略各薄片的自重，试求A1B1薄片对A6B6的压力。解.设所求的力为FN ，则根据各薄片力矩平衡可以推知各薄片在碗口受的支持力为图2-3-26中所示的值。但是，在求B6处的支持力FN时，FN32FN ，而应隔离为图2-3-27所示 以m所放置的点为转轴，列力矩平衡方程得：解得：FN= 11FN 以B6为转轴，列力矩平衡方程得：解得：FN=图2-5-12答案：mg 。9.半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图2-5-12所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角。解.对A点应用力矩平衡即可。答：= arcsin图2-5-1310.如图2-5-13所示，在墙角处有一质量为m的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一端悬于竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C点，测得AC段的长度为BC段的两倍，且在B点附近的切线与墙壁夹角为，则绳在最低点C处的张力和A处的张力分别是多大？解.取BC段绳为研究对象，它受重力、AC段水平向左的拉力TC和B处墙的弹力TB，由三力平衡可得TC= tan再取AC段绳为研究对象，它受重力、BC段水平向右的拉力TC和天花板的弹力TA，由三力平衡可得：TA= 图2-5-1511. 如图2-5-15所示，在竖直墙面上有两根相距为2a的水平木桩A和B ，另有一细木棒置于A之上、B之下，与竖直方向成角静止。棒与A、B的摩擦系数均为，现由于A、B的摩擦力恰好能使木棒不