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第三章三角函数 解三角形 第七节正弦定理和余弦定理 一 正 余弦定理 b2 c2 2bccosA a2 c2 2accosB a2 b2 2abcosC 2RsinB2RsinC 2RsinA sinA sinB sinC 1 在 ABC中 sinA sinB是A B的什么条件 2 在 ABC中 已知a b A解三角形时 如何判断解的情况 答案 B 2 2012 上海高考 在 ABC中 若sin2A sin2B sin2C 则 ABC的形状是 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不能确定 答案 C 答案 D 答案 2 考向探寻 1 利用正弦定理解斜三角形 2 利用余弦定理解斜三角形 利用正 余弦定理解三角形 答案 B 答案 B 1 已知两边和一边的对角解三角形时 可能出现两解 一解 无解三种情况 解题时应根据已知条件具体判断解的情况 常用方法是根据图形或由 大边对大角 作出判断 2 三角形中常见的结论 A B C 三角形中大边对大角 反之亦然 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 答案 D 考向探寻 利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状 利用正 余弦定理判定三角形的形状 典例剖析 1 已知 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 且三内角A B C成等差数列 三边长a b c成等比数列 则 ABC的形状为A 等边三角形B 非等边的等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形 2 在 ABC中 a b c分别为内角A B C的对边 且2asinA 2b c sinB 2c b sinC 求A的大小 若sinB sinC 1 试判断 ABC的形状 答案 A 判断三角形形状的方法 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边与边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意A B C 这个结论的运用 活学活用 2 1 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且2c2 2a2 2b2 ab 则 ABC是 A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 等边三角形 答案 A 2 在 ABC中 a b c分别为角A B C所对的边 若a 2bcosC 则此三角形一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰三角形或直角三角形答案 C 考向探寻 1 根据已知条件求三角形的面积 2 已知三角形的面积 解三角形 与三角形面积有关的问题 1 三角形的面积经常与正 余弦定理结合在一起考查 解题时要注意方程思想的运用 即通过正 余弦定理建立起方程 组 进而求得边或角 2 要熟记常用的面积公式及其变形 解三角形时忽视解的讨论致错 已知两边及其中一边的对角解三角形时 注意要对解的情况进行讨论 讨论的根据一是所求的正弦值是否大于1
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