角平分线与角的对称性.doc

1 专题二专题二 角平分线与角的对称性角平分线与角的对称性 一 教学目标 一 教学目标 1 知识与技能 培养学生认识并能运用角平分线所在直线是角的对称轴这一特点 利用角 的对称性解决相关题目 2 过程与方法 培养学生观察图形 研究问题的能力 掌握等量变化的技巧 3 情感态度与价值观 指导相应的学习方法 使学生不仅学会数学 而且会学数学 二 教学重点 难点 二 教学重点 难点 1 教学重点 掌握角的对称性与角平分线的关系 2 教学难点 如何利用这种对称性得到线段和角的等量关系 三 教学方法 引导发现 练习提高三 教学方法 引导发现 练习提高 四 教学手段 多媒体电脑 黑板四 教学手段 多媒体电脑 黑板 五 具体内容 五 具体内容 一 复习引入 一 复习引入 角平分线的常用使用环境基本图形 当角平分线构成的等量关系和 三角形 结合的时候 可以构造 轴对称图形 当角平分线构成的等量关系和 距离 结合的时候 可以利用角平 分线的性质 当角平分线构成的等量关系和 等腰三角形 结合的时候 可以利 用等腰三角形 三线合一 二 例题 二 例题 例例 1 已知 如图 1 在 ABC 中 AB AC A 100 BD 为 B 的平分线 求证 BC BD AD 2 1 A C D B E B C D 2 1 A E F G 21 A B C D A B C D 图 1 2 设计思路设计思路 这道题要利用角平分线构造轴对称图形 截长补短是常用辅助线 可以借助这 道题感受作辅助线的意义 分析分析 容易想到在 BC 上截 BE 使 BE BD 再来证明 AD EC 由已知可得 DBC 20 DCE 40 连结 DE 那么 DEB 180 20 2 80 得 DE EC 只需证明 DE AD 观察图 形 可以在 BC 上截 BF BA 便构造出 BDF 与 BDA 全等 得 DF AD 接下来再证明 DF DE 即可 证明证明 在 BC 上取 E F 使 BE BD BF BA 连结 DF DE 在 ABC 中 AB AC A 100 ABC C 180 100 2 40 BD 平分 ABC ABD FBD 20 又 BD BD BA BF ABD FBD DF AD BFD BAD 100 DFE 180 100 80 BD BE DEF 180 20 2 80 DFE DEF DE DF AD 在 DEC 中 EDC 80 40 40 EDC C DE EC AD EC BC BE EC BD AD 点拨点拨 这道题需要利用割补法 构造另一个三角形与之全等 再利用全等三角形对应元素相 等的性质 证得命题成立 例例 2 如图 1 在 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 从 ABC 两顶点 B C 分别向 BAC 的 平分线作垂线 BE 和 CF 垂足分别是 E F 又 BC 的中 点为 P 求证 PEF PFE A B C D EF P A BC D F E 图 1 3 设计思路设计思路 融入角平分线和垂直共同构造轴对称图形 分析分析 在这道题中 CF BE 分别是过角两边上的点向角平分线所作的垂线段 垂直 和 角平分线 都是构造轴对称图形的基本元素 因此只要分别延长 CF 延长 BE 都可构造轴 对称图形 在得到的轴对称得到了中点 点 F E P 分别是所在线段中点 因此再用中位线即 可得到平行关系 最后利用平行关系代换等角即可得证 证明证明 延长 CF 交 AB 于 N 延长 BE 交 AC 延长线于 M AD 是 BAC 的平分线 3 4 在 ANF 和 ACF 中 AF CN 得 AFN AFC 90 又 AF AF ANF ACF NF CF 同理可得 BE ME 点 P 是 BC 中点 PF PE 分别为 CNB 和 BCM 的中位线 PF BN 即 PF AB 1 3 同理 PE CM 即 PE AC 2 4 1 2 即 PEF PFE 点拨点拨 观察图形中的 垂直 和 角平分线 这些都是构造轴对称图形的基本元素 在轴 对称图形中我们可以利用对应线段等 角等的关系进行等量代换 例例 3 09 海淀二模 海淀二模 ABC 是等边三角形 P 为平面内的一个动点 BP BA 若 PBC 180 且 PBC 平分线上的一点 D 满足 DB DA 0 1 当 BP 与 BA 重合时 如图 1 BPD 2 当 BP 在 ABC 的内部时 如图 2 求 BPD 的度数 3 当 BP 在 ABC 的外部时 请你直接写出 BPD 的度数 并画出相应的图形 M N P A BC D 1 2 4 3 F E 4 设设计计 思路思路 加入旋转 使得这道题目中的对称性不是那么好找了 但如果有前面的铺垫 这道题可以 很好的使学生体会角平分线的作用 分析 分析 由于 BPD 并不在一个特殊三角形中 直接求它的度数是很困难的 因此想到 可以转移角 它所在的 BPD 各个角中 只有 PBD 由于 BD 是 PBC 角平分线的缘故与 其它角有等量关系 因此这就是这道题的突破口 当角平分线与 三角形 结合时 可以构 造轴对称图形 容易想到连接 CD 接下来再结合边的等量关系证明全等即可 解 解 1 BPD 30 2 如图 2 1 连结 CD 解法一 点 D 在 PBC 的平分线上 1 2 ABC 是等边三角形 BA BC AC ACB 60 BP BA BP BC BD BD PBD CBD BPD 3 DB DA BC AC CD CD BCD ACD 1 3430 2 ACB BPD 30 解法二 ABC 是等边三角形 BA BC AC DB DA 图 2 1 4 32 1D A B C P 5 CD 垂直平分 AB 1 3430 2 ACB BP BA BP BC 点 D 在 PBC 的平分线上 PBD 与 CBD 关于 BD 所在直线对称 BPD 3 BPD 30 3 BPD 30 或 150 图形见图 3 1 图 3 2 点拨点拨 当我们遇到题目当中有很多等量关系的情况时 需要找到架接等量关系的桥梁 在这 道题目中 有三组等量关系 关于等边 ABC 的 关于 BP BA 的 关于 DA DB 的 而找到 AB 这座 桥 却是很重要的 它是等量代换的重要元素 另外 在第三问画图时 需要注意全面考 虑点 P 点 D 的可能性 有规律的是 点 D 一定在线段 AB 的垂直平分线上 例例 4 08 上海 正方形 ABCD 的边长为 2 E 是射线 CD 上的动点 不与点 D 重合 直线 AE 交直线 BC 于点 G BAE 的平分线交射线 BC 于点 O 1 如图 1 当 CE 3 2 时 求线段 BG 的长 2 当点 O 在线段 BC 上时 设 BO y 求y与x的函数解析式 3 当x ED CE CE 2ED 时 求线段 BO 的长 图 3 2图 3 1 或 D A BC P D A CB P D A B C P E O 备备用用图图 AD C B G CB A D 图 1 6 设计思路设计思路 到了例 4 构造轴对称图形已经不是难度 而需要适度提升找数量关系的难度 分析分析 在这道题目中 有这样的字眼 E 是 射线 CD 上的动点 这本身就意味着关于点 E 的位置是由两种可能性的 需要依题意探究位置可能性 第 1 问可以直接从 CE 入手 自 然得到 DE 的长 用相似得 BG 长度 第 2 问中的 x 就比较不常规 是比值的形式 但线段量 的关系一直用比表示 并不便利 因此可以将一条线段长用含 x 和另一条线段长的式子来表 示 接下来 将 BO 代换到角平分线的另一边 就可以把 x y 都放到一组相似三角形中去了 第 3 问显然要结合点 E 的位置进行讨论 解 解 1 在边长为 2 的正方形ABCD中 3 2 CE 得 3 4 DE 又 ADBC 即 ADCG ADE GCE 1 2 CGCE ADDE 得1CG 2BC 3BG 2 当点O在线段BC上时 过点O作 AGOF 垂足为点F AO为BAE 的角平分线 90 ABO yBOOF 在正方形ABCD中 BCAD CGCE x ADED 2 AD xCG2 又 CE x ED 2CEED 得 x x CE 1 2 在 Rt ABG 中 AB 2 BG 2 2x B 90 2 222AGxx 2AFAB 2 2222FGAGAFxx E O AD C B G F 7 易证 FOG BAG OFAB FGBG 即 AB yFG BG 得 1 2222 2 x xx y 0 x 3 当EDCE2 时 当点O在线段BC上时 如图 3 1 即2 x 由 2 得 3 2102 yOB 当点O在线段BC延长线上时 如图 3 2 CE 4 ED DC 2 在 Rt ADE 中 AE 22 设AO交线段DC于点H AO是BAE 的平分线 即HAEBAH 又 CDAB AHEBAH AHEHAE 22 AEEH 224 CH CDAB BO CO AB CH 即 BO BO2 2 224 得222 BO 点拨点拨 找到边的关系是这道题的关键 可利用的条件很多 有相似 角平分线性质 勾股定 理和正方形性质 只要找到中心量 用它将需要的线段表示出来就可以了 三 练习 三 练习 练习练习 1 09 嘉兴中考 如图 等腰 ABC 中 底边aBC 36A ABC 的平分线交 AC 于 D BCD 的平分线交 BD 于 E 设 2 15 k 则 DE A A ak 2 B ak 3 C 2 k a D 3 k a 练习练习 2 09 陕西 如图 在锐角中 ABC 图 3 2 H O G E A B C D E O AD C B G F 图 3 1 A D C E B A B C D N M 8 的平分线交于点分别是和上4 245ABBAC BAC BCDMN ADAB 的动点 则的最小值是 4BMMN 练习练习 3 如图 AD 是 ABC 的角平分线 EF 是 AD 的垂直平分线 交 BC 的延长线于点 F 连 接 AF 求证 BAF ACF 证明 AD 是 ABC 的角平分线 BAD CAD EF 是 AD 的垂直平分线 FA FD FAD FDA 又 ACF FDA CAD BAF FAD BAD ACF BAF 练习练习 4 已知 如图 ABC 中 ABC 3 C AE 平分 BAC BE AE 于 E 求证 AC AB 2BE 证明 延长 BE 交 AC 于点 F AE 平分 BAC 1 2 又 AEB AEF 90 AE AE ABE AFE AB AF 3 4 BE FE ABC 3 C 又 ABC 3 5 4 5 C 5 C 2 C 5 3 C 2 C 5 C 5 BF FC AC AB AF FC AB FC BF 2BE AC AB 2BE 练习练习 5 09 宣武二模 如图 在 ABC 中 CAB ABC 的平分线交于点 D DE AC F E A B C D E CB A 5 5 4 4 3 3 2 21 1 F E CB A 9 交 BC 于点 E DF BC 交 AC 于点 F 求证 四边形 DECF 为菱形 证明 证法一 连结 CD DE AC DF BC 四边形 DECF 为平行四边形 CAB ABC 的平分线交于点 D 点 D 是 ABC 的内心 CD 平分 ACB 即 FCD ECD DF BC FDC ECD FCD FDC FC FD 平行四边形 DECF 为菱形 证法二 过 D 分别作 DG AB 于 G DH BC 于 H DI AC 于 I AD BD 分别平分 CAB ABC DI DG DG DH