一类Hilbert型不等式的改进和推广硕士学位论文.doc

分类号 ICS 学校代码 10136 学 号 200900081硕士学位论文一类Hilbert型不等式的改进和推广On an Extension of Hilberts Inequality and Generation毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日指导教师评阅书指导教师评价：一、撰写（设计）过程1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 及格 不及格2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 优 良 中 及格 不及格3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 优 良 中 及格 不及格4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 优 良 中 及格 不及格5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）指导教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日评阅教师评阅书评阅教师评价：一、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）评阅教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日教研室（或答辩小组）及教学系意见教研室（或答辩小组）评价：一、答辩过程1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 优 良 中 及格 不及格2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 良 中 及格 不及格3、学生答辩过程中的精神状态 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格评定成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）教研室主任（或答辩小组组长）： （签名）年 月 日教学系意见：系主任： （签名）年 月 日摘 要1908年，德国数学家Hilbert提出并证明了Hilbert不等式，1925年，英国数学家Hardy引入了一对共轭的参数后，将Hilbert不等式推广为Hardy-Hilbert型不等式，后我们将其统称为Hilbert型不等式，从此有关Hilbert型不等式理论的研究非常活跃，诸多文献丰富和发展着Hilbert型不等式理论。且作为数学工具，其在众多领域起着十分重要的作用。1991年，大连理工大学的数学家徐利治教授首次倡导运用权系数的方法以建立加强型Hilbert型不等式和Hardy-Hilbert型不等式I.Schur控制关系和Schur凸函数两个最基本的概念1925 年，Marshall和Olkin的名著 “Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications”系统地阐述了控制不等式理论，从此Schur凸性理论研究引起了人们的广泛兴趣目前，Schur凸性的研究非常活跃，众多文献中讨论了对称函数的Schur凸性，且在数学其它分支中有重要应用，并获得了众多经典结果 1923年，I.Schur证明了初等对称函数和商的Schur凸性问题，1999年，石焕南教授首先研究了初等对称函数差的Schur凸性，之后文29(1957)，30(1961)，31(2004)和文32(2010)也研究了此类的问题另外，2007年，关开中在文16中定义并研究了对称函数： ，(其中，为正整数)的Schur凸性问题，并提出一个猜想2009年，褚玉明等人在中国科学中解决了这个猜想本文，研究了下面的内容：首先定义了两类对称函数和：，(其中为区间，)，然后研究了和的Schur凸性、Schur几何凸性和Schur调和凸性及其应用问题 另外，我们还定义了对称函数：， (，)，并研究了对称函数和的Schur凸性、Schur几何凸性和Schur调和凸性，得到了一般结果，并顺便解决了对称函数的Schur几何凸性和Schur调和凸性问题关键词：Hilbert型不等式；参数；权系数；共轭指数；Euler-Maclaurin求和公式On Schur-convexity for Three Type of Symmetric FunctionsAbstractI. Schur firstly introduced two basic concepts: control relationship and Schur-convex function in 1923. In 1979, Marshall and Olkin systematically illustrated the control inequality theory in the famous book Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications. From then on, more and more people show interest in the study on Schur-convexity. Currently, the study on Schur-convexity is very active. There are many literatures discuss the Schur-convexity for symmetric functions. These properties could be applied to the other branch of mathematics and some classical results are obtained. In 1923, I. Schur firstly studied the Schur- convexity for the elementary symmetric functionsand the quotient. In 1999, Shi Huannan studied the Schur- convexity for , and then paper 30(1957),31(1961),32(2004) and 33 (2010) also studied this type problems. In addition, in 2007, Guan Kaizhong defined and studied on the Schur- convexity for the symmetric functions: (Where, ，is a positive integer) and proposed a conjecture in paper 16. In 2009, Chu Yuming et al solved this conjecture in Science China. This paper studies on the Schur-convexity, the Schur-geometry convexity, the Schur-congruity convexity and its application for symmetric functions and : , , (Where is a interval, ，). Moreover, we defined the symmetric function (，)：and studied the Schur- convexity, the Schur-geometry convexity and the Schur- congruity convexity for symmetric functionsand. Some general results are obtained, and the problems of the Schur-geometry convexity and Schur- congruity convexity for symmetric functionsare obtained. Keywords: symmetric function; logarithmic convex function; Schur-convexity;Schur-geometry convexity; Schur- congruity convexity Directed by: Prof. BaoyintegusiApplicant for Master degree: Nie feng-fei (Applied Mathematics)(College of Mathematics，Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao 028043，China)目 录摘 要IAbstractII目 录IV第一章 引言11.1 本课题的选题意义及背景11.2 与本课题有关的Hilbert型不等式的研究现状51.3 本文主要研究内容6第二章 一类Hilbert型不等式的研究72.1 关于Hilbert型不等式在权系数下的研究义及相关引理7第三章 Hilbert型不等式的进一步研究113.1 关于Hilbert型不等式的进一步研究的定义及相关引理113.2 关于对称函数商的Schur凸性123.3 特殊形式的对称函数商的Schur凸性134.1关开中对称函数及其Schur凸性的定义及相关引理13致 谢15作者简介1623 内蒙古民族大学硕士学位论文 23第一章 引言1.1 本课题的选题意义及背景随着科学技术的迅速发展，等式理论及相关知识已不能满足现代科学的需要，不等式理论和方法业已成为现代科技理论必不可少的工具。数学不等式学科是一门研究数量之间比较大小及变量变化之间相互制约的关系的学科。许多问题中，往往同时存在着若干量，涉及到的相互关系，常常被归结为证明某个或某些不等式问题。从而，作为数学工具，不等式在众多领域起着十分重要的作用。诸如分析不等式、图论和矩阵论、概率论、统计学、组合论、优化理论有着密切的联系，甚至在实验、可靠性、信息安全性及相关领域中也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为不等式理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，不等式理论一直在不断丰富和发展着。1908年，德国数学家Hilbert提出并证明了著名不等式： .1925年，英国数学家Hardy引入了一对共轭的参数后，将其推广得到了Hardy-Hilbert不等式：.1934年，哈代等在“Inequations”中，归纳了数篇相关文章的研究思想，使关于1齐次核Hilbert型不等式的基本理论大致完成。1991年，大连理工大学的数学家徐利治教授首次倡导运用权系数的方法以建立加强型Hilbert型不等式和Hardy-Hilbert型不等式，并提出了2个公开问题，征求加强式子中常数的最佳值。近些年来，Hilbert型不等式一直受到数学界的关注，许多数学家对它做了大量的改进及推广工作。依杨必成教授总结，Hilbert型不等式的研究大致分为以下四个阶段：第一阶段：1992至1997年间，湖南吉首大学高明哲教授与广东第二师范学院杨必成教授解决了徐利治提出的公开问题。这一期间的研究说明，通过巧妙配方产生权系数，并辅以分析技巧估算它，从而建立加强型的Hilbert型不等式或Hardy-Hilbert型不等式，这就是所谓权系数方法，它是推动Hilbert型不等式理论研究的重要方法。第二阶段：1998至2003年间，杨必成运用权系数方法伴之引入独立参数及Beta函数，把1齐次核Hilbert型不等式提升到一般负数齐次核的相关不等式。第三阶段：2004至2008年间，杨必成发现了对偶的Hardy-Hilbert型不等式，构造了逆向的Hilbert型不等式，后续地结合算子理论，为建立Hilbert型不等式及Hilbert型算子理论打下基础。第四阶段：在纪念Hilbert型不等式诞生百年之际，杨必成积累研究成果，开始著书立说，出现了较系统的Hilbert型不等式理论。其中代表著作有算子范数与Hilbert型不等式、Hilbert-Type Integral Inequalities、Discrete Hilbert-Type Inequalities、Hilbert-Type Integral Operators and Their Inequalities。下面给出与本文相关的定义及判断条件：本文约定为实数列，满足参数，且参数，且参数标记权系数为及加参数后的的权系数，本文对此做了估计。这里标记一样了这里.定义函数及义数mators and Their alities定义1.1.1若为实数列，满足，则不等式称为Hilbert不等式，其中，常数因子为最佳值。定义1.1.2设为实数列，满足，得到了Hardy-Hilbert不等式：，其中，常数因子是最佳值。以上不等式统称为Hilbert型不等式。定理1.1.1在权系数下，这里.2几个引理引理2.1 (1)(改进的Euler-Maclaurin求和公式) 设，则.引理2.2 设，则(1) 1 ，(2) 4 引理2.3 设，则，其中,引理2.4 设，则，其中，。其中，杨必成给出了一个具有最佳常数的不等式及其等价式。,.2005年，杨必成在上述条件下又引入独立参数，得到了下列不等式：,同时还有其等价式。Hilbert型不等式在分析学等领域有着重要的地位。在对Hilbert型不等式的众多加强工作中，大多都用到了Euler-Maclaurin求和公式，2010年黄启亮就曾提出并证明了一个有关权系数与Euler-Maclaurin求和公式相联系的估算方法：这里,对于,定义的权系数为 .本文的目的是给出上面不等式中权函数的加强推广式，并对其进行了估算。作为应用，给出了一个较上述内容更一般化的推广形式。下面对本文的权系数进行估计。这里,.1.2 与本课题有关的Hilbert型不等式的研究现状近些年来，数学工作者从不同侧面不同角度论述了Hilbert型算子及其不等式应用的理论。依据权系数方法参数化思想及算子理论，主要研究若干类型的Hilbert离散型不等式Hilbert积分型不等式Hilbert型算子的范数表示，合成性质和不等式应用。该领域国内外研究现状及趋势：1908年，数学家David Hilbert发表了以其名字命名的“Hilbert不等式”。由此引起不少研究者的关注。1925年，哈代引入了一对共轭参数，推广了Hilbert不等式，史称Hardy-Hilbert不等式。后续，他又完成了负一次齐次核的基本理论。近年来，对不等式理论感兴趣的数学工作者仍在继续研究这个古典的不等式。1991年，徐利治首次提出权系数方法，加强了Hilbert不等式及Hardy-Hilbert不等式。2003年至今，杨必成改进了权系数方法并引入了独立参数，发现了对偶的Hardy-Hilbert不等式及参数化的Hilbert不等式等相关理论。数学不等式一直是20世纪非常活跃而有吸引力的研究领域,特别是该世纪90年代不等式研究空前活跃，研究的深度广度迅速扩大。目前国内关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如2009年，杨必成出版了算子范数与Hilbert不等式；2009年至2010年，他又出版了的两部英文专著“Hilbert-Type Integral Inequalities”及“Discrete Hilbert-Type Inequalities”。这三本书，均以权系数方法，参数化思想及算子理论为主要工具，从不同侧面，不同角度论述了Hilbert算子及不等式的理论，内容覆盖了近年来的文献及主要成果。数学不等式理论充满蓬勃生机兴旺发达，有着广阔的前景和良好的发展前途。特别，在1990年LCHsu等学者认真地研究了Hardy原来采用的方法（文献2020Hsu，LC&Y K Guo A Refinement of HardyRieszs Extended Hi lbert Inequali tyJ， J Math Res Exp，1990， lO (4)）Hsu和Guo20率先引入权函数，将不等式(15)改进为：砉烹瞽(g)口：耀嘶)醪r (110)后来， Hsu2727Hsu， LC&Y KGUO Note on HardyRiesz s Extension ofHi lberts InequalityJ，Chinese Quarterly Journal of Mathemat ics，1991。6(1)：7577和Gao2828Gao， MZ An improvement of HardyRieszs Extension of theHilberts Inequal ityJ J Math Res Exp， 1994，14(2)两年后，Gao进一步改进权函数 2929Gao，MZA Note on the HardyHi 1bert Inequali tyJJMathAnal Appl， 1996，204(1)：346351再次精确权函数为如下结果：喜熹(扩=赢一辔m在30，31中Yang和Gao计算出一个 (以)的一个下确界和上确界2424Gao， MZ A Supremum on HardyHi lbert s Inequal i ty wi thWeightJJ Math Study， 1998， 31(1)：1823，从而解决了文2121Hsu，LC&YJWangA Refinement of Hilberts Double SeriesTheoremJJ Math Res Exp，1991，1 1(1)：143144和2727Hsu， LC&Y KGUO Note on HardyRiesz s Extension ofHi lberts InequalityJ，Chinese Quarterly Journal of Mathemat ics，1991。6(1)：7577提出的问题在权系数下，定理1.1.1定理1.1.1设,且，则,.定理1.1.1 ，这里. 对应的等价形式定理1.1.1设,且， ，则，1.3 本文主要研究内容(1) 将建立新型权系数的有关函数，讨论相关不等式，进行比较，并给出一些应用。(2) 将各种Hilbert型不等式之间的联系和权系数，参数等相关内容结合起来，进一步研究Hilbert型不等式的等价形式及其逆等有关知识。(3) 将所得到的广义Hilbert型不等式的性质。(4) 对已有的不等式进行推广。众多文献研究了Hilbert型不等式问题7,8,14-32，本文共分三章：第一章，简述课题的发展历程研究现状与本文所做的工作。第二章，通过引入一个适当的权系数，利用逼近论和欧拉一马克劳林求和公式，得到了关于双重级数型Hilbert型不等式的一个新的改进，得到了一个原有Hilbert型不等式的一般加强形式第三章，引入单参数，讨论在权系数下下的改进形式，同时证明了与其相类似的结论和应用，从而得到了Hilbert型不等式的一般结果第四章，讨论在权系数下的改进形式，引入单参数在权系数下，得到了若干结果第二章 一类Hilbert型不等式的研究2.1 关于Hilbert型不等式在权系数下的研究义及相关引理本章通过引入一个适当的权函数，并运用Euler-Maclaurin求和方法，对关于Hilbert级数不等式进行了一个新的加强结果，作为应用，给出了一些关于Hilbert级数不等式类似的结果。为了证明我们的结论，我们需要下列引理：引理2.1 设，定义函数则,，且 (2.1)其中.引理2.2 设，则(1) 1 ， (2) 4 引理2.3 设，则 ， (2.2)其中,证 由引理2.1和引理2.2，有 (2.3)因函数为关于的严格单调递增函数，那么，有，又，有，从而，有， 故由式(2.2)(2.4)可知，结论成立证毕引理2.4 设，则 ， (2.4)其中，证 由引理2.2，有 ，(2.5)因函数关于变量在上的非负凸函数，由Hadamard积分型不等式，有 ， (2.6)由式(2.5)和式(2.6)，令求的导数，得， 因为的严格递减函数，所以，有 且 令， (2.7)那么，有，于是，有，由式(2.9)可知，从而，有故结论成立证毕 下面给出引理2.3与2.4的一个推论推论 设，则， (2.8)其中， 定理2.1 设，且，记，则 (2.9) 其中同于推论2.5证 由Hlder不等式，引理2.2和引理2.3，有证毕定理2.2 在定理2.1的条件下，则, (2.10). (2.11)其中.推论 设，则(1) 若，有.(2) 若，有,.其中综上，本章主要改进了一类Hilbert型不等式的，并结合已有理论建立了几个推广的不等式，得到了一些结果第三章 Hilbert型不等式的进一步研究3.1 关于Hilbert型不等式的进一步研究的定义及相关引理在这一部分，我们首先给出一个原有权函数的改进形式引入参数行如：，这里,.下面给出本章相关的引理。引理3.1.1设，定义函数 (3.1)则， ，且 (3.2)其中，.引理3.1.2设，则(1) 1 ，(2) 4 引理3.1.3 设,，则, (2.2)其中证 利用式(2.1), 我们有,从而当时，由引理2.1，有，记，因函数是关于的递增函数，于是，有，从而不等式(2.1)成立证毕推论1 在引理2.3的条件下，则，其中 引理3.1.4设, ，则 (2.3)其中证 利用式(2.1), 经计算可得，作变换，那么由引理2.1和引理2.2，有综合上述估算结果，有.主要结果定理3.1 设,，若，满足，记，则,这里证 由Hlder不等式，有 下证上式中的不等式中不能取等号若不然，则存在不全为零的常数，使得在上，有等式成立，经过整理后，得 不妨假设不为零，则有在上成立，这与矛盾，上式不等式严格成立 定理3.2 在定理3.1的条件下，则，其中对于时，本文得到了更一般化的形式本文推论3.2改进了文4中的定理3.1推论3.1设，,，且，记，则 其中，推论3.2在引理3.1的条件下， ，则(1)，推论3.3设，则(1) 若，有,(2) 若，有,推论3.4 设, ,，若，且，记，则(1),(2)，其中参考文献1 H.Weyl ,Singulare Integralgleichungen mit besonderer Berucksichtigung des Fourierschen IntegralTheorems,Inaugeral dissertation,University of Gottingen,Gottingen,Germany,1908.2 G.H.Hardy, Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive term J, Proceedings of the London Mathematical Society,1925(23), 45-46.3 全国不等式研究会.不等式研究通讯M.最值定理与分析不等式专刊.2010.7.4 杨必成.杨必成数学论文集M.广东教育学院应用数学研究所.2010.1.5 胡 克.解析不等式的若干问题M.武汉大学出版社.2007.6 匡继昌.常用不等式M (第四版).山东科学技术出版社.2010.7 王伯英.控制不等式基础M.北京师范大学出版社.1990.8 黄启亮.一个Hilbert型不等式及其等价形式的加强推广J.数学杂志.30(3).2010.9 谢子填.一个新的实齐次核Hilbert型积分不等式及其逆J.广东教育学院学报.30(3).2010.10 付向红,和 炳.具有两个参数的Hilbert型积分不等式J.吉林大学学报.48(4).2010.11 B.Yang. 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