初中数学培优辅导资料(34-38)讲.doc

初中数学竞赛辅导 帮邦教育初中数学竞赛辅导资料（34）反证法内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：AB例如原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)又如原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤： 反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） 结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。用反证法证明时 假设这两直线不平行； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从而肯定，非平行不可。例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图12A1B求证：ABCD证明：设AB与CD不平行C2D那么它们必相交，设交点为MD这时，1是GHM的外角A1MB12G这与已知条件相矛盾2AB与CD不平行的假设不能成立HABCDC例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)当m=3k+1时，m2（3k+1）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2时，m2（3k+2）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。m2是3的倍数时，m 也是3的倍数例4.求证：不是有理数证明：假设是有理数，那么（a,b是互质的整数），=,（）22， a2=2b2, a2是偶数，a2是偶数， a也是偶数，设a=2k（k是整数）,a2=4k2, 由a2=2b2, 得 b2=a2=2k2, b2是偶数， b也是偶数那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立不是有理数例5.若n是正整数，则分数是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k1）, 且k,a,b都是正整数，即，3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是1时，积才能等于13b-2a=1,k=1分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数是既约分数练习341.写出下列各命题结论的反面：命题的结论结论的反面直线a b线段m=na2是偶数A是锐角点A在O上A，B，C至少有1个大于或等于60正整数m是5的倍数方程没有有理数根至少有一个方程两根不相等2.已知：平面内三个点A，B，C满足ABBCAC，求证：A，B，C三点在同一直线上3.求证：等腰三角形的底角是锐角4. 求证：一个圆的圆心只有一个5. 求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度6. 如果a2奇数，那么a也是奇数 （仿例3）7. 求证：没有一个有理数的平方等于3 (仿例4)8. 已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)求证a,b,c至少有一个偶数 a,b,c中至少有一个能被3整除9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解10.求证 方程x2+y2=1991 没有整数解11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BDAC+CD 求证：ABb,不等式组的解集是xa 的解集是xb的解集是 bxa 的解集是空集3. 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。直角三角形中，斜边大于任一直角边。 有两组边对应相等的两个三角形中 如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。任意多边形的每一边都小于其他各边的和例题例1. 已知：x2，求下列代数式的取值范围：73x,解：x2，两边乘以3，得3x6两边加上7，得73x7673x1设y, x+1=xy, (y1)x=1x=2，在两边乘以y1时，根据不等式基本性质2和3，得不等式组：或或y1.5或y1即1.5或1例2.设实数a,b满足不等式，试决定a,b的符号。(95年全国初中数学联赛题)解：不等式两边都是非负数，两边平方不等号方向不变两边平方得，a22(a+b)+(a+b)2a， 可知a0，a+b0两边除以得，a+b显然不等式要成立，只有， 故a， 显然只有a+b0,又a0a,b的符号是：a0例3.已知：O是ABC内的一点求证：1分析：本题实质是要证明2（OAOAOC）ABBCCA且OAOBOCABBCCA证明：OAOBABOBOCBCOCOACA2（OAOBOC）ABBCCA延长BO交AC于D，ABADOBOD，ODDCOCABACOBOC，同理ABBCOAOC，BCCAOAOB即2（ABBCCA）2（OAOBOC）1例4.求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和已知：ABC中，ACBRt，CDAB于D求证：CACBABCD证明：设CDh,a,b,c是A，B，C的对边根据勾股定理，a2+b2=c2,a2+b2c2h2 根据三角形面积公式ab=ch 2ab2ch ：（a+b）20, c+h0 a+b0, ac0 (直角三角形中斜边大于任一直角边) (a+b)(c+h)0 (a+b)(c+h) 再证明：学完四点共圆后，可证CACDABCB在AB上截取BEBC，在AC上取CFCD，两等腰BCE和CDF顶角B=DCF底角21四边形CDEF是圆内接四边形EFACDERtAFAE ，即AFCFABBE ， ACCDABCBCACBABCD例5.已知：ABC中，D，E分别在BC，AC上，B12如果ABC，ADC，EBD的周长依次为m,n,p求证：（1989年全国初中数学联赛题）证明：设BCa，ACb，ABc12，DEAC，ABCEBDDAC，即DCBDBCDCa=，例6.已知：ABC中，ABAC，D是三角形内的一点，ADBADC求证：DBCDCB分析：为使已知条件ADBADC集中在一起，把ABD绕着点A旋转，使AB和AC重合，即作ABD的全等三角形ACE证明：作CAEABD，使AEAD，连结CE，DE那么ACEABD，ACEBD，ACEADBADCADEAED，DECEDC，DEDCCE，即DCBDDBCDCBBC练习371. 已知a，那么96a的值是2. 已知b= , 当a3时，b的取值范围是3. 已知aBC， 求证 ACAO8.已知：AD，BE，CF三条高相交于一点H，求证：9.已知：ABC中，A90，ABAC，边AB，AC的中垂线，分别交BC于D和E求证：BDB，则AD11.在ABC中， 若AD是中线，则DACDAB 若AD是角平分线，则AB+CDAC+BD12.已知：ABC 中AB=AC，点这点P是三角形内的一点，PBCPCB求证：PABAPC13.已知：ABC中M是BC的中点，D，E分别在AB，AC上，DME=Rt 求证 ：BD+CEDE14.ABC中，AC2AB，则B2C15.已知：正有理数a1是.的一个近似值，设a2=1+ 求证 ：介于a1和a2之间提示：设 a1证a2证a1初中数学竞赛辅导资料（38）平行和垂直内容提要一.证明两直线互相平行常用的定理 利用角同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。 利用第三线都平行或都垂直于第三线的两直线平行。 利用比例式ABC中，如果那么DEBC 其他三角形中位线平行于第三边梯形中位线平行于两底平行四边形对边平行二.证明两直线互相垂直常用的定理1.按垂直定义即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。2. 在三角形中证明直角 如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。 若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。 若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。 等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。3. 菱形对角线互相垂直例题例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。已知：ABC中，BD，CE是角平分线，AMBD，ANCE求证：MNBC证明：分别延长AM，AN交BC于F，G则AMBBMFRt12，BMBMAMBFMBAMMF同理可证ANNGMN是AFG的中位线，MNFG，即MNBC例2.已知：AD是RtABC斜边上的高，角平分线BE交AD于F，EGBC交BC于GA求证：FGAC，AGBE证明的要点：EBE是角平分线，F点E到ABC的两边距离相等，即EAEGBDGCAFE，AEF分别是EBC，ABE的余角，AFEAEF得AFAEEG，且EGAF，故AFGE是菱形例3.已知：如图AD是等腰直角ABC斜边上高BM，BN三等分ABC，CM延长线交AB于E求证：ENBM证明要点：根椐轴对称图形的性质CM，CN也三等分ACB点N是ACE的内心，EN是AEC的平分线1ABM30例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，ABD和BCE都是等边三角形，AE交BD于M，CD交BE于N 求证：MNAC证明：在等边ABD和BCE中ABBD，BCCE，ABDBCE60BMCE，MNAC 例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PEAB作PFBC求证：PDEF分析：要证明PDEF，可证PMF90先证12902390而14只要证34可用边角边证BEFGPD（证明略）例6.已知：O和Q相交于A，B，Q经过点O，C是O优弧AB上的一点，CB延长线交Q于D，求证：DOAC证明：连结AB，作O直径AE，DO延长线交AC于FCE，DEABCFDABERt，DOAC练习381. 四边形ABCD中，AB，ADBC，则ABCD2. 正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且AEBF则AECF3. 已知：平行四边形ABCD的AB2BC，E，F分别在BC和CB的延长线上且CEBFBC求证：AEDF4. 分别以ABC的边AB和BC为一边，向形外作两个正方形ABEF和BCGH，求证AHCE，AHCE5. 已知：D，E，F是ABC边BC，CA，AB的中点，H，G在形外，且HEAC，HEAC，GDBC，GDBC求证：FDGHEFFGFH6. 已知：在平行四边形ABCD中，A和B的平分线交于E，C和D的