2012年高考数学平面向量.doc

20122012 年高考数学二轮专题详解年高考数学二轮专题详解 重难点十重难点十 平面向量平面向量 考试大纲解读考试大纲解读 1 理解平面向量的概念与几何表示 两个向量相等的含义 掌握向量加减与数乘运算及 其意义 理解两个向量共线的含义 了解向量线性运算的性质及其几何意义 2 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐 标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 3 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 了解平面向量数量积与向量投影的关系 掌 握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 考点导航考点导航 高考对平面向量的考点分为以下两类 1 考查平面向量的概念 性质和运算 向量概念所含内容较多 如单位向量 共线向量 方向向量等基本概念和向量的加 减 数乘 数量积等运算 高考中或直接考查或用以解决 有关长度 垂直 夹角 判断多边形的形状等 此类题一般以选择题形式出现 难度不大 2 考查平面向量的综合应用 平面向量常与平面几何 解析几何 三角等内容交叉渗透 使数学问题的情境新颖别致 自然流畅 此类题一般以解答题形式出现 综合性较强 知识要点梳理知识要点梳理 1 向量的加法与减法 掌握平行四边形法则 三角形法则 多边形法则 加法的运算律 2 实数与向量的乘积及是一个向量 熟练其含义 3 两个向量共线的条件 平面向量基本定理 向量共线的坐标表示 4 两个向量夹角的范围是 0 5 向量的数量积 熟练定义 性质及运算律 向量的模 两个向量垂直的充要条件 考点在线考点在线 考点一考点一 向量概念及运算向量概念及运算 例例 1 1 2011 年高考山东卷理科 12 设 是平面直角坐标系中两两不同的四点 1 A 2 A 3 A 4 A 若 R R 且 则称 调和分割 1312 A AA A 1412 A AA A 11 2 3 A 4 A 已知点 C c o D d O c d R 调和分割点 A 0 0 B 1 0 则下面说法 1 A 2 A 正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C D 可能同时在线段 AB 上 D C D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 答案答案 D 考点二考点二 平面向量的数量积平面向量的数量积 例例 2 2 2011 年高考海南卷文科 13 已知与为两个不共线的单位向量 k 为实数 若向量a b 与向量垂直 则 ab kab k 答案答案 1 解析解析 由题意知 即 所以 因为 0abkab 1 10kkab 1 1kabk 与不共线 所以 即 k 1 a b 10k 名师点睛名师点睛 本题考查两个向量垂直的充要条件 向量的数量积 备考提示备考提示 熟练向量的基础知识是解答好本题的关键 练习练习 2 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 14 14 已知向量 a b 满足 a 2b a b 6 且 a 则 a 与 b 的夹角为 2b 答案答案 3 解析解析 则 即 26abab 22 26aa bb 22 12 26a b 所以 所以 1a b 1 cos 2 a b a b ab 3 a b 考点三考点三 向量与三角函数等知识的综合向量与三角函数等知识的综合 例例 3 2009 年高考江苏卷第年高考江苏卷第 15 题 题 设向量 4cos sin sin 4cos cos 4sin abc 1 若与垂直 求的值 a 2bc tan 2 求的最大值 bc 3 若 求证 tantan16 a b 解析解析 名师点睛名师点睛 本小题主要考查向量的基本概念 同时考查同角三角函数的基本关系式 二倍 角的正弦 两角和的正弦与余弦公式 考查运算和证明得基本能力 备考提示备考提示 熟练向量的基础知识是解答好本题的关键 练习练习 3 2009 年高考广东卷年高考广东卷 A 文科第文科第 16 题 题 已知向量与互相垂直 其中 2 sin a cos 1 b 2 0 1 求和的值 2 若 求的值 sin cos cos53 cos 5 0 2 cos 解析 即ab v v Qsin2cos0a b v vg sin2cos 又 即 2 sincos1 22 4coscos1 2 1 cos 5 2 4 sin 5 又 2 5 0 sin 25 5 cos 5 2 5cos 5 coscossinsin 5cos2 5sin 3 5cos 即cossin 222 cossin1 cos 2 1 cos 2 又 w 0 2 2 cos 2 易错专区易错专区 1 2011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 3 设向量满足 1 则 a b a b a b 1 2 2ab A B C D 2357 答案 B 解析 222 2 2 44ababaa bb 22 44aa bb 故选 B 1 14 4 13 2 2 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 3 3 已知向量 a 2 1 b 1 k a 2a b 0 则 k A 12 B 6 C 6 D 12 答案 D 解析 由题意 得 2a b 5 2 k a 2a b 2 5 2 k 0 所以 k 12 3 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 7 7 如图 正六边形 ABCDEF 中 BACDEF A 0 B C D BE AD CF 答案 D 解析 BACDEFDECDEFCDDEEFCF 4 20102010 年高考全国年高考全国 卷文科卷文科 1111 已知圆的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A BO 为两切点 那么的最小值为 PA PB A B C D 42 32 42 2 32 2 答案 D 解析 如图所示 设 PA PB APO 则 APB PO x 0 x 2 2 1x 2 1 sin 1x 令 则 cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x PA PBy 即 由是实数 所以 42 2 1 xx y x 42 1 0 xy xy 2 x 解得或 故 2 1 4 1 0yy 2 610yy 32 2y 32 2y 此时 min 32 2PA PB 21x 5 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 文科文科 1010 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若 a CB b 1 2 则 CA abCD A a b B a b C a b D a b 1 3 2 3 2 3 1 3 3 5 4 5 4 5 3 5 答案答案 B 解析解析 CD 为角平分线 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab 6 20102010 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 6 6 设点是线段的中点 点在直线外 MBCABC 则 2 16BC ABACABAC AM A 8 B 4 C 2 D 1 答案答案 C 解析解析 由 16 得 BC 4 4 2 BC ABACABACBC 而 故2 ABACAM AM 7 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 11 11 已知两个单位向量 的夹角为 若向量 1 e 2 e 3 112 2bee 则 212 34bee 12 b b 答案 6 解析 要求 只需将题目已知条件带入 得 2 3 4 2 e 1 b 2 b 1 b 2 b 1 e 2 e 1 e 其中 1 1 1 带入 2 221 2 1 823 eeee 2 1 e 21 ee 60cos 21 ee 2 1 2 1 1 2 2 e 原式 3 1 2 8 1 6 2 1 8 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 13 13 若向量 a 1 1 b 1 2 则 a b 等于 答案 1 解析 因为向量 a 1 1 b 1 2 所以 a b 等于 1 9 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 13 13 设向量 a b 满足 2 5 2 1 ab 且ab 与的方向相反 则a 的坐标为 答案 4 2 解析 由题 2 215b 所以2 4 2 ab 10 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 15 15 若平面向量 满足 且以向量 1 1 为邻边的平行四边形的面积为 则 和 的夹角 取值范围是 1 2 答案 5 66 0 解得a b 1212 2 eekee 2 2 1122 1 2 2kek e ee 2 1 2 cos2 3 kk 5 4 k 高考冲策演练高考冲策演练 一 选择题 一 选择题 1 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1212 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的A 令 下面说法错误的是 am n bp q abmqnp A A 若 a 与 b 共线 则0ab A B abba AA C 对任意的 有R abab AA D 2222 aba bab A 答案 B 解析 若与共线 则有 故 A 正确 因为 而a b ab mq np 0 Abapn qm A 所以有 故选项 B 错误 故选 B ab mq np Aabba AA 2 20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 9 9 如图 在 ABC 中 则 ADAB 3BC BD 1AD AC AD A B C D 2 3 3 2 3 3 3 答案 D 解析 AC AD A cosACADDAC cosACDAC sinACBAC 故选 D sinBCB 3 sinBDB 3 3 20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 8 8 若向量 则 是 的 x 3 x aR x4 5a A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由得 所以 反之 由可得 x4 a 4 3 5a 5a x4 4 20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 1111 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点 点 22 1 43 xy P 为椭圆上的任意一点 则的最大值为 OP FP A A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 则有 解得 00 xy 22 00 1 43 xy 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 所以 00 1 FPxy 00 OPxy 2 000 1 OP FPx xy 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 00 1 OP FPx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 因为 所以当时 取得最大值 选 C 0 2x 0 22x 0 2x OP FP 2 2 236 4 5 20102010 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 6 6 a b 为非零向量 是 函数ab 为一次函数 的 f xxabxba A A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若 则有不一定是一次函数 当ab 22 f xxabxbax ab A 时不是一次函数 反之 成立 故选 B ab 6 2010 2010 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 3 3 设向量 1 0 a 1 1 2 2 b 则下列结论中正确的是 A ab B 2 2 a b A C ab D ab 与b垂直 答案 D 解析 所以与垂直 11 22 ab 0ab b A abb 7 20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 8 8 平面上三点不共线 设 则 O A B OAa OBb 的面积等于 OAB A B 22 2 aba b 22 2 aba b C D 22 2 1 2 aba b 22 2 1 2 aba b 答案 C 解析 2 2 22 111 sin 1cos 1 222 OAB a b Sa ba ba ba ba b ab 22 2 1 2 aba b 8 2010 2010 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 2 2 a b 为平面向量 已知 a 4 3 2a b 3 18 则 a b 夹角的余弦值等于 A B C D 8 65 8 65 16 65 16 65 答案 C 解析解析 由已知得 所以 3 18 2 3 18 8 6 5 12 ba cos a b a b a b 4 5 3 1216 5 1365 9 20102010 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 5 5 若向量 1 1 2 5 3 x 满足条件 8 a b c a 解析 所以 6 60a bm Am 11 20102010 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 8 8 已知和点 M 满足 若存在实ABC 0MAMBMC 使得成立 则 mAMACmAM m A 2B 3C 4D 5 答案 B 解析 由知 点 M 为的重心 设点 D 为底边 BC 的中点 则0MAMBMC uuu ruuu ruuu rr ABCV 所以有 故 3 选 2 AM AD 3 21 32 ABAC uu u ruuu r 1 3 ABAC uu u ruuu r 3ABACAM uu u ruuu ruuur m B 12 20102010 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 6 6 若非零向量 a b 满足 则 a 与 b 的 2 0ababb 夹角为 A 300 B 600 C 1200 D 1500 答案 C 二 填空题 二 填空题 13 2010 2010 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 13 13 已知向量 满足 与的夹角为 60 则在a b 2b a b b 上的投影是 a 答案 1 解析 0 1 cos6021 2 b 14 2010 2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 13 13 已知平面向量则 1 2 2 的值是 2a 答案 10 16 20102010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 1111 已知向量 若 2 1 1 1 2 cmba ba 则 c m 答案 1 解析 由 得 2 1 1 1 cmba ba c 101121 mm 三 解答题 三 解答题 17 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1515 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 0 求 t 的值 OCtAB OC 解析 1 方法一 方法一 由题设知 则 3 5 1 1 ABAC 2 6 4 4 ABACABAC 所以故所求的两条对角线的长分别为 2 10 4 2 ABACABAC 4 22 10 方法二 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC AD 4 22 10 2 由题设知 2 1 OC 32 5 ABtOCtt 由 0 得 OCtAB OC 32 5 2 1 0tt 从而所以 511 t 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 18 20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 1818 设平顶向量 m 1 2 n 其中 m n m a n b 1 2 3 4 I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 II 记 使得 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生的概率 m a m a n b 19 2009 年高考湖北卷理科第年高考湖北卷理科第 17 题 题 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知向量 cos sin cos sin 1 0 aaa bc 求向量的长度的最大值 bc 设 且 求的值 a 4 abc cos 解析 1 解法 1 则 cos1 sin bc 222 cos1 sin2 1 cos bc 即 w w w c o m 2 1cos1 0 4 bc0 2 bc 解法 2 若 则 又由 得 4 22 22 a cos sin b 1 0 c 22222 cos1 sin cossin 22222 abc 即a b c 0abc cos cos1 0 平方后化简得 w sin1cos cos cos1 0 解得或 经检验 即为所求cos0 cos1 cos0cos1 或 20 山东省烟台市山东省烟台市 20112011 年年 1 1 月月 十一五十一五 课题调研卷理科课题调研卷理科 如图 平面上定点