高中数学第2章几个重要的不等式章末分层突破学案北师大版选修4_.doc

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 几个重要的不等式章末分层突破学案 北师大版选修4-5自我校对一般形式的柯西不等式排序不等式逆序和乱序和原理贝努利不等式 柯西不等式的应用柯西不等式形式优美，结构易证，因此在解题时，根据题目特征，灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式已知a，b，c是实数，且abc1，求证：4.【精彩点拨】根据特征不等式的特点，可考虑用柯西不等式证明，但要先构造向量(1,1,1)，利用|mn|2|m|2|n|2证明【规范解答】因为a，b，c是实数，且abc1，令m(，)，n(1,1,1)则|mn|2()2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348.|mn|2|m|2|n|2，()248，4.再练一题1设a，b，x，y都是正数，且xyab，求证：.【证明】因为a，b，x，y都是正数，xyab，由柯西不等式可知(axby)2(ab)2.又axby2(ab)所以.利用排序不等式证明不等式应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组已知a，b，c为正数，求证：abc.【精彩点拨】本题属于左3项右3项的类型，虽然a，b，c没有顺序，但可用顺序不等式证明，不妨先设abc，再利用定理证明【规范解答】由于不等式关于a，b，c对称，可设abc0.于是a2b2c2，.由排序不等式，得a2b2c2a2b2c2，及a2b2c2a2b2c2.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中的不等式再练一题2设a，b，c为某一个三角形的三条边，abc，求证：(1)c(abc)b(cab)a(bca)；(2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.【证明】(1)用比较法：c(abc)b(cab)acbcc2bcabb2b2c2acab(bc)(bc)a(bc)(bca)(bc)因为bc，bca0，于是c(abc)b(cab)0，即c(abc)b(cab)同理可证b(cab)a(bca)综合，证毕(2)由题设及(1)知abc，a(bca)b(cab)c(abc)，于是由排序不等式“逆序和乱序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ab(bca)bc(cab)ca(abc)3abcab(ba)bc(cb)ca(ac)再一次由“逆序和乱序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ac(bca)ba(cab)cb(abc)3abcac(ca)ab(ab)bc(bc)将和相加再除以2，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.利用柯西不等式求最值由于柯西不等式是求解含多个变量式子最值(除平均值不等式外)的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，注意等号成立的条件求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值【精彩点拨】根据x，y的系数适当构造形式求解，切忌等号成立的条件【规范解答】由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，当且仅当，即x，y时，上式取等号故所求x，y.再练一题3已知xyz1，求2x23y2z2的最小值【解】由柯西不等式，得2x23y2z2(2x23y2z2)(xyz)2，2x23y2z2.当且仅当，即x，y，z时取等号2x23y2z2的最小值为.数学归纳法与猜想证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想，探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法已知f(n)1，g(n)，当n4时，试比较f()与g(n)的大小，并说明理由【精彩点拨】由f(n)与g(n)的关系，直接比较不容易，可先比较前n项，猜想出结论，再由数学归纳法证明【规范解答】由f()11，g(n)1，要比较f()与g(n)的大小，只需比较2n与n2的大小当n4时，241642，当n5时，25325225，当n6时，26646236.故猜测当n5(nN)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明(1)当n5时，命题显然成立(2)假设nk(k5，且kN)时，不等式成立，即2kk2(k5)，则当nk1时，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2(k1)22.由(1)(2)可知，对一切n5，nN，2nn2成立综上可知，当n4时，f()g(n)；当n5时，f()g(n)再练一题4在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想【解】(1)由条件可得2bnanan1，abnbn1，则a22b1a16，b29；a32b2a212，b316；a42b3a320，b425.猜想ann(n1)，bn(n1)2.(2)证明：当n1时，由a12，b14知结论正确假设当nk时结论正确，即akk(k1)，bk(k1)2.则nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.即nk1时结论正确由知猜想的结论正确.数学思想方法解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题本章常把要证明的不等式通过换元或恒等变形把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决已知abc，求证：.【精彩点拨】构造柯西不等式的证明【规范解答】ac(ab)(bc)，ac，ac0，(ac)(ab)(bc)(11)24，.再练一题5设a，b，c为正数，且abc1，求证：222.【证明】左边(121212)(19)2，原结论成立1(陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_【解析】a，b，m，nR，且ab1，mn2，(ambn)(bman)abm2a2mnb2mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a2b22ab)2(ab)22，当且仅当mn时，取“”所求最小值为2.【答案】22(湖南高考)设x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z，则xyz_.【解析】由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此x2y3z.因为x2y3z，所以x，解得x，y，z，于是xyz.【答案】3(湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号【答案】124(上海高考)设常数a0.若9xa1对一切正实数x成立，则a的取值范围为_【解析】由题意可知，当x0时，f(x)9x26aa1a，当且仅当9x，即x时等号成立【答案】5(全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由【解】(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设xy0，则)的最小值为()A9B9C10D0【解析】29.【答案】B2设nN，则4n与3n的大小关系是()A4n3nB4n3nC4n3n，即4n3n.【答案】A3已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为()A.BC.D【解析】4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，644e26416ee2，即5e216e0，e(5e16)0，故0e.【答案】C4学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件，50件，20件，现在选择商店中单价为5元，3元，2元的奖品，则至少要花()A300元B360元C320元D340元【解析】由排序原理，逆序和最小最小值为502403205320(元)【答案】C5函数y29x(x0)的最大值是()A10B10C11D11【解析】y22210.【答案】A6已知a，b，c(0，)，ab4c21，则c的最大值是() 【导学号：94910043】A5BC8D【解析】(ab4c2)(c)2，c.当且仅当ab，c时等号成立【答案】B7若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是()A21BC16D【解析】1x2y4z，x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.【答案】B8设S(n)，则()AS(n)共有n项，当n2时，S(2)BS(n)共有n1项，当n2时，S(2)CS(n)共有n2n项，当n2时，S(2)DS(n)共有n2n1项，当n2时，S(2)【解析】S(n)共有n2n1项，当n2时，S(2).【答案】D9设a，b，c为正数，且a2b3c13，则的最大值为()A.BC.D6【解析】(a2b3c)2()2，()2，当且仅当时取等号又a2b3c13，a9，b，c时，原式取到最大值.【答案】A10已知a，b，c为正数，且满足a2b3c1，则的最小值为()A7B8C11D9【解析】a，b，c为正数，且满足a2b3c1，(a2b3c)339，当且仅当a2b3c时取等号因此的最小值为9.【答案】D11用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(k，kZ，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是()A.B.cos C.cos cos 3D.cos cos 2cos 3【解析】首项为，末项为cos(211)cos .【答案】B12设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则的值为()A.BC.D【解析】由题意可得x2y2z22ax2by2cz，与a2b2c210相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令或则xyz2(abc)，即.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13证明1(nN)，假设nk时成立，当nk1时，左边增加的项数是_【解析】左边增加的项数为2k112k12k.【答案】2k14已知x，y，zR，xyz9，则的最大值是_【解析】()2(121212)(xyz)3927，所以3.当且仅当xyz3时取“”【答案】315若xyzt4，则x2y2z2t2的最小值为_【解析】比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x2y2z2t2)(12121212)(xyzt)2，当且仅当xyzt1时，取最小值4.【答案】416函数y的最小值是_. 【导学号：94910044】【解析】由柯西不等式，得y(1)232.当且仅当，即时等号成立【答案】32三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设x，y，zR，且1.求xyz的最大值和最小值【解】根据柯西不等式，知42()222，当且仅当，即x，y1，z或x，y3，z时等号成立251(xyz2)2，|xyz2|5，3xyz7，即xyz的最大值为7，最小值为3.18(本小题满分12分)设x22y21，求u(x，y)x2y的最小值. 【导学号：94910045】【解】由柯西不等式，有|u(x，y)|1xy|.得umax，umin.分别在，时取到19(本小题满分12分)求证：(n2)【证明】(1)当n2时，0，不等式成立(2)假设nk(k2)时，原不等式成立即，则当nk1时，左边.当nk1时，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式对n2的所有的自然数都成立故(n2)20(本小题满分12分)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c为正数，且m，求证：a2b3c9.【解】(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，c为正数，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.21(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足xyz1.(1)求证：；(2)求4x4y4z2的最小值【解】(1)证明：因为x0，