高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新人教A版选修2_2.ppt

1 5定积分的概念1 5 1曲边梯形的面积1 5 2汽车行驶的路程 主题1求曲边梯形的面积1 试列举几个目前为止能求面积的平面图形 并说明是什么方法 提示 如图三角形 正方形 梯形 平行四边形 不规则四边形 圆等都可利用公式求出面积 2 圆的面积如何推导的 提示 可把圆通过分割的方法转化为三角形面积求解 如图 易知分割越细 所求三角形面积的和越接近圆的面积 3 在实际生活中 经常会遇见一些不规则的曲边围成的平面图形 如图蔬菜大棚的横截面 这种图形的面积如何求呢 提示 可以对截面图形进行分割 分割越细所得小图形越接近矩形 然后对每个小 矩形 求面积 再求和 结论 1 曲边梯形的含义它有三条边是直线 其中两条互相平行 第三条与前两条互相垂直 第四条边是一条曲线的一段弧 它与任一条平行于它的邻边的直线至多只交于一点 2 求面积方法将曲边梯形沿与曲边对应的直线边将其分割成无数个小长方形条 然后通过求 近似代替曲边梯形的面积 所有长方形条面积之和 微思考 利用 以直代曲 思想求曲边梯形的面积时 是否必须等分自变量的取值区间 提示 不一定 等分的目的仅是为了便于计算 主题2求汽车行驶的路程1 比较求曲边梯形的面积是把曲边梯形分割成n个矩形求和 再取极限得到 求变速运动的汽车行驶的路程是如何处理的 提示 把整个路程分割为n个时间段 在每一段上近似看作是匀速运动来求和 再取极限 2 求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积的思想方法和步骤相同吗 提示 相同 结论 变速直线运动的路程的求解方法以 的方法 把求变速直线运动的路程问题 化归为求 问题 即将区间 a b 等分成n个区间 在每个小区间上 由于v t 的变化很小 可以认为汽车近似于做匀速直线运动 从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值 再求和得s的近似值 最后让n趋向无穷大就得到s的精确值 不变代变 匀速直 线运动的路程 微思考 求汽车行驶的路程可以用求曲边梯形面积的方法和步骤 那变力做功能否用这种方法 提示 可以 步骤相同 预习自测 1 下列函数在R上不是连续函数的是 A y x2B y x C y D y 解析 选D 对于函数y 当x 0时函数无意义 2 和式 yi 1 可表示为 A y1 1 y5 1 B y1 y2 y3 y4 y5 1C y1 y2 y3 y4 y5 5D y1 1 y2 1 y5 1 解析 选C yi 1 y1 1 y2 1 y3 1 y4 1 y5 1 y1 y2 y3 y4 y5 5 3 在 近似代替 中 函数f x 在区间 xi xi 1 上的近似值等于 A 只能是左端点的函数值f xi B 只能是右端点的函数值f xi 1 C 可以是该区间内任一点的函数值f i i xi xi 1 D 以上答案均不正确 解析 选C 由求曲边梯形面积的 近似代替 知 C正确 4 一辆汽车做变速直线运动 汽车的速度v 单位 m s 与时间t 单位 s 之间具有如下函数关系 v t 6t 求汽车在0 t 2这段时间内行驶的路程s时 将行驶时间等分成n段 下列关于n的取值中 所得估计值最精确的是 A 5B 10C 20D 50 解析 选D 将行驶时间等分得越细 得到的估计值越精确 类型一求曲边梯形的面积 典例1 1 由直线x 1 y 0 x 0和曲线y x3所围成的曲边梯形 将区间4等分 则曲边梯形面积的近似值 取每个区间的右端点函数值 是 2 2017 惠州高二检测 求由抛物线y 2x2与直线x 0 x t t 0 y 0所围成的曲边梯形的面积时 将区间 0 t 等分成n个小区间 则第i 1个区间为 解题指南 1 利用四个矩形的面积近似代替 2 可先利用分割的方法求出第i个小区间再确定第i 1个小区间 解析 1 选D 2 选D 在 0 t 上等间隔插入 n 1 个分点 把区间 0 t 等分成n个小区间 每个小区间的长度均为 故第i 1个区间为 延伸探究 1 本例 1 中的曲边梯形的面积为 解析 将区间 0 1 等分成n个小区间后取每个小区间的右端点函数值所求得的和为取极限得曲边梯形的面积为 2 本例 1 中 若取每个区间的左端点函数值 不经过计算 比较两个近似值的大小 解析 因为函数y x3在区间 0 1 上是增函数 故取每个区间的左端点函数值所求的和比取每个区间的右端点函数值所求的和小 答案 方法总结 求曲边梯形面积的三个注意点 1 求解的数学思想是以直代曲和无限逼近的思想 2 求解过程有四步 即分割 近似代替 求和与取极限 3 求解的关键是近似代替 提醒 分割越细 结果越准确 类型二变速运动的路程 典例2 汽车以v v t 函数v v t 在 0 上为连续函数 在笔直的公路上行驶 在 0 2 内经过的路程为s 下列说法中正确的是 将 0 2 n等分 若以每个小区间左端点的速度近似代替时 求得的sn是s的不足近似值 sn s 将 0 2 n等分 若以每个小区间右端点的速度近似代替时 求得的sn是s的过剩近似值 sn s 将 0 2 n等分 当n很大时 求出的sn就是s的准确值 s的准确值就是由直线t 0 t 2 v 0和曲线v v t 所围成的图形的面积 解题指南 利用曲边梯形面积的求法去判断 解析 由曲边梯形面积的求法知只有当n无穷大时求出的矩形的面积和才是曲边梯形的面积 故结果与小区间上的取值无关 只有 正确 对于 当n很大时 并未点明有多大 应该是无穷大时Sn对应的极限值 答案 方法总结 求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的问题 方法和步骤类似于求曲边梯形的面积 用 以直代曲 无限逼近 的思想求解 求解过程为 分割 近似代替 求和 取极限 应特别注意求变速直线运动的区间 巩固训练 一辆汽车做变速直线运动 设汽车在时刻t的速度v t 求汽车在t 1到t 2这段时间内运动的路程s 解析 1 分割把区间 1 2 等分成n个小区间 i 1 2 n 每个区间的长度 t 每个时间段行驶的路程记为 si i 1 2 n 故路程和sn si 2 近似代替当n