高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究学案北师大版必修1.doc

4 二次函数性质的再研究学习目标1.掌握配方法，理解a，b，c(或a，h，k)对二次函数图像的作用.2.理解由yx2到ya(xh)2k的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质知识点一二次函数的配方法思考y4x24x1如何配方？你能由此求出方程4x24x10的根吗？梳理对于一般的二次函数yax2bxc(a0)，可类似地配方为ya(x)2，由此可得二次函数的值域、顶点等性质，yx2与yax2bxc图像间的关系以及二次方程求根公式等所以配方法是非常重要的数学方法知识点二图像变换思考yx2和y2(x1)23的图像之间有什么关系？梳理由yx2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移个单位，上移个单位，可得ya(x)2的图像，即yax2bxc的图像知识点三二次函数的三种形式思考我们知道yx22x(x1)21(x2)x，那么点(1，1)，数0,2是yx22x的什么？梳理(1)二次函数的一般式yax2bxc(a0)(2)如果已知二次函数的顶点坐标为(h，k)，则可将二次函数设为ya(xh)2k.(3)如果已知方程ax2bxc0的两根x1，x2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为ya(xx1)(xx2)知识点四二次函数的性质函数二次函数yax2bxca(x)2(a，b，c是常数，且a0)图像性质开口向上向下对称轴方程xx顶点坐标(，)(，)单调性在区间(，上是减函数，在区间，)上是增函数在区间(，上是增函数，在区间，)上是减函数最值当x时，y有最小值，ymin当x时，y有最大值，ymax类型一二次函数解析式的求解例1已知二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴相交于点A(3,0)，对称轴为x1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式反思与感悟求二次函数解析式的步骤跟踪训练1(1)yax26x8与直线y3x交于点A(1，m)，求a.(2)f(x)x2bxc，若f(4)f(0)，f(2)2，求f(x)类型二二次函数的图像及变换例2由函数yx2的图像如何得到f(x)x22x3的图像引申探究利用f(x)x22x3的图像比较f(1)，f(2)的大小反思与感悟处理二次函数yax2bxc(a0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴、y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”跟踪训练2二次函数f(x)x2bxc的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f(x)x22x1的图像，则b_，c_.类型三二次函数的性质例3已知函数f(x)x23x：(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2)若x1,4，求函数值域反思与感悟解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决跟踪训练3已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值1二次函数f(x)ax2bxc(a0)与g(x)bx2axc(b0)的图像可能是下图中的()2设二次函数yf(x)满足f(4x)f(4x)，又f(x)在4，)上是减函数，且f(a)f(0)，则实数a的取值范围是()Aa4 B0a8Ca0 Dacf(1) Bf(1)cf(1)f(1) Dcf(1)0)；(4)yf(x)yf(x)；(5)yf(x)yf(x)答案精析问题导学知识点一思考y4(x2x)14(x2x)14(x)22.令y0，即4x24x10，4(x)220，(x)2，x.知识点二思考yx2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y2x2的图像；再把y2x2的图像向左平移1个单位，再上移3个单位，得y2(x1)23的图像知识点三思考点(1，1)是yx22x的顶点，数0,2是方程x22x0的两根题型探究例1解方法一代入A(3,0)，有9a3bc0，由对称轴为x1，得1，顶点M到x轴的距离为|abc0|2，联立解得或所以此函数的解析式为yx2x或yx2x.方法二因为二次函数图像的对称轴是x1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(1,2)或(1，2)，故可得二次函数的解析式为ya(x1)22或ya(x1)22.因为图像过点A(3,0)，所以0a(31)22或0a(31)22，解得a或a.故所求二次函数的解析式为y(x1)22x2x或y(x1)22x2x.方法三因为二次函数图像的对称轴为x1，又图像过点A(3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A(1,0)也在图像上，所以可得二次函数的解析式为ya(x3)(x1)由题意得顶点坐标为(1,2)或(1，2)，分别代入上式，解得a或a.故所求二次函数的解析式为y(x3)(x1)x2x或y(x3)(x1)x2x.跟踪训练1解(1)把A(1，m)代入y3x，得m3，把(1，3)代入yax26x8，得a683，即a1.(2)方法一由f(4)f(0)，知f(x)的对称轴为x2，又f(2)2，顶点坐标为(2，2)，f(x)(x2)22x24x2.方法二由f(4)f(0)，可设f(x)x(x4)c.代入x2，得2(24)c2，c2.f(x)x24x2.例2解f(x)x22x3(x22x)3(x22x11)3(x1)24，由yx2的图像关于x轴对称，可得yx2的图像由yx2的图像向右平移1个单位，向上平移4个单位，可得y(x1)24，即yx22x3的图像引申探究解f(x)图像如图由图知越接近对称轴，函数值越大由|11|2|21|1，即f(2)比f(1)更接近对称轴，f(2)f(1)跟踪训练266解析f(x)x22x1(x1)2，其图像顶点为(1,0)将二次函数f(x)x22x1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，3)，得到的抛物线为y(x3)23，即f(x)x2bxc，(x3)23x2bxc，即x26x6x2bxc，b6，c6.例3解(1)对函数右端的表达式配方，得f(x)(x3)2，所以函数图像的顶点坐标为(3，)，对称轴方程为x3，最小值为.(2)由于31,4，所以函数在区间1,3上是减函数，在3,4上是增函数，所以当x3时，ymin，当x1时，ymax4，所以函数的值域为，跟踪训练3解f(x)a(x1)21a.当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；当a0时，函数f