高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一课件北师大版选修2_1.ppt

第二章空间向量与立体几何 4用向量讨论垂直与平行 一 学习目标1 会用待定系数法求平面的法向量 2 能用向量法证明直线与直线 直线与平面 平面与平面的平行问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一空间中平行关系的向量表示 设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为 v 则 a b a 0 kv k R 知识点二利用空间向量处理平行问题 思考 1 设v1 a1 b1 c1 v2 a2 b2 c2 分别是直线l1 l2的方向向量 若直线l1 l2 则向量v1 v2应满足什么关系 由直线方向向量的定义知 若直线l1 l2 则直线l1 l2的方向向量共线 即l1 l2 v1 v2 v1 v2 R 答案 思考 2 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量 则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直 进而确定线面是否平行 答案 3 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么 关键是找到两个平面的法向量 利用法向量平行来说明两平面平行 答案 梳理 利用空间向量解决平行问题时 第一 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 第二 通过向量的运算 研究平行问题 第三 把向量问题再转化成相应的立体几何问题 从而得出结论 题型探究 类型一求直线的方向向量 平面的法向量 例1如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 AB AP 1 AD 试建立恰当的空间直角坐标系 求平面ACE的一个法向量 解答 因为PA 平面ABCD 底面ABCD为矩形 所以AB AD AP两两垂直 设n x y z 为平面ACE的法向量 引申探究若本例条件不变 试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量 解答 即为直线PC的一个方向向量 设平面PCD的法向量为n x y z 利用待定系数法求平面法向量的步骤 1 设向量 设平面的法向量为n x y z 反思与感悟 5 赋非零值 取其中一个为非零值 常取 1 6 得结论 得到平面的一个法向量 跟踪训练1如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 平面PAB 平面ABCD PAB是边长为1的正三角形 ABCD是菱形 ABC 60 E是PC的中点 F是AB的中点 试建立恰当的空间直角坐标系 求平面DEF的法向量 解答 因为PA PB F为AB的中点 所以PF AB 又因为平面PAB 平面ABCD 平面PAB 平面ABCD AB PF 平面PAB 所以PF 平面ABCD 因为AB BC ABC 60 所以 ABC是等边三角形 所以CF AB 以F为坐标原点 建立空间直角坐标系 如图所示 设平面DEF的法向量为m x y z 所以平面DEF的一个法向量为m 2 2 类型二利用空间向量证明平行问题 例2已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 E F分别是BB1 DD1的中点 求证 1 FC1 平面ADE 证明 设n1 x1 y1 z1 是平面ADE的法向量 建立如图所示空间直角坐标系 则有D 0 0 0 A 2 0 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 2 2 1 F 0 0 1 B1 2 2 2 令z1 2 则y1 1 所以n1 0 1 2 又因为FC1平面ADE 所以FC1 平面ADE 令z2 2 得y2 1 所以n2 0 1 2 因为n1 n2 所以平面ADE 平面B1C1F 2 平面ADE 平面B1C1F 证明 反思与感悟 利用向量证明平行问题 可以先建立空间直角坐标系 求出直线的方向向量和平面的法向量 然后根据向量之间的关系证明平行问题 跟踪训练2如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD PB与底面所成的角为45 底面ABCD为直角梯形 ABC BAD 90 PA BC AD 1 问在棱PD上是否存在一点E 使CE 平面PAB 若存在 求出E点的位置 若不存在 请说明理由 解答 分别以AB AD AP为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 P 0 0 1 C 1 1 0 D 0 2 0 y 1 2 z 1 0 存在E点 当点E为PD中点时 CE 平面PAB 当堂训练 1 若A 1 0 1 B 1 4 7 在直线l上 则直线l的一个方向向量为A 1 2 3 B 1 3 2 C 2 1 3 D 3 2 1 答案 解析 2 3 4 5 1 2 已知直线l1的方向向量为a 2 3 5 直线l2的方向向量为b 4 x y 若l1 l2 则x y的值分别是A 6和 10B 6和10C 6和 10D 6和10 所以x y的值分别是6和 10 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若 2 3 1 是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为平面 的法向量的是A 0 3 1 B 2 0 1 C 2 3 1 D 2 3 1 能作为平面 的法向量的向量与 2 3 1 共线 2 3 1 答案 解析 2 3 4 5 1 A 4B 6C 8D 8 答案 解析 2 3 4 5 1 5 在正方体ABCD A1B1C1D1中 平面ACD1的一个法向量为 1 1 1 答案不唯一 答案 解析 2 3 4 5 1 不妨设正方体的棱长为1 建立空间直角坐标系 则各点坐标为A 1 0 0 C 0 1 0 D1 0 0 1 设平面ACD1的一个法向量为a x y z 规律与方法 1 应用向量法证明线面平行问题的方法 1 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 2 证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线 3 证明直线的方向向量