拉普拉斯变换及反变换课件.ppt

拉普拉斯变换及反变换 一 拉氏变换及其特性1 拉氏变换定义 如果有一个以时间 为自变量的实变函数 它的定义域是 那么 的拉普 拉斯变换定义为 式中 s是复变数 均为实数 称为拉普拉斯积分 是函数 的拉氏变化 它是一个复变函数 通常称 为 的象函数 而称 为 的原函数 L是表示进行拉氏变换的符号 拉氏变换是这样一种变换 即在一定的条件下 它能把一实数域中的实变函数 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 1 典型函数的拉氏变换 k const 单位阶跃函数 记作1 t 1 阶跃函数 位置函数 2 斜坡函数 又称速度函数 k const 单位斜坡函数 3 抛物函数 又称加速度函数 k const 单位抛物函数 4 单位脉冲函数 重要性质 5 指数函数 指数增长函数 指数衰减函数 指数增长函数 指数衰减函数 6 正弦函数 7 余弦函数 2 拉氏变换的运算法则 1 线性定理 2 延迟定理 3 位移定理 4 相似定理 5 微分定理 微分定理推论 特别在零初始条件下 6 积分定理 当初始条件为零时 则 7 初值定理 8 终值定理 10 象函数的积分性质 9 象函数的微分性质 的拉氏变换 的拉氏变换 11 卷积定理 二 拉氏反变换及其计算方法 式中 表示拉普拉斯反变换的符号 1 拉氏反变换 由象函数求原函数的方法 方法二 查拉氏变换表求解 方法三 部分分式法 不常用解 对简单的象函数适用 象函数为有理分式函数时适用 2 拉氏反变换的计算方法 应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一般步骤 1 计算有理分式函数F s 的极点 2 根据极点把F s 的分母多项式进行因式分解 并进一步把F s 展开成部分分式 3 对F s 的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换 1 当解出为单根时 对F s 作因式分解 其中 例 解 1 F s 的极点 2 对F s 的分母多项式进行因式分解 并把F s 展开成部分分式 3 进行拉氏反变换 2 当解出s有重根时 对F s 作因式分解 其中 例 解 3 当解出s有共轭复根时 对F s 作因式分解 例 解 两边同乘以 得 乘共轭 1 j2 其中 用MATLAB展开部分分式 p 1 12025126 p 1 12025126 设 在MATLAB中 多项式通过系数行向量表示 系数按降序排列 如要输入多项式 x4 12x3 25x 126 用num和den分别表示F s 的分子和分母多项式 即 num b0b1 bm den a0a1 an MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开 其句法为 r p k residue num den 其中 r p分别为展开后的留数及极点构成的列向量 k为余项多项式行向量 若无重极点 MATLAB展开后的一般形式为 若存在q重极点p j 展开式将包括下列各项 展开式为 展开式为 应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤 将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程 解代数方程 得到有关变量的拉氏变换表达式 应用拉氏反变换 得到微分方程的时域解 解 对微分方程左边进行拉氏变换 即 对方程右边进行拉氏变换 从而 应用拉氏变换法求解微分方程时 由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中 因此 不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解 如果所有的初始条件为零 微分方程的拉氏变换可以简单地用sn