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2014年全国高中数学联赛模拟卷(8)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)一、 填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分，直接将答案写在横线上。1. 已知集合，,，且，则整数对的个数为_2. 若，则_3. 四面体中，平面与平面成的二面角，则点到平面的距离为 4. 设直线与曲线有三个不同的交点,则的方程为_5. 已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 6. 若则_7. 平面直角坐标系中，M(1，2)，N(1，4)，P在x轴上移动，当MPN最大时,P坐标为_ 8. 九个连续正整数自小到大排成一个数列，若的值为一平方数，的值为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 二、 解答题（本大题共3小题，共56分,解答应写出文字说明，演算过程或证明步骤）9（本题满分16分）数列满足：；令；求 10.（本题满分20分）已知抛物线的顶点在原点，焦点为，.（1）过点斜率为1的直线交于两点，若关于原点对称点为.求的最大值.（2）过点斜率为的直线交于两点，若轴上是否存在一点，使与轴所成的锐角相等，求坐标.11.（本题满分20分）设函数，其中，b为任意常数。证明：当时，有1.30解：；。要使，则，即。所以数对共有2. 解：由，所以。3. 解：，作平面，垂足为，连，由三垂线逆定理，所以，故，又因为正方形，则，因此正三角形的面积为，设到平面的距离为，由，得4. 解：曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为，则。所求直线方程为。5. (2n+2n3)解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn1，bn=2n即=，=(2n+2n3)6. 解;，所以。7.(1,0) 解：当MPN最大时，MNP与x轴相切于点P(否则MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使MPN更大)于是，延长NM交x轴于K(3，0)，有KMKN=KP2，KP=4P(1，0)，(7，0)，但(1，0)处MNP的半径小，从而点P(1,0)8. 解：设这九数为 ，则有，则，得 令，得，所以 ，再取，化为 ，取，可使左式成立，这时，9.解：改写条件式为，则，所以，；10. 解：（1）由条件知，抛物线C的方程为，直线的方程为，点Q的坐标为由得， 由，得设, 则,又因为点到直线的距离，所以QAB的面积，其中. 记，则所以，当时，, 当时，所以，在区间 上为减函数所以时，取最大值因此，QAB面积的最大值为 (2) 方程为,由得，设, 则设点T存在，其坐标为由TM、TN与轴所成的锐角相等知，即，即，所以因此，符合条件的点T存在，其坐标为11.证： 已知，所以为其极小值点，此时，而. （5分）1）；此时有. (i) 当时，； （此不等式显然成立） 于是有。 (ii) 当时，；此时同样有。 于是有。 (iii) 当时，此时考虑 于是有。 （10分）2) ；此时有。
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