2.1.4数乘向量.doc

平面向量测试题(A卷)第卷(选择题，共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若a，b满足|a|b|且a与b同向，则ab D.对于任意向量a、b,必有|a+b|a|+|b| 解析：向量既有大小又有方向；向量不能比较大小，向量的模可以比较大小；方向相同或相反的非零向量叫平行向量(即共线向量). 答案：D2.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 解析：向量相等向量的模相等，但向量的模相等向量相等. 答案：B3.在四边形ABCD中，则( ) A.ABCD是矩形 B.ABCD是菱形 C.ABCD是正方形 D.ABCD是平行四边形 解析：由可知AC就是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD为平行四边形. 答案：D4.已知=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则( ) A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线 C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线 解析：=-a+13b，=2a+10b=2(a+5b)=2，与共线，且共点A，A、B、D三点共线. 答案：A5.当|a|=|b|0且a、b不共线时，a+b与a-b的关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 解析：当a与b不共线时，a+b与a-b分别是以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线，由|a|=|b|0可知该平行四边形为菱形，a+b与a-b垂直. 答案：B6.在ABCD中，错误的式子是( ) A. B.C. D. 答案：B7.设a是非零向量，是非零实数，下列命题中是真命题的是( ) A.a与-a的方向相反 B.|-a|a| C.a与2a的方向相同 D.|-a|=|a 解析：(1)|a|=|a|,(2)当0时，a与a方向相同，当|b|,则a+b的方向与a方向_；此时|a+b|_|a|-|b|.解析：如图，作=a,=b,则=a+b，由图可知a+b与a方向相同，且|a+b|=|a|-|b|. 答案：相同 =13.已知ABCDEF为正六边形，且=a，=b，则用a，b表示为_. 解析：如图，=a-=a-b. 答案：a-b14.e1,e2不共线，当k=_时，a=ke1+e2,b=e1+ke2共线. 解析：设a=b,则有ke1+e2=e1+ke2 有 k=1 答案：1三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分) 化简：. 解法一：(统一成加法) 0. 解法二：(利用) = 0. 解法三：(利用) 设O是平面内任一点，则 0.16.(本小题满分10分) 已知ABCD是等腰梯形，E、F分别是两腰BC、AD的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM=MN=NF，下底长是上底长的2倍，若=a，=b，求. 解法一：a, a.过C作CGAD交AB于点G，则 a+b a+b =(a+b)+a=a+b. 解法二：，,a a =a+b-a=a+b.17.(本小题满分12分) 如图，若G是ABC的重心，求证：=0. 证法一：如图，以、为邻边作AGCH，连结GH，易知GH过点E，且，则 =0. 证法二：+0 =0 =018.(本小题满分12分) 已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=-e1-8e2, =3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数的值. 解法一：A、B、D三点共线 与共线，存在实数k,使=k 又 =(+4)e1+6e2. 有e1+e2=k(+4)e1+6ke2 有 解法二：A、B、D三点共线 与共线， 存在实数m,使又=(3+)e1+5e2 (3+)me1+5me2=e1+e2 有 19.(本小题满分12分) 某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳. (1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 解：(1)如图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作OACB，则此人的实际速度为 图 图由勾股定理知|=8 且在RtACO中，COA=60,故此人沿与河岸成60的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/