岩土数值分析考试2.doc

岩土数值分析期末试题 一、名词解释：格林函数 答：1）在数学中，格林函数是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数； 2）在数学物理中，格林函数又称为点源影响函数，它表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理，我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法。而点源产生的场就叫做格林函数。 定义：给定流形M上的微分算子L，其格林函数，为以下方程的解其中为狄拉克函数。二、简答：1、 岩土工程数值分析方法的根本缺陷？ 答：将数值分析方法引入岩土工程中，进行定量分析是一个重要的发展方向，但是，所有这些数值分析方法的在引入过程中，都存在一个根本缺陷，这个根本缺陷就是边界问题一直没有得到真正的解决。比如，有限元、离散元、FLAC等方法，能够计算复杂裂隙块体系统的问题，甚至是大变形的问题，但是，离散元本身并没有对在计算之前如何才能建立一个合理、可靠的复杂裂隙系统提供任何有效的方法。这就使得岩土工程数值计算的地质力学模型带来了很大的任意性，从而也使岩土工程中的计算结果定量化问题不能真正的实现。2、 岩土工程数值分析基本程序？ 答：针对科学与工程实际问题，依据物理、力学规律建立问题的数学模型，这些模型一般为代数方程、微分方程等。科学计算的一个重要方面就是研究解这些数学问题的数值计算方法（适合计算机计算的计算方法），然后通过计算软件在计算机上计算出实际需要的结果。数值分析内容包括：函数的插值与逼近方法，微分与积分计算方法，线性方程组与非线性方程组计算方法，常微分方程与偏微分数值解等。3、 为什么边界元法缺乏知名商业软件？答：一方面，边界元法的应用范围必须以存在相应微分算子的基本解为前提，而且，建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，方程组系数的积分计算和方程组的求解所需时间长，对解题规模产生了较大限制；另一方面，由于边界问题的复杂性，人们对边界问题没有真正了解，开发的边界元法商用软件不像有限元法那样容易实现，前后处理十分频繁。总之，由于边界元法的局限性和人们对边界元问题难以把握，使边界元软件没有得到广大的认可，进而开发商缺少商业价值，所以，就目前来说，还没有出现有关边界元法的知名商业软件。三、证明： 球应力张量与形状应变、偏应力张量与体积应变是否存在偶和作用？ 对于各向同性材料，球应力张量与形状应变、偏应力张量与体积应变不存在耦合作用；对于各向异性材料，球应力张量与形状应变、偏应力张量与体积应变存在耦合作用。证明： 1）各向同性 应力张量可以分解为一个各方向应力相等的球应力张量和偏应力张量：其中， 应变张量分解为球应变张量和偏应变张量：其中，由广义胡克定律：于是从而由（1）、（2）可知，球应力张量只能使物体产生体积变化，偏应力张量使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。因此，得证。2） 各向异性 各向异性材料的一般应力应变关系： 球应力张量引起的的形状应变把体积变形与剪切变形分开，并令则有记平面应变为，则偏应力张量引起的体积变形为 则对应的体积应变由（3）、（4）式可知：对于各向异性材料，应力球张量、应力偏张量的各个分量均是线性关系，正应力不仅要引起线应变，同时还要引起切应变；而且切应力不仅引起切应变，还要引起线应变。因此，得证！四、 求对流方程的三种差分方程和截断误差。初值问题：解： 对作傅里叶变换 ，假定当时，。得解得 于是 在平面上作分别平行于轴和轴的两组平行线 其中， 为空间步长，为时间步长。将函数展开为泰勒级数形式：在节点处有从而可得向前差分公式同理可利用节点得到向后差分公式分别在节点和处多取一项，则有联立两式求得中心差分公式1）向前差分的截断误差 将向前差分公式（1）带入扩散方程得 设是向前差分格式的截断误差，则依据截断误差的概念可得在上式中，带括号部分为零，其余部分代入下列在节点处的带余项的泰勒级数展开式，即并注意到 满足扩散方程，从而，可得 所以，向前差分格式对时间 的精度是一阶的，对空间的精度也是一阶的。2）向后差分格式的截断误差 将向前差分公式（2）带入扩散方程得 设是向后差分格式的截断误差，则依据截断误差的概念可得在上式中，带括号部分为零，其余部分代入下列在节点处的带余项的泰勒级数展开式，即并注意到满足扩散方程，从而，可得 所以，向后差分格式对时间的精度是一阶的，对空间的精度也是一阶的。3）中心差分格式的截断误差 将中心差分公式（3）带入扩散方程得 设是差分格式（4）的截断误差，则依据截断误差的概念可得在上式中，带括号部分为零，其余部分代入下列在节点处的带余项的泰勒级数展开式，即并注意到满足扩散方程，从而，可得 所以，该差分格式对时间的精度是一阶的，对空间的精度也是一阶的。五、计算轴向和侧向加载下混凝土单桩的荷载挠度特征曲线。首先对桩施加一个100KN的轴向荷载，桩顶在水平方向最大位移4cm。确定桩的轴向加载和极限承载力之间的关系，同时计算侧向荷载挠度曲线。桩直径0.6m，长度5m，埋在均质粘性土图层中。地下水位距地面5.5m。混凝土桩和粘性土性质见下表：粘土中混凝土桩基础的材料性质混凝土桩粘土干密度2500kg