第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲传真1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)如果pq，那么p与q互为充要条件(3)如果pDq，且qDp，则p是q的既不充分也不必要条件4集合与充要条件设集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，则有：(1)若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件(2)若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件(3)若AB，则p是q的充要条件1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x22x30”是命题()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”()解析(1)错误该语句不能判断真假，故该说法是错误的(2)错误否命题既否定条件，又否定结论(3)正确q是p的必要条件说明pq，所以p是q的充分条件(4)正确原命题与逆否命题是等价命题答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A若，则tan 1B若，则tan 1C若tan 1，则D若tan 1，则C“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则 綈p”，显然綈q：tan 1，綈p：，所以该命题的逆否命题是“若tan 1，则”3已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的() 【导学号：31222005】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Aa3时，A1,3，显然AB.但AB时，a2或3.“a3”是“AB”的充分不必要条件4命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A1B2 C3D4B原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是假命题因此4个命题中有2个假命题5(2016天津高考)设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件C当x1，y2时，xy，但x|y|不成立；若x|y|，因为|y|y，所以xy. 所以xy是x|y|的必要而不充分条件四种命题的关系及其真假判断(1)命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为()A“若x4，则x23x40”为真命题B“若x4，则x23x40”为真命题C“若x4，则x23x40”为假命题D“若x4，则x23x40”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假(1)C(2)B(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x23x40，得x4或1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题当z112i，z22i时，显然|z1|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题规律方法1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式2给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可3由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假变式训练1原命题为“若an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，真，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假A由an，得anan12an，即an1an.所以当an时，必有an1an，则an是递减数列反之，若an是递减数列，必有an1an，从而有an.所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题充分条件与必要条件的判断(1)(2014全国卷)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则()Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(2)设xR，则“1x2”是“|x2|1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(1)C(2)A(1)当f(x0)0时，xx0不一定是f(x)的极值点，比如，yx3在x0时，f(0)0，但在x0的左右两侧f(x)的符号相同，因而x0不是yx3的极值点由极值的定义知，xx0是f(x)的极值点必有f(x0)0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件(2)|x2|11x3.由于x|1x2是x|1x3的真子集，所以“1x2”是“|x2|1”的充分不必要条件规律方法充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题变式训练2(2016武汉模拟)设集合M1,2，Na2，则“a1”是“NM”的() 【导学号：31222006】A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件B若a1，则集合N1，此时满足NM.若NM，则a21或2，所以a1或a.故“a1”是“NM”的充分不必要条件充分条件、必要条件的应用已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围解由x28x200得2x10，Px|2x10.3分xP是xS的必要条件，则SP，0m3.8分综上，可知0m3时，xP是xS的必要条件.12分迁移探究1本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解由例题知Px|2x10.2分若xP是xS的充要条件，则PS，8分这样的m不存在.12分迁移探究2本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由例题知Px|2x10綈P是綈S的必要不充分条件，P是S的充分不必要条件，PS且SDP，4分2,101m,1m，或8分m9，即m的取值范围是9，).12分规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)要注意区间端点值的检验变式训练3(1)(2017长沙模拟)已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_(2)方程ax22x10(aR，a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是_(1)(0,3)(2)a0或a1(1)令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要条件，MN，解得0a0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0D根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”2(2017杭州调研)设，是两个不同的平面，m是直线且m.则“m”是“”的() 【导学号：31222007】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Bm，m，但m，m，“m”是“”的必要不充分条件3“x1”是“x22x10”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件A因为x22x10有两个相等的实数根，为x1，所以“x1”是“x22x10”的充要条件4给出下列命题：“若a2b2，则a1，则ax22axa30的解集为R”的逆否命题；“若x(x0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中正确的命题是()AB CDA对于，否命题为“若a2b2，则ab”，为假命题；对于，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于，当a1时，12a0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故正确；对于，原命题正确，从而其逆否命题正确，故正确，故命题为真命题5(2017南昌调研)m1是直线mx(2m1)y10和直线3xmy90垂直的() 【导学号：31222008】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由直线mx(2m1)y10与3xmy90垂直可知3mm(2m1)0，m0或m1，m1是两直线垂直的充分不必要条件6设p：1x1，则p是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由2x1，得x0，所以pq，但qp，所以p是q的充分不必要条件7已知条件p：x22axa210，条件q：x2，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()Aa1Ba1Ca3Da3B条件p：xa1或x2，又q是p的充分不必要条件，故qp，pDq，所以a12，即a1.二、填空题8已知a，b，c都是实数，则在命题“若ab，则ac2bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是_. 【导学号：31222009】2由abac2bc2，但ac2bc2ab.所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题从而否命题是真命题，逆否命题是假命题9“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件充分不必要x2xm0有实数解等价于14m0，即m，因为mm，反之不成立故“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的充分不必要条件10已知集合Ax|ylg(4x)，集合Bx|xa，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_(4，)Ax|x4，由题意知AB，所以a4.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017西安调研)“sin cos ”是“cos 20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Acos 20等价于cos2sin20，即cos sin .由cos sin 可得到cos 20，反之不成立2(2016四川高考)设p：实数x，y满足x1，且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Axy2，即pq.而当x0，y3时，有xy32，但不满足x1且y1，即qD/p.故p是q的充分不必要条件