机械优化设计二PPT课件.ppt

第六节不等式约束优化问题的极值条件 在工程上大多数优化问题都可以表示为不等式约束条件的优化问题 一 一元函数在给定区间上的极值条件对于一元函数f x 在给定区间 a b 上的极值问题可以写成下列具有不等式约束的条件的优化问题minf x s t g1 x a x 0g2 x x b 0 1 第六节不等式约束优化问题的极值条件 拉格朗日乘子法不仅适于等式约束优化问题 而且可以推广应用于不等式约束优化问题 为了能应用拉格朗日乘子法来讨论此问题的极值条件 需要引入松弛变量将不等式约束变成等式约束 2 第六节不等式约束优化问题的极值条件 这样得到该问题的拉格朗日函数 3 此问题的极值条件是 4 分析 1 这说明对于 1和g1 二者至少必有一个取零值 因此可将 1 1的条件写成 1g1 0 5 第六节不等式约束优化问题的极值条件 同样 2b1 0的分析结果可以表示为 2 0 g2 0为起作用约束 即 b 0 g2 0为不起作用约束 即 b 因此 可以将 2b1 0的条件写成 2g2 0 这样 对于一元函数f x 在给定区间上的极值条件 就可以完整的表示为 6 第六节不等式约束优化问题的极值条件 分析点x 在区间 a b 上的极值条件 将会出现三种可能情况 7 第六节不等式约束优化问题的极值条件 引入起作用约束下标集合J x j gj x 0 1 2 当a x b时两个约束都不起作用 故有J x 空集 1 2 0 当x a时 第一个约束起作用 故有J x 1 1 0 2 0 当x b时 第二个约束起作用 故有J x 2 1 0 2 0 所以 8 第六节不等式约束优化问题的极值条件 二 库恩 塔克条件对于多元不等式的约束优化问题f x s t gj x 0 j 1 2 m 同样可以应用拉格朗日乘子法导出相应的极值条件 为此 需要引入m个松弛变量 从而组成相应的拉格朗日函数 使不等式约束gj x 0 j 1 2 m 变成等式约束 其中 是对应于不等式约束的拉格朗日乘子向量 1 2 j m T 并有非负的要求 即 0 9 第六节不等式约束优化问题的极值条件 其中是对应与不等式约束的拉格朗日乘子向量 1 2 j m T 并有非负的要求 即 0 根据无约束极值条件 在极值点处有 10 第六节不等式约束优化问题的极值条件 同样可以得到具有不等式约束的多元函数极值条件 即 库恩 塔克条件 11 第六节不等式约束优化问题的极值条件 引入起作用约束的下标集合 库恩塔克条件又可以写成下述形式 将上述偏微分形式表示为梯度形式 得 12 第六节不等式约束优化问题的极值条件 库恩塔克条件的几何意义是 在约束极小点x 处 函数f X 得负梯度一定能表示成所有约束在改点梯度 法向量 得非负线性组合 两个起作用约束 图中考虑两个约束g1 x 和g2 x 都起作用的情况 并考虑在点xK处目标函数的负梯度 f xK 时的图形 如果点xK是极值点 则 f xK 1 g1 x 2 g2 x 此条件要求点XK一定要落在约束面g1 x 0和g2 x 0的交线上 而且 f xK 与 g1 x 和 g2 x 应该线性相关 即三者共面 13 第六节不等式约束优化问题的极值条件 图a中 f x 落在 g1 x 和g2 x 张成的锥角之内 作出和 f x 垂直的过xk的目标函数等值面的切平面 把空间分成两个区域 当从包含 f x 的一侧移动时 将可使目标函数值减少 但这一侧的任何一点都不落在可行域内 显然此时的xk就是约束最优点或局部最优点 图b中 f x 落在 g1 x 和g2 x 张成的锥角之外 作出和 f x 垂直的过xk的目标函数等值面的切平面 把空间分成两个区域 当从包含 f x 的一侧移动时 将可使目标函数值减少 但是这一侧有一部分是可行域 在图中这样的区域是由f x C和g2 x 0 形成的 结果是既可以使目标函数值减少又不破坏约束条件