江苏省镇江市高三数学第一学期期末试卷Word版含答案.doc

江苏省镇江市高三数学期末试题 2015 年 2 月 第 I 卷 注意事项 1 本试卷由填空题和解答题两部分组成 满分 160 分 考试时间为 120 分钟 2 答题前 请您务必将自己的学校 姓名 考试号用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔填写 在答题卡上规定的地方 3 答题时必须用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其它位置作 答一律无效 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 不需要写出解答过程 请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上 1 记复数ibiaz 为虚数单位 的共轭复数为 Rbabiaz 已知iz 2 则 2 z 2 设全集ZU 集合 2 1 0 1 2 2 1 PM 则 U PM 3 某校共有师生 1600 人 其中教师有 1000 人 现用分层抽样的方法 从所有师生中抽取 一个容量为 80 的样本 则抽取学生的人数为 4 若双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 4 1 则 该双曲线的渐近线方程是 5 已知向量baxbxa 1 2 1 12 则 x 6 执行如图流程图 若输入 2 1 20 ba 则输出a的值为 7 设 为互不重合的平面 nm 是互不重合的直线 给出下列四个命题 若 nnm 则 m 若 nmnm 则 若 nm 则nm 若mnnm 则 n 其中正确命题的序号为 ba 开始 N Y 结束 输出 a baa 输入 ba 8 设nm 分别为连续两次投掷骰子得到的点数 且向量 1 1 bnma 则向量 ba 的夹角为锐角的概率是 9 设等比数列 n a的前n项和为 n S 若 63 7 63 SS则 987 aaa 10 已知直线l过点 2 1 P且与圆2 22 yxC相交于BA 两点 ABC 的面积为 1 则直线l的方程为 11 若钝角三角形三个内角的度数成等差数列 且最大边与最小边长度之比为m 则m的 取值范围是 12 若函数 xf为定义在R上的奇函数 当0 x时 xxxfln 则不等式 exf 的解集为 13 曲线 0 1 x x y与曲线xyln 公切线 切线相同 的条数为 14 已知正数yx 满足1 11 yx 则 1 9 1 4 y y x x 的最小值为 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出必要 的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知ABC 的面积为S 且SACAB2 1 求Asin 2 若32 3 ACABAB 求Bsin 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥ABCD 中 已知BCD 是正三角形 AB平面BCD aBCAB E为BC的中点 F在棱AC上 且FCAF3 1 求三棱锥ABCD 的体积 2 求证 AC平面DEF 3 若M为DB中点 N在棱AC上 且 CACN 8 3 求证 MN平面DEF 17 本小题满分 15 分 某飞机失联 经卫星侦查 其最后出现在小岛O附近 现派出四艘 搜救船DCBA 为方便联络 船BA 始终在以小岛O为圆心 100 海里为半径的圆上 船DCBA 构成正方形编队展开搜索 小岛O在正方形编队外 如图 设小岛O到 AB的距离为x DAOB 船到小岛O的距离为d 1 请分别求d关于 x的函数关系式 fdxgd 并分别写出定义域 2 当BA 两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大 即d最大 18 本小题满分 15 分 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点 0 1 F 离心率为 2 2 过F作两条互相垂直的弦CDAB 设CDAB 的中点分别为NM 1 求椭圆的方程 2 证明 直线MN必过定点 并求出此定点坐标 3 若弦CDAB 的斜率均存在 求FMN 面积的最大值 19 本小题满分 16 分 已知函数 xx xf24 实数ts 满足0 tfsf 设 tsts ba 2 22 1 当函数 xf的定义域为 1 1 时 求 xf的值域 2 求函数关系式 agb 并求函数 ag的定义域 3 求 ts 88 的取值范围 20 本小题满分 16 分 已知数列 n a中 1 1 a 在 21 a a之间插入 1 个数 在 32 a a之 间插入 2 个数 在 43 a a之间插入 3 个数 在 1 nn aa之间插入n个数 使得所有插入 的数和原数列 n a中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 n b 1 若19 4 a 求 n b的通项公式 2 设数列 n b的前n项和为 n S 且满足 2 nn bS为常数 求 n a的通 项公式 江苏省镇江市高三数学期末试题 第 卷 理科附加卷 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 圆O与圆P相交于BA 两点 点P在圆O上 圆O的弦BC切圆P于点B CP及 其延长线交圆P于ED 两点 过点E作CEEF 交CB延长线于点F 若 22 2 CBCD 求EF的长 B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 10 0 2 1 20 01 NM 试求曲线xysin 在矩阵MN变换下的函数解析式 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线l的极坐标方程为sin 6 3 p rq 圆C的参数方程为 10cos 10sin x y q q q 为参数 1 请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程 2 求直线l被圆截得的弦长 D 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 12f xxx 若不等式 ababa f x 对任意 a bR 恒成立 求实数x的取值范围 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 计 20 分 请把答案写在答题纸的指定区域内 22 本小题满分 10 分 已知A为曲线 2 410Cxy 上的动点 定点 2 0 M 若2ATTM 求动点T的 轨迹方程 23 本小题满分 10 分 已知四棱锥PABCD 的底面为直角梯形 90 ABCDDABPA 底面ABCD 且 1 1 2 PAADDCABM 是PB的中点 1 证明 平面PAD 平面PCD 2 求AC与PB所成角的余弦值 3 求平面AMC与平面BMC所成二面角 锐角 的余弦值 M P A D B C 江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案 第 卷 一 填空题 每小题 5 分 题号答案试题出处知识点能力难度 134i 模考题改编复数的运算 共轭复数运算易 2 2 1 0 教材改编集合的交集与补集运算易 375教材改编分层抽样运算易 4 3 3 yx 教材改编双曲线的几何性质运算易 51教材改编向量的数量积运算易 6 5 16 教材改编算法流程图识图易 7 教材改编立体几何的判定和性质定理空间想象中 8 5 12 原创概率问题 向量的夹角运算中 9448教材改编等比数列的性质 求和运算中 10 10 x 3450 xy 教材改编 直线和圆的位置关系 点到直 线的距离公式 运算中 11 2 模考题改编正弦定理 角度范围的确定直觉 图形分析较难 12 e 原创题 函数的奇偶性 函数求导 函 数单调性 图象分析难 131模考题改编 函数求导 构造函数及画新函 数图像 转化 运算难 1425模考题改编基本不等式求最值转化难 二 解答题 15 解 1 ABC的面积为S 且2AB ACS 1 cos2sin 2 bcAbcA 2 分 sin2cosAA 3 分 A为锐角 且 22222 13 sincossinsinsin1 22 AAAAA 5 分 6 sin 3 A 6 分 2 设 ABC中角 A B C对边分别为 a b c 3ABc 2 3ABACCBa 7 分 由正弦定理得 sinsin ca CA 即 32 3 sin6 3 C 9 分 2 sin 2 C 又 ca 则C锐角 10 分 4 C 11 分 sinsin sincoscossin 444 BAAA 12 分 62322 36 32326 14 分 说明 本题是由模拟试题改编 考查三角形中的边角关系 向量的数量积运算 考查正 弦定理 三角变换 考查学生的字母符号处理能力 运算能力能力 书写表达 16 解 1 因为 BCD是正三角形 且ABBCa 所以 2 3 4 BCD Sa 2 分 因为 AB 平面BCD 1 3 D ABCA BCD VVAB S BCD 2 13 34 aa 3 3 12 a 5 分 2 在底面ABC中 以下运用的定理不交代在同一平面中 扣 1 分 取AC的中点H 连接BH ABBC BHAC 3 AFFC F 为CH的中点 E为BC的中点 BCD是正三角形 DEBC EF 6EFAC 分 BH B BC ABB AA CB BC 面 9 8 DEABC AB DE CAC AC 面分 分 面 7 BCD B AB ABDE DCED 面 分 面 A DE EF CEF DEE DEF FE 面 ACDEF 面 10 分 注意 涉及到立体几何中的结论 缺少一个条件 扣 1 分 扣满该逻辑段得分为止 3 当 3 8 CNCA 时 连CM 设CMDEO 连OF O为 BCD的重心 2 3 COCM 当 2 3 CFCN 时 MN OF 11 分 MN DEF面 14 分 说明 本题是由模考题改编 考查锥体体积 垂直的判定 平行的判定 考查空间想象 能力和识图能力 规范化书写表达能力 17 解 设 x的单位为百海里 1 由OAB 2cosABOAA 2cos A 2cosADAB 2 分 在 AOD中 22 2cos 2 ODfOAOBOA OB 3 分 2 14cos4cossin 0 2 定义域 1 分 5 分 若小岛 O 到 AB 的距离为 x 22 2 1ABx 6 分 22 22 ADAB ODg xx 8 分 22 212xxx 0 1 x 定义域 1 分 10 分 2 22 4cos14cossinOD 0 2 1cos2sin2 414 22 2 sin2cos2 3 2 2sin 2 3 0 42 11 分 当 5 2 444 则 2 42 时 即 8 OD取得最大值 12 分 此时 1cos 4 2cos222 82 AB 百海里 13 分 答 当 AB 间距离100 22 海里时 搜救范围最大 14 分 说明 本题是原创题 考查余弦定理 三角恒等变换 数学建模的能力 选择合适的模 型求最值的问题 OFDEF EMND F 面 面 18 解 1 由题意 2 1 2 c c a 则2 1 1abc 每个 1 分 3 分 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 2 AB CD斜率均存在 设直线 AB 方程为 1 yk x 1212 1122 1 22 xxxx A x yB xyMk 22 1 220 yk x xy 得 2222 12 4220kxk xk 5 分 2 12 2 2 12 2 4 12 22 12 k xx k k x x k 故 2 22 2 1212 kk M kk 6 分 将上式中的k换成 1 k 则同理可得 22 2 22 k N kk 8 分 如 2 22 22 122 k kk 得1k 则直线MN斜率不存在 此时直线MN过点 2 0 3 下证动直线MN过定点 2 0 3 P 9 分 法一 若直线MN斜率存在 则 2 22 242 22 33 3 122 222221 122 MN kk kkk kk k kkk kk 直线MN为 222 32 2212 kk yx kkk 11 分 令0y 得 22 222 2212312 232323 kk x kkk 综上 直线MN过定点 2 0 3 12 分 法二 动直线MN最多过一个定点 由对称性可知 定点必在 x轴上 设 2 3 x 与 x轴交 点为 2 0 3 P 下证动直线MN过定点 2 0 3 P 当1k 时 PM k 2 22 2 3 12 2221 123 k k k kk k 10 分 同理将上式中的k换成 1 k 可得 2 2 1 33 1 221 1 PM k k k k k 11 分 则 PMPN kk 直线MN过定点 2 0 3 P 12 分 3 由第 2 问可知直线MN过定点 2 0 3 P 故 S FMN S FPM S FPN 22 1111 23 223 12 kk kk 22 2242 1 33 1 1 6 2 12 2252 kkkk kkkk 13 分 2 2 1 1 2 2 25 k k k k 令 1 2 tk k S FMN 2 1 22 2 5 t f t t 2 1 221 t t 14 分 2 22 1 12 0 2 21 t ft t 则 f t在 2 t 单调递减 15 分 当2t 时 f t取得最大值 此时 S FMN取得最大值 1 9 此时1k 16 分 说明 本题原创 考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 考查函数最值 定点定值问 题题型 考查变量代换法 函数思想 分类讨论思想 一般与特殊思想 考查运算能力 演绎论证 分析法证明 能力 直觉思维能力 猜想探究能力 本题可以不妨设0k 可直接对 2 42 1 252 k k kk 求导 判断单调性 19 解 1 若 1 1 x 令 1 2 2 2 x m 1 分 22 11 24 f xl mmmm 在 1 2 2 上为增函数 2 分 minmin 11 24 f xl ml maxmax 2 2f xl ml 3 分 f x值域为 1 2 4 4 分 2 实数 s t满足 0f sf t 则42420 sstt 则 2 22 22 22 0 sts tst 6 分 而22 st a 2s tb 故 2 20aba 2 1 2 bg aaa 7 分 由题意 0 0ba 则 2 1 0 2 aa 故1a 8 分 又 2 22 22442 2 st stst 即 2 2 a a 故2a 当且仅当st 时取得等号 9 分 综上 12a 10 分 3 88 22 4224 ststsstt a ab 232 1113 2222 a aaaaa 1 2 a 12 分 令 32 13 1 2 22 h aaaa h a 2 33 3 2 0 22 a aa a 当 1 2 a 恒成立 14 分 故 h a在 1 2 a 单调递增 1 2 h ahh 故88 st 1 2 16 分 说明 本题原创 考查二次函数 指数函数的单调性 考查基本不等式 导数的应用 考查换元法 划归思想 考查运算变形能力 20 解 1 设 n b的公差为d 由题意 数列 n b的前几项为 112 1 bab 324563789104 19ba b b ba b b b ba 2 分 4 a 为 n b的第 10 项 则 101 9bbd 4 分 2d 而 1 1b 5 分 故数列 n b的通项公式为 n b12 1 21nn 6 分 2 由2 nn Sb 为常数 得 222 2 2 nnnn Sbbb 7 分 当1n 得 2 212 当2n 时 22 111 22 nnn Sbb 得 22 11 22 nnnnn bbbbb 8 分 则 1 2 2 2 2 nnnn bd bbddbdd 9 分 若0d 则 1 1 n bb 代入 式 得20 不成立 10 分 法一 当2n 2 22 2 n d bdd 常数 恒成立 又 n b为正项等差数列 当0d 时 n b 不为常数 则 2 220 20 d dd 得 1 1 2 d 11 分 代入 式 得 1 4 12 分 法二 2 2 2 nn bdbdd 2 22 2 n d bdd 即 2 1 22 1 2d bnddd 则 22 2 1 2 1 2dd nddd 对n 2 恒成立 令2 3n 得 22 22 4 1 2 1 2 6 1 2 1 2 ddddd ddddd 解得 1 1 2 d 11 分 或者 22 2 1 2 1 2dd nddd 常数 则2 1 0dd 得1d 当1d 时 代入上式得 1 2 代入 式 得 1 4 12 分 法三 由 1 2 2 2 nnn bd bbd n 得 112 2 2 3 nnn bd bbd n 得 2 22dd 1d 代入上式得 1 2 11 分 代入 式 得 1 4 12 分 所以等差数列 n b的首项为 1 1b 公差为1d 则 n bn 13 分 设 n a中的第n项为数列 n b中的第k项 则 n a 前面共有 n a的1n 项 又插入 了 1 123 1 2 n n n 项 则 1 1 1 2 n n kn 2 2 nn 15 分 故 2 2 nk nn abk 16 分 说明 本题是原创题 考查等差数列的性质 通项 求和 简单递推 考查一般与特殊 思想 转化与划归思想 考查运算能力 考查分析探究能力 第 卷理科附加卷 21 B 解 MN 10 02 1 0 2 01 1 0 2 02 4 分 即在矩阵 MN 变换下 11 0 2