人教版数学选修2-1第三章空间向量与立体几何学案.doc

高二级数学（理）科空间向量与立体几何学案主备人：张艳浩 成员：廖凌煌 张艳浩3.1.1空间向量及其运算学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律。难点：应用向量解决立体几何中的问题。学习过程一、课前准备复习 1：平面向量基本概念； 加法交换律：abba2：平面向量有加减以及数乘向量运算； 加法结合律：(ab)ca（bc）3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 数乘分配律：(ab)ab二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算。反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律：A. + B. = B. + a；加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；数乘分配律：(A. + b) =A. +b典型例题例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ； 变式：在上图中，用表示和.例2 化简下列各式： ; .练1. 已知平行六面体, M为AC与BD的交点，化简下列表达式： ; ; .三、总结提升学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律四、课后反思3.1.2 空间向量的数乘运算（一）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的共线难点：空间向量的共线学习过程 一、课前准备复习1：化简： 5（）+4（）； .复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是 二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，使得 试试：已知 ，求证: A,B,C三点共线. 典型例题例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t 例2 已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，试用向量表示向量.练1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量与非零向量共线，与共线，则与 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量与共线，则. 2. 已知，若，求实数 三、总结提升学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 课后反思：3.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的共面难点：空间向量的共面学习过程 一、课前准备复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是 2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，试判断A,B,P三点是否共线？二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？ 1.新知：共面向量： 同一平面的向量. 2. 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： 存在 ，使 对空间任意一点O，有 试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与 A,B,C共面吗？反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与 A,B,C共面，则 .典型例题例1 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ） .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量则P,A,B,C四点共面的条件是 例2 P88例一变式1：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.2. 已知，若，求实数 三、总结提升学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 课后反思3.1.3空间向量的数量积学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题重点：空间向量的数量积定义和性质难点：空间向量的数量积性质与运算学习过程 一、课前准备复习1：什么是平面向量与的数量积？ 2：在边长为1的正三角形ABC中，求.二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质 问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 . 试试： 范围: =0时, ;=时, 成立吗？ ，则称与互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思： 两个向量的数量积是数量还是向量？ 4) 空间向量数量积运算律： （选0还是） （1） 你能说出的几何意义吗？ （2）（交换律）3) 空间向量数量积的性质： （3）（分配律）（1）设单位向量，则（2） （3） .5） 吗？ 若，则吗？ 若，则吗？ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.例2 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（ ）A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 三、总结提升学习小结1.向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.课后反思：知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；重点：空间向量基本定理、向量的直角坐标运算难点：空间向量的正交分解、空间向量的坐标表示学习过程 一、课前准备复习1：平面向量基本定理：复习2：平面向量的坐标表示：二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：（1）空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .设A，B，则 .向量的直角坐标运算：设a，b，则ab； ab；a； ab.试试：1. 设，则向量的坐标为 .2. 若A，B，则 .3. 已知a，b，求ab，ab，8a，ab练1. 已知，求：； .练2. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是 ， ， .三、总结提升 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算课后反思：知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.重点：空间向量坐标表示夹角和距离公式难点：空间向量坐标表示夹角和距离公式学习过程 一、课前准备复习1：设在平面直角坐标系中，A，B，则线段AB .复习2：已知，求：aB. 3ab； 6A. ； ab.二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模：设a，则a 2. 两个向量的夹角公式：设a，b，由向量数量积定义：ab|a|b|cosa,b，又由向量数量积坐标运算公式：ab ，由此可以得出：cosa,b 试试： 当cosa、b1时，a与b所成角是 ； 当cosa、b1时，a与b所成角是 ； 当cosa、b0时，a与b所成角是 ，即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设a，b，则 a/b. a与b所成角是 a与b的坐标关系为 ； aba与b的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，则线段AB的长度为：.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点，则线段AB的中点坐标为: .典型例题例1. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值变式：如上图,在正方体中，求与所成角的余弦值例2. 如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：.变式：如图，正方体中，点M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值.三、总结提升学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.课后反思：3.2立体几何中的向量方法（1）学习目标 1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题重点：向量表示空间的点、直线、平面、平面的法向量难点：直线的方向向量、平面的法向量学习过程 一、课前准备复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？ 复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？ 复习3：设a，b，ab 二、新课导学学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知： 点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量. 直线： 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量. 对于直线上的任一点,存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程. 平面： 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对,使得. 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. 平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作，那 么向量叫做平面的法向量.试试： 1.如果都是平面的法向量，则的关系 .2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 . 向量表示平行、垂直关系：设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则 典型例题例1 已知两点,求直线AB与坐标平面的交点.变式：已知三点,点在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标.例2 在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量. 练1. 设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系： ； .练2. 设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系： ； .三、总结提升 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质.知识拓展：求平面的法向量步骤：设平面的法向量为；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；根据法向量的定义建立关于的方程组；解方程组,取其中的一个解,即得法向量.3.2立体几何中的向量方法（2）学习目标 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.重点：用向量求空间线段的长度、用向量求空间图形中的角度难点：用向量求空间线段的长度、用向量求空间图形中的角度学习过程 一、课前准备复习1：已知，且，求.复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式求出线段长度.试试：在长方体中，已知,求的长.典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 变式：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离分别为，的长为，的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知,求的长.变式2. 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点求异面直线MN与所成的角.三、总结提升 学习小结1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式；2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为利用公式求解.知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.3.2立体几何中的向量方法（3）学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.重点：点到平面的距离的求法、两条异面直线间的距离的求法难点：点到平面的距离的求法、两条异面直线间的距离的求法学习过程 一、课前准备复习1：已知，试求平面的一个法向量. 复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示?分析:过作于O,连结OA,则d=|=, . cosAPO=|cos|D. =|cos|=新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则D. = 典型例题例1 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离.小结：求点到平面的距离的步骤： 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标； 求平面的一个法向量的坐标； 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标； 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例2 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且.已知，求公垂线的长.变式：已知直三棱柱的侧棱,底面中, ，且,是的中点,求异面直线与的距离小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.三、总结提升学习小结1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式 课后反思：1、正方体的棱长为2，分别为、的中点。求：与所成角的余弦值.2、已知正