数学人教版九年级下册相似三角形的性质与判定复习.doc

第二十七章 相似 教材分析相似作为图形的一种变换是全等变换的拓广和发展，也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础同时相似被广泛应用于现实生活中本章也处于学生逻辑推理证明进一步巩固和提高的重要阶段，通过训练提高学生分析解决实际问题的能力一 、课程学习目标：1了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段2通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边的比相等、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题3了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化4结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辨证唯物主义世界观的教育二、本章知识结构框图：三、本章双基：重点：相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定难点：相似三角形的判定定理的证明基本知识：比例基本性质，相似多边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，位似的定义及性质基本技能：会用比例线段求线段长或列方程，会用相似多边形、相似三角形的性质与判定解决简单的实际问题，会画位似图形基本思想方法：类比与对比思想、转化与化归思想、方程与函数思想基本实践活动：制作地图，测建筑物的高，测河宽等四、课时安排：预备知识 比例的概念和性质 2课时271 图形的相似 2课时272 相似三角形 共7课时 相似的判定 4课时 相似的性质 2课时 相似的应用 1课时273 位似 2课时数学活动 小结 2课时五、教学建议：1突出图形性质的探索过程，重视实验操作和逻辑推理的有机结合2注意联系实际，突出建模思想3重视运用类比和转化的数学思想方法学习本章知识4进一步培养推理论证能力5从运动变换的角度学习，加强学生对图形的认识和理解6注意把握好教学要求 7重视信息技术的应用六、各节教学要点：271图形的相似一、预备知识：1线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段，长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成2成比例线段：对于四条线段、，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段3比例的基本性质：（实质是比例式与等积式的互化）4比例的性质：（1）更比：（2）反比：（3）合比：若，则或； 推广：若，则（分母不能为0）（4）等比：如果，那么；推广：如果，那么（分母不能为0）5证明比例式的常用方法：（1）“见比设k”：（以等比性质证明为例），设则又，（2）利用等式性质：（以合比性质证明为例）证明一：， 证明二：， （3）利用比例的性质：（以等比性质证明为例），（更比） （合比）（更比） 同理：注意：教材对于成比例线段和比例的性质的要求有所降低本章要求了解线段的比、成比例线段的相关概念：如比的前项、后项，比例的项、外项、内项等，同时掌握比例的基本性质即可对于合比、等比等性质，可以很容易由比例的基本性质推出，可以向学生介绍，不作一般教学要求另外，由于对成比例线段的要求的降低，教科书在后面叙述相似多边形性质时，使用的是“对应边的比相等”，而不是“对应线段成比例”，这一点在教学时也应引起注意二、图形的相似：1相似图形：我们把这种形状相同的图形叫做相似图形2相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边的比相等3相似多边形的判定：两个边数相同的多边形，对应角都相等，对应边的比都相等，同时满足上述条件的两个多边形相似例1下列图形中，必是相似形的是（ ）A都有一个角是40的两个等腰三角形 B都有一个角为50的两个等腰梯形C都有一个角是30的两个菱形D邻边之比为2：3的两个平行四边形272 相似三角形2721 相似三角形的判定一、相似三角形的概念：1相似三角形：三组对应角分别相等，三组对应边的比分别相等的两个三角形相似注：（1）如ABC与DEF相似，记作ABCDEF，其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，B与E，C与F相对应，这样比较容易找出对应角和对应边（2）相似比带有顺序性：如：ABCABC的相似比为，反过来ABCABC的相似比为（3）全等三角形是相似比为1的相似三角形，因此全等三角形是相似三角形的特殊情况二、相似三角形的判定定理：1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似注：（1） 对于这个定理，由于没有平行线分线段成比例的定理的基础，无法进行常规证明因此教科书仅就其特殊情况（这条直线过三角形一边的中点）进行了证明，对于一般情况，可以采用合情推理的方式处理，也可以利用面积给予证明已知：如图，ABC中，DEBC，交AB、AC于D、EABCDE求证：ADEABC证明：连接CD、BEDEBC，ABCDEADE=B，AED=C，又，ABCOEME156cmNEHG图180cmCDEF过点D作DFAC，交BC于F同理又四边形DECF是平行四边形，DE=CF又A=A，ADE=B，AED=C，ADEABC（2）当平行于三角形一边的直线和其他两边延长线相交时，所构成的三角形也和原三角形相似2如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似注：（1）三角形相似的判定与三角形全等的判定方法类似，可以通过弱化定义和类比全等判定两方面来研究、记忆、理解相似三角形的判定也是从“边边边”的情况开始的全等的判定相似的判定两角夹一边对应相等（ASA）两角一对边对应相等（AAS）两边及夹角对应相等（SAS）三边对应相等（SSS）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例（2）相似三角形判定定理的证明是在其中一个三角形内部构造一个与另一个三角形全等的三角形，利用前面的引理，证明这个三角形与它相似，在这里利用了相似的传递性（3）“边边角”依然不成立反例：如图，BD=BC，A=A，但ABD与ABC不相似5直角三角形的特殊判定：（1）如果两个直角三角形的斜边的比和另一个对应的直角边的比相等，那么这两个直角三角形相似（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似三、基本图形：1平行型2交叉型2722相似三角形应用举例一、知识点：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实地距离2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应的高的比3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉所成的角，物体越小或距离越远，视角越小；盲区：观察者看不到的区域；仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角4会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度2723 相似三角形的周长与面积一、知识点：1 相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比（2）周长比等于相似比（3）面积比等于相似比的平方2 相似多边形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等（2）周长比等于相似比（3）面积比等于相似比的平方注意：本节课的关键词就是相似比。加深对相似比的认识和理解可以帮助我们更加灵活简便地分析和解决问题二、典型例题：例锐角ABC中，BC6，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MNBC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC公共部分的面积为y（y 0），当x ，公共部分面积y最大，y最大值 例如图，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P点在AC上，Q在BC上，（1）当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求PC的长；（2）当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PC的长273 位似一、知识点：1位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心注：位似变换是一种特殊的相似变换对于位似图形，有外位似和内位似之分，外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外；内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上2位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形（2）位似图形的每组对应点所在的直线都交于一点（3）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比（4）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行3在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或4利用位似将图形放大或缩小的作图步骤： 例23：利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.ABCDEA1B1C1D1E1作法： 1在平面上任取一点O； 2以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE；3在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A、B、C、D、E；使OA：OAOB：OBOC：OCOD：ODOE：OE1.5； 4连结AB、BC、CD、DE、EA；这样：1.5；则五边形ABCDE为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.简记方法:（1）选点；（2）作射线；（3）定对应点；（4）连线注意：一般情况下，经过位似变换后的图形位置有两种，这两种在取点时要防止错误二、典型例题