高中数学第四章函数应用4.1函数与方程学案北师大版必修1.doc

4.1 函数与方程6核心必知1利用函数性质判定方程解的存在(1)函数零点：函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x)0的解(2)函数零点的判定定理：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解2利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在区间a，b上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)f(b)0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法(2)用二分法求方程近似解的过程(如图)： 其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义：方程解满足要求的精确度问题思考1函数的零点是一个点吗？提示：不是，是一个使f(x)0的x的取值2函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？提示：等价关系，函数有几个零点相应方程有几个根相应函数的图像与x轴有几个交点3如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)0，在区间(a，b)上就没有零点吗？提示：若函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a)f(b)0时在(a，b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a，b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a)f(b)0时也不一定没有零点讲一讲1(1)函数f(x)4x16的零点为_(2)函数f(x)x的零点的个数是()A0B1C2 D3(3)函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)(4)已知函数f(x)2x3x2.问方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？为什么？尝试解答(1)令4x160，则4x42，解得x2，所以函数的零点为x2.答案：2(2)选C令f(x)0，而x0，x2，故有两个(3)选C由f(0)10，f(1)e10，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内(4)f(1)30，f(0)10，又函数f(x)2x3x2的图像是连续曲线，f(x)在区间1,0内有零点，即f(x)0在区间1,0内有实数解(1)求函数f(x)的零点的方法：令f(x)0，解方程f(x)0即可(2)判断函数零点的个数，常用的方法有：解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数yf(x)，yg(x)的图像，其交点的横坐标是函数yf(x)g(x)的零点(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f(x)0无法解出时，常用函数零点的判定定理：函数图像的连续性；区间端点函数值的符号相反练一练1函数f(x)xlog2x的零点所在区间为()A. B.C. D.解析：选Cfflog20.2试判断方程x32x在区间1,2内是否有实数解解：设函数f(x)x32x，则f(1)1210，f(2)8440，f(1)f(2)0.又函数f(x)x32x的图像是连续曲线，函数f(x)x32x在区间1,2内至少有一个零点，即方程x32x在区间1,2内至少有一个实数解讲一讲2当a取何值时，方程ax22x10的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？尝试解答(1)当a0时，方程即为2x10，只有一根，不符合题意(2)当a0时，设f(x)ax22x1，因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，所以即解得a1.(3)当a0时，设方程的两根为x1，x2，则x1x20，x1，x2一正一负，不符合题意综上，当a1时，方程ax22x10的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，则a的取值如何？解：设f(x)ax22x1，由已知得：或即或解得0a1. 解决该类问题，有两种常用途径：(1)利用零点的判定定理构建不等式求解(2)画出符合题意的草图，转化为函数问题数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解练一练3已知函数f(x)x2xm在区间(1,1)上有零点，求实数m的取值范围解：法一：当函数f(x)x2xm2m，其对称轴x(1,1)，故函数在区间(1,1)上只有1个零点时，0或或即14m0或或解得m或0m2或m0.当函数f(x)x2xm在区间(1,1)上有2个零点时，即解得m0.综上所述，实数m的取值范围为.法二：函数f(x)x2xm在区间(1,1)上有零点方程x2xm0在区间(1,1)上有解方程x2xm在区间(1,1)上有解函数yx2x与函数ym在区间(1,1)上有交点，函数yx2x在区间(1,1)上的值域为，m2，实数m的取值范围为.讲一讲3求方程lg x3x的近似解(精确到0.1)尝试解答令f(x)lg xx3，在同一坐标系中，作出ylg x 和y3x的图像如图所示，观察图像可以发现lg x3x有唯一解x0，x02,3，且f(2)0，f(3)0，利用二分法可列下表：计算次数左端点右端点12322.5332.52.7542.52.62552.562 52.625由于区间(2.562 5,2.625)内的所有值若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似零点为2.6.求方程近似解的步骤：构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n1)，nZ；利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M；写出方程的近似解练一练4求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点(精确到0.1)解：由于f(1)60，可取区间1,2作为计算的初始区间用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11221.5231.51.7541.6251.7551.687 51.7561.718 751.7571.718 751.734 375由上表可知，区间1.718 75,1.734 375中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数解法一：f(0)10210，f(2)4lg 322lg 30，f(x)在(0,2)上必定存在零点又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点尝试用另一种方法解题法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的图像由图像，知ylg(x1)和y22x有且只有一个交点1函数yx22x3的零点和顶点的坐标为()A3,1；(1，4)B3，1；(1,4)C3,1；(1，4) D3,1；(1，4)答案：D2下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是()解析：选C当且仅当函数f(x)在区间a，b上连续且f(a)f(b)0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：选项A中函数没有零点；选项B和D中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C中函数有零点，且符合零点存在定理的条件3(北京高考)函数f(x)xx的零点个数为()A0 B1C2 D3解析：选B因为y在x0，)上单调递增，yx在xR上单调递减，所以f(x)x在x0，)上单调递增，又f(0)10，所以f(x)x在定义域内有唯一零点4已知函数f(x)x3x22x2，f(1)f(2)0，用二分法逐次计算时，若x0是1,2的中点，则f(x0)_.解析：由题意知f(x0)ff(1.5)，代入解析式易计算得0.625.答案：0.6255(湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_解析：由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点答案：(0,2)6判断下列函数在给定的区间内是否存在零点(1)f(x)x28x16，x1,8；(2)f(x)log2(x2)x，x1,3；(3)f(x)，x2,4解：(1)f(1)9，f(8)16，f(1)f(8)0，但是f(4)0且41,8，所以函数在区间1,8内存在零点4.(2)由于f(1)log2(12)1log20，f(3)log2(32)3log20，因此f(1)f(3)0，又函数f(x)在区间1,3上的图像是连续曲线，所以函数在区间1,3内存在零点(3)因为函数的定义域为(，3)(3，)，所以函数yf(x)的图像在区间2,4上不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间2,4内不存在零点一、选择题1下列函数有两个零点的是()Ayx1Byx22x3Cy2log2x Dy解析：选D易知A只有一个零点；对于B，方程x22x30无解；对于C，令2log2x0，也无解；对于D，y0有两解x2 012和x0.2(重庆高考)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b) 和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a) 和(c，)内解析：选A令y1(xa)(xb)(xb)(xc)(xb)2x(ac)，y2(xc)(xa)，由abc作出函数y1，y2的图像(图略)，由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内3函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(0,1) B(1,2)C(2，e) D(3,4)解析：选Bf(1)ln 220，f(2)ln 310，则函数f(x)的零点所在的大致区间是(1,2)4若方程|ax|xa(a0)有两个解，则a的取值范围是()A(1，) B(0,1)C(0，) D解析：选A分三种情况，在同一坐标系中画出y|ax|和yxa的图像如图：结合图像可知方程|ax|xa有两个解时，有a1.二、填空题5用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_解析：令f(x)x32x5，可知，f(2)、f(3)分别等于1、16，又因为f(2.5)0，显然下一个有根的区间为2,2.5)答案：2,2.5)6方程2xx23的实数解的个数为_解析：分别作出函数f(x)3x2与函数g(x)2x的图像，如图所示f(0)3，g(0)1，从图像上可以看出它们有2个交点答案：27已知函数f(x)则函数yf(x)2的零点是_解析：当x1时，y3x2，令y0，得xlog321，当x1时，yx2，令y0，得x2不合题意，综上，零点是log32.答案：log328已知yx(x1)(x1)的图像如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程式f(x)0有三个实根；当x1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；当1x0时，恰有一实根；当0x1时，恰有一实根；当x1时，恰有一实根正确的有_解析：函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当x1时，方程f(x)0恰有一实根；当1x0时，方程f(x)0没有实根；当0x1时，恰有两个实根；当x1时，没有实根答案：三、解答题9判断方程x3x10在区间1,1.5内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)解：设函数f(x)x3x1，因为f(1)10，f(1.5)0.8750，且函数f(x)x3x1的图像是连续的曲线，所以方程x3x10在区间1,1.5内有实数解取区间(1,1.5)的中点x11.25，用计算器可算得f(1.25)0，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5)再取(1.25,1.5)的中点x21.375，用计算器可算得f(1.375)0.220，因为f(1.25)f(1.375)0，所以x0(1.25,1.375)同理，可得x0(1.312 5,1.375)，x0(1.312 5,1.343 75)由于区间(1.312 5,1.343 75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3x10在区间1,1.5内的一个近似解10已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数h(x)f(x)ax，x2,3时有唯一零点，且不是重根，求实数a的取值范围；(3)当x1,1时，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围解：(1)设f(x)ax2bxc，(a0)，由f(0)1，得c1，故f(x)ax2bx1.因为