2010年安徽高考数学试卷评析及2011年复习建议.doc

2010年安徽省高考数学试卷评析及2011年复习建议合肥六中 侯曙明2010年安徽迎来了第二年新课标高考，在去年的平稳过渡下，今年进一步巩固了本省考题的特色，命制了一套平实而自然的数学试题.在能力立意的前提下，注重全面考查基础知识、基本技能和数学思想方法，体现了知识和能力并重的指导思想，给高校选拔人才提供了可靠的依据，也为全省中学数学教学提供了良好的导向作用.一试题综述试卷层次分明，突出“三基”考查试题按由易到难的顺序排列，主要体现在三个层面上：第一是整个试卷21道试题，由前至后呈现着由易到难的趋势；第二是每一种题型中的试题按由易到难顺序排列；第三是将每个解答题分层设问，每个小问题之间也是由易到难，层层递进.理科的第18题，第1114题，第16题，第17题的第()问，第18题的（）（）问，第19题的第（）（）问都是考查基础性的问题，所占分数将近100分，为考生获得基础分搭建了平台，文科也同样如此.试题亮点纷呈，彰显皖风徽韵 安徽高考数学自主命题经过五年的探索已逐步走向成熟，形成了自己的风格.首先是稳为基石，锐意创新.纵观这几年的安徽高考数学试题，无论是对试题难度的控制方面，还是在对考生的能力要求方面，都切合于我省考生的实际水平，在整体设计上有了很大进步，能够准确控制难度，有效提高区分度；其次是在试题命制思路上，具有自身特色.如在立体几何考查方面，2007年文（理）科第17题，模型取材于台灯罩这一生活物品；2010年理科第18题、文科第19题，是源于课本的一道习题.又如概率统计考查方面，试题则一向贴近生活实际，具有较强的时代感，体现数学的应用价值和人文价值. 2010年理科第21题是以品酒师的味觉功能检测方法为背景考核概率统计知识，试题本身所采用的模型就是实际生活中所运用的一种非参数检测方法，使考生在考试的过程中体会数学的思想方法在解决实际生活问题中的应用过程与步骤，彰显数学知识的实用性；文科第14题则以老百姓关注的住房问题为素材，考查数据加权平均数，综合考查从数据中提取信息的数据处理能力以及应用意识与创新意识；文科第17题以老百姓关注的环境问题为背景，综合考查运用统计知识解决简单实际问题的能力、数据处理能力和应用意识.关注生活，关注实际，是我们学好数学的保障，将数学知识应用于实际，解决生产与生活问题是我们学习数学的目的所在.依据考纲教材，注重教学引导教育部考试中心颁布的考试大纲以及我省制定的考试说明对考试的内容及其要求，考试的形式和试卷结构都作了明确的规定，2010年的试题能够以这些文件为依据，且关注了不同版本的教材，关注了必修和选修的比例和文理试卷的差异.仔细分析可看出有的试题取材于课本的例习题，如理科的第9、17、18、19等题；有的试题重视对数学概念的考查，如理科的第15题，需要学生深刻理解概率的有关概念才能解决；有的试题是对常规试题进行深度挖掘，如理科的第20题，试题结构优美，让人眼前一亮，给人以情理之中，意料之外的感觉.这就提示我们在教学中要紧扣课本和考纲，注重知识的形成过程，在培养学生思维和解决问题的能力上下功夫，淡化人为的技巧和过分强调细枝末节，对解题过程和方法多做总结和反思.这给当前高考数学复习备考中一些 “异化”现象（如总结题型多而杂，大量重复训练，盲目猜题押题等）进一步敲响了警钟，对促进中学数学教学回归到数学教育发展方向上来，起到了积极的导向作用.二、 特色赏析去陷阱留平实曾经一段时间，选择题的最后两题，填空题的最后一题总是给学生挖下一些“陷阱”，也有不少人认为“陷阱题”是考察学生思维严密性的有效题型.今年我省一改过去的做法，选择题的最后一题也没有给学生挖“陷阱”，在试题的表述上尽可能地平实简洁.例1（2010年安徽理10）设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（ ）A. XZ2YB. Y(YX)Z(ZX)C. Y2XZD. Y(YX)X(ZX)解法一：特殊值法.取等比数列1,2,4，前1项和为1，前2项和为3，前3项和为7，可排除A,B,C，选D.解法二：直接法.当等比数列an的公比为-1，且n为偶数时，它的前n项和，前2n项和与前3n项和都为0；否则等比数列an的前n项和Sn，前2n项和S2n，前3n项和S3n，满足Sn，S2nSn,S3nS2n成等比数列，易得Y(YX)X(ZX).评析：若熟悉等比数列的性质，可直接得到答案.特殊值法并不是仅指取几个特殊的数字，也可能是取特殊的数列、特殊函数、特殊图形、特殊曲线等.去陷阱，留平实这个特色是否得到认同，并在更大的范围内推广?值得我们思考.少交汇显自然“注重在知识的交汇点处设计试题，强调知识之间的交叉、渗透和综合”是一句非常流行的命题用语.由于所学知识丰富，而题量有限，故进行必要的“交汇”是必然的，但是这点经常被人误解，以致走向了另一个极端，常生硬地将三五个考点放在一起考查，出现了“眉毛胡子一把抓”的现象.欣慰的是，今年的安徽考卷没有出现这种现象，该考三角的考三角，该考数列的考数列，该考解几的考解几，每题所考查的主题鲜明，即使“交汇”也交的自然.例2.（2010安徽理9）动点A（x,y）在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向旋转，12秒旋转一周.已知时间t0时，点A的坐标是（，），则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）A0,1B.1,7C7,12D.0,1和7,12解法一：画图直接观察可知在0t12时，y先增加后减小再增加，故有两段递增区间，应选D.解法二：由题意可设ysin(t)，因为12秒旋转一周，所以T12，又因为t0时，点A的坐标是（，），所以，即得ysin(t)，易得答案D. 评析：这个小题是多个知识点交汇题，结合自然，新颖别致，解法一采用运动观察法快速得到答案是个不错的处理方式，并不是知识交汇题就是繁难的题.例3.（2010年安徽理13）设x,y满足约束条件 若目标函数zabx+y(a0,b0)的最大值为8，则ab的最小值为_.解：线性约束条件表示的区域为图中阴影部分，A(0,2),B（,0）,C（1,4），当直线l: y-abxz过点C时，z取最大值8，即8ab + 4， ab4， a0,b0，ab4，当且仅当ab2取等号.ab最小值是4.评析：本题主要考查线性约束条件下最值的求法及均值不等式在求最值中的应用，结合也很自然.我们知道使目标函数取得最值的点是可行区域的边界点，所以解题时也可以直接把四个边界点带入目标函数比较哪个数值最大，哪个就是目标函数的最大值，进而找到ab4，利用均值不等式解决问题.例4.（2010年安徽理17）设a为实数，函数f(x)ex2x2a, xR.求f（x）的单调区间和极值；求证:当aln21且x0时，exx22ax1.评析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.第二问的不等式可变为证明不等式exx22ax10成立，只需构造函数g（x）exx22ax1,证明其最小值大于0即可，这样利用第一问的结论便可顺利解决，解答自然简洁.通过以上各例可以看出在今年的安徽高考试题中，未曾出现“大交汇，跨分块”式的交汇，只是“同分块”内少量的交汇，交汇自然，值得肯定.在以后的命题中，是否可以继续保持“少交汇显自然”这种特色？至少来个“不刻意设置交汇性试题”也不错，这对中学数学的教学及考生对数学的看法都会带来正面的引导.3.淡压轴重应用从2006年自主命题开始，安徽试题在选择题、填空题和解答题的前几题中，都是考查基础知识、基本技能，从不为难考生，要送的分还是爽快地送到考生手里，常常通过最后的压轴题以平衡全卷的难度和充分发挥高考的选拔功能，为高校选择优秀生源提供有效地依据，但往往出现竞赛题的影子，拔得过高，压得过重，并没有达到预期的效果.而今年一改过去的做法，淡化压轴，变一、二题把关为多题把关，收效颇好.例5（2010年安徽理20）设数列中的每一项都不为0. 证明为等差数列的充分必要条件是：对任何nN*，都有.评析：可以先证比较简单一点的必要性，再证复杂一些的充分性.证必要性时就是利用裂项相消法求和，这是课本中的基本方法，但不能忘记对d0时的讨论；在证充分性时主要进行数列递推的变形，由于本题是与正整数n有关的命题，所以也可以利用大家熟悉的数学归纳法来解决，若没有说明2a2a1a3就直接说数列an等差数列，也造成解题的不完整，导致失分.好的高考题，不一定都是新题，它往往是源于课本，又高于课本，既能引导教师和学生重视教材的作用和基础知识的学习，又能让老师和学生意识到仅仅是题海战术和死记硬背是无法在高考中取得高分脱颖而出的，必须在教学和学习过程中重视数学能力的培养.而此题恰恰充分体现了命题人的意图，对高中数学教学和学习起到了积极的导向作用.本题简约而不简单，能力立意，思想为先.学生虽然觉得题目很熟悉，但要得到满分（全省满分不足400人），还是需要一定的数学能力支撑，思想积淀.对于那些仅会套用公式的死读书者，或是从题海战术出来的“英雄”们可能会“牺牲”出局.因此，要想在高考中取得高分，必须基于教材，创新教学和学习方法，使考生能高屋建瓴地把握中学数学的基本知识和基本方法.例6.（2010年安徽理21）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，在让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n4，分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时候被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X1a12a23a34a4，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.写出X的可能值集合；假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X的分布列；某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X2， 试按中的结果，计算出这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.评析：这是今年高考理科试卷的最后一题，它打破了压轴题不是数列与不等式就是圆锥曲线的思维惯性，用概率题压轴在全国也是个创举.本题重点考察离散型随机变量及其分布列，通过贴近生活的实际背景，考查学生对概率思想的掌握及概率的灵活运用，体现了关注实际，注重应用的新课程理念，对实际生活情境进行科学的判断，是数学能力最好的体现.本题命制新颖，方法平实，但在确定X值这个地方部分同学会犯一些错误.本题第问较难理解，很多同学能求出概率，但解释不清楚这个品酒师情况究竟如何，这也反映我们同学理论与实际结合的能力有待于加强.三复习建议根据以上分析，对于2011年的复习备考工作，笔者提出以下建议，仅供参考.1.学习考纲看要求要考的知识点及知识点要求考到什么程度，考试大纲和考试说明均有明确的规定，有些老师还是要求学生掌握超纲的内容，这样做加重学生负担，偏离了正确的复习方向，当然考不出理想的成绩了，是出力不讨好.今后的高考数学将会：坚持对数学的基础知识和核心能力的考查.能力型和应用型试题的考察力度会加大.应用型试题的背景会更加贴近学生生活实际，更加尊重学生的个性.深化对运算能力的考查但会控制运算量，留给学生更多的思考时间和更大的思考空间，注重对学生潜能和创新意识的考查.坚持“切入容易，深入难”的命题原则，循序渐进，分层设问，利于考生更好的发挥.不过分强调知识的覆盖面，突出高中数学重点内容和主干知识的考查，在知识网络的交汇点处设计命题，强调试题的综合性、探究性和开放性，但不刻意追求.加大新增知识的考查力度，逐步由显性应用向隐形应用转变，如导数在函数的单调性、函数最值、曲线的切线、不等式证明等方面的应用.2.推敲评价找方向每年高考评卷结束后，省考试院会根据各地的定性分析材料和统计数据，形成当年的试卷评价报告.评价报告对试题的难度、各章节知识的考查、数学思想方法的考查、总体上的得与失等情况均有详细的阐述，甚至明确对中学数学教学提出建议.通过认真学习、研究、推敲评价报告，我们知道许多信息和高考题的改进方向，“优点将继续保持，缺点将进一步弥补”必将是高考命题的根本原则.3. 研究考题看形式高考命题遵循“有助于高校选拔新生，有助于中学数学教学”指导思想.每年高考真题，都是命题者智慧的结晶.研究真题，可以把握高考的脉搏，明确考题的方向，使我们备考少走弯路，提高效率.所以复习时，我们都应该认真分析、研究近几年的高考题对某部分内容的考查情况，做到心中有数，如细心研究近几年的高考题对二项式定理的考查主要考了通项公式的应用及求系数的方法，且主要是以选择题和填空题的形式出现，即便是来年要考其他方面的，也必将遵循“整体保持稳定，不造成大起大落现象”的原则，那么，我们还有什么必要、有什么理由在这些内容上过多的补充和发挥呢?再有近几年新课程卷应用题考查力度逐步加大，要引起我们高度重视.4.回归课本夯基础课本是高考试题的来源之一，每年高考试题中的不少选择、填空题在教材中都有原型，有些综合题也是课本中例、习题引申、变化而来.尤其是新课标教材中的例、习题是编者反复推敲多次筛选后的精品，具有典型性、示范性和明确的针对性，包含了重要的数学知识、思想、方法，所以回归课本是提高备考效率的有效途径.但回归课本并不等同于重新学习课本，而是要吃透教材，用活教材，需站在思想与方法，联系与区别的高度去把握课本的概念、定义、定理、公式、例题和习题，多做演变与适当拓展才能更有效地提高复习效率.例如等差数列、一次函数、直线等几个概念都可以用函数（特殊的对应）的概念来统一.等差数列可视为特殊的函数，如在等差数列an中，已知两项an，am，可化为已知图像上两点（n,an），（m,am），求出即为直线的斜率，这样知识脉络更加清晰，思维品质也随之得到有效提升.5.勤于反思多总结高三复习做题是不可少的，但不可为做题而做题，而要“借题发挥”，借助题目复习有关的数学知识和解题方法，注意解题的反思，积累解题经验.一思知识提取是否熟练：本题涉及到那些重要的知识？题目特殊在哪里？二思方法是否熟练：用到那些思想方法、解题思路？为什么要用这种方法？解题的关键是什么？突破口在何处？能否推广？方法是否具有一般性？三思存在的弱点：为什么没有做出？自己存在那些错误？为什么会出现这样的错误？例如：过椭圆x22y22 的右焦点F作弦AB，求AOB面积的最大值.本题从假设直线AB的方程切入，直线AB的方程如果假设为yk(x1),会有什么问题？如果假设为xmy1呢？方程组中消去x还是y较好？怎样表示AOB的面积？如何求AOB面积的最大值？问题的结论给我们什么启示？这是一道基本题，但在解决的过程中蕴含着非常重要的思维策略，代表着解析几何中的一类问题的解法，通过反思总结，培养直觉猜想、归纳抽象、演绎证明、运算求解等理性思维能力，每题必思，终有收获.6.教师点拨在愤悱 高三数学复习有一个突出的矛盾就是任务重，时间紧，既要处理足量的问题，又要充分展示学生的思维过程，两者似乎很难兼顾.正因为矛盾突出，我们才更要坚持“学生为主体，教师为主导”的教学原则，切不可让复习课成为展示自己解题“绝活”的表演秀.作为教学活动的组织者，教师的任务是引导、启发，而这些活动都应以学生为中心，要让学生在主动积极的探索活动中提高能力，展示才华.大部分题目是入口宽，上手易，学生往往在连续探究的过程中，常在某一点或某几点上搁浅受阻，不妨称这些点为“焦点”，教师不必在外围处花精力去进行浅表性的启发，而要在“焦点”处引导启发，努力让学生自己寻求突破，这样的点拨实现学生间、师生间智慧和能力的互补，让学生的思维在关键处闪光，能力在探索中增长.整个复习课也变的生动活泼，兴趣盎然，学生也才能变苦为