不等式的性质、证明、基本不等式.doc

腾飞教育网 不等式的基本性质【高考回顾】不等式的性质在高考试题中往往不单独命题，而是以其它知识为载体进行考查，但它仍是高考的主要内容。考查的方式有：判断有关不等命题是否正确；判断不等式中条件与结论之间充分条件、必要条件的关系；比较数或式的大小。题型多为选择题或填空题，属容易题。【知识框图】传递性加法性质可加性移项法则不等式的基本性质乘法性质可乘性乘方性质倒数性质开方性质【主要方法】1用作差法比较两个数大小的步骤是：（1）作差；（2）变形（常用方法有分解因式，配方等）；（3）判断差的符号；（4）确定两个数的大小.2运用不等式的性质时，要明确各个性质的条件，做到言必有据，养成严谨的逻辑思维习惯.【典型例题】例、意图：本题组主要考查运用不等式的性质判断命题的真假方法：依据不等式的性质推理（1）设，若，则下列不等式中正确的是（ ）A B. C. D. （2）若，下列不等式中不能成立的是（ ）A B C D例2、意图：本题组主要考查运用不等式的性质判断两个命题的充分条件与必要条件的关系方法：依据不等式的性质推理（1）设，命题A：是命题B：的 条件（2）有三个条件：ac2bc2；a2b2，其中能分别成为的充分条件的有 个。例3、意图：本题组主要考查运用不等式的性质求式的取值范围方法：依据不等式的性质运算（1）设，求，的范围.（2）已知，.求的取值范围.例4、意图：本题组主要考查运用不等式的性质比较数或式大小方法：比较数或式的大小，通常用比差法，一般步骤是：作差变形判断差的符号作出结论，变形的手段主要有因式分解和配方，有时也结合函数的性质来进行(1)设，当xR+，n时， 比较A与B的大小；(2)设0x1，a0且a，试比较|log3a（1x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.例5、意图：本题组主要考查不等式性质与其它知识的综合应用（1）在等差数列和等比数列中，,试比较与，与的大小。（2）设函数，其中.求的取值范围，使函数在区间上是单调函数。例6、是正实数,记,（1）证明：.（2）是否存在常数,使得恒成立? 证明你的结论。意图：本题是一道探索型问题，主要考查利用不等式的性质分和析问题、处理问题的能力。基本不等式【高考回顾】 基本不等式是高考的一个热点，常常与函数、几何等知识综合考查，用来求函数的最值以及解决一些实际应用题，属中档题。【知识框图】基本不等式1基本不等式的应用基本不等式基本不等式2【主要方法】基本不等式的功能在于“和与积”的互化。“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值。应用此结论须注意如下三点：正、定、等三字，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧，常用技巧是拆添项或配凑因式。【典型例题】例1意图：本题组主要考查基本不等式的简单应用（1）已知两个正数满足，则下列各式中正确的是（ ）A B. C. D. （2）设，且，则的最小值是 ，的最小值是 （3）若且则的最大值与最小值之和是_ 例2.意图：本题组主要考查运用基本不等式求代数式的最值（1）若关于的不等式的解集是，则对任意实常数，总有（ ）A， B. C. D.2（2）设，则的最小值是 （3）已知且，则的最大值是 （4）若且，则的最小值为 （5）设，且，则的最小值是 （6）若是与的等比中项，则的最大值为 例3. （1）已知是正常数，求证：，并指出等号成立的条件；（2）利用(1)的结论解决以下问题：求的最小值；求函数（）的最小值，并指出取最小值时 的值；例4迎世博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：)，能使整个矩形广告面积最小.不等式的证明【高考回顾】不等式是高中数学的一个难点，综合性强，方法灵活多变，能很好地检验学生的综合数学素质和能力。近些年，不等式的证明没有单独考查过，而是突出其与函数、方程等其它内容的联系，并降低了对技巧的要求程度，仅要求证明简单的不等式。【知识框图】比较法分析法综合法不等式的证明 反证法数学归纳法【主要方法】比较法证明不等式的基本步骤：。分析法：就是从所要证明的不等式出发，不断地利用充分条件替换前面的不等式，直至找到题设条件或已经证明的基本不等式。可简称为“执果索因”。综合法：就是从题设条件和已经证明的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”。对含有“至少”、“唯一”或否定词的命题，可用反证法。反证法证明的一般步骤是：反设推理矛盾结论。对与正整数有关的不等式，可以考虑用数学归纳法证明。【典型例题】例1.设都是正数，那么三个数、（ ）A都不大于2 B都不小于2 C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2例2已知，且，求证：。例3设，求证：。例4.（1）设是正数，求证：；（2）若，不等式是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值例5设二次函数，方程的两个根满足.（1）当时，证明；（2）设函数的图象关于直线对称，证明.例6. (1)已知：均是正数，且，求证：；(2)当均是正数，且，对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明；(3)证明：中，(可直接应用第(1)、(2)小题结论)