排列导学案3(教师版).doc

宜春中学数学学科2-3册笫一章第7-8课时排列导学案 编号：51-52编写：郑金龙 审核：高二数学理科备课组学习目标: 1. 结合分类与分步计数原理,解决较为复杂的排列问题;2. 掌握解有限制条件的排列问题的常用方法学习重点: 把实际问题转化成排列问题应用排列数公式计算学习难点: 处理有限制条件的排列问题的方法的运用.学习过程：1、 预习导航，要点指津解排列问题的总的原则是合理合类和准确分步，不重不漏，分类作加法，分步作乘法。解含有限制条件的排列问题的常用方法：1 特殊优先，一般在后 对于排列问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排，一般元素或一般位置最后处理。引例1. 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的四位数，可得到多少个不同的偶数？千 位百 位十 位个 位解析: 由于四位数是偶数，故个位数字必须是偶数，又因为“0”不能排在千位上，所以“0”就是其中特殊元素，个位是特殊位置。应先排个位，并优先考虑“0”，由此按“0”在个位和不在个位分为两类：笫一类：个位排0时，那么十位，百位和千位可从1，2，3，4中任取3个数进行排列，有种排法，即个位是0的偶数有个，笫二类：个位是2或4时，笫一步排个位，从2或4中任取一个数来排，有方法；笫二步排千位，只能从除0外的余下的三个数中任取一个数来排，有方法；再后一步排百位和十位，从余下的三个数中任取两个数来排，有种方法，根据乘法原理，个位是2或4的偶数有个， 再根据加法原理：符合条件的偶数共有 个2元素相邻，整体处理（捆绑法）对于某几个元素要相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。引例2. 8人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，丁、戊两人也要相邻，有多少种不同的排法？解析: 把甲、乙、丙三人“捆绑”在一起，看成一个元素，把丁、戊两人也“捆绑”在一起，看成一个元素，它们和其他三个人（三个元素）进行排列，有种排法，又甲、乙、丙三人内部可进行排列，有种排法，丁、戊两人内部也可进行排列，有种排法。根据乘法原理可知8人站成一排照相，符合条件的排法为种。 3元素间隔，分位插入（插空法） 对于某几个元素互不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将互不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。引例3. 7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人互不相邻，有多少种不同的站法？解析: 先将其他四个人进行排列，有种排法，再从己排好的四个人之间及两端的五个空隙中任取三个空隙将甲、乙、丙三人插入，有种插入方法。根据乘法原理，符合条件不同站法有种。4正难则反，间接处理（间接法） 对于某些排列问题的正面情况较为复杂，而反面情况较为筍单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的排列总数，此时应注意既不能多减又不能少减。引例4. 7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不全相邻，有多少种不同的站法？解析: 7人站成一排照相，有种站法，而甲、乙、丙三人相邻的站法有种，所以7人站成一排照相，甲、乙、丙三人不全相邻的站法有种。5元素定序，先排后除或先定后插 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，也可先放好定序的元素，再一一插入其他元素。引例5. 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮互不相等，将这7名学生排一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？解析: 方法一: 因为三名女生任意排列所对应的排列数是顺序固定所对应的排列数的倍，故符合条件的排列有种。方法二: 先将三名从左到右按矮到高排列，只有1种排法，然后将4名男生每次逐一插空隙，依次有，种插法。根据乘法原理，符合条件的排列有种。 6分排问题用“直排法” 把元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理。引例6. 7人站成两排，笫一排站3人，笫二排站4人，则有多少种不同的站法？解析: 方法一: 先从7人中选出3人站笫一排，有种站法，再将余下的4人站在笫二排，有种站法。 根据乘法原理，符合条件的站法有种。 方法二: 将7人站成若干排，在没有其他特殊要求，与将7人站成一排是等同的，故站法有种。 7可重复的排列求幂法 求这类排列数的问题属于求映射个数的问题，设集合A有元素，集合B有元素，则从A到B的映射有个，因此要搞清是从哪个到哪个的映射问题。 引例7. 8名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军有多少种？解析: 此题是从5个冠军构成的集合到8名学生构成的集合的映射问题，笫一项冠军可由8名学生中的任意1人得到，有8种得法，笫二项冠军仍能可由8名学生中的任意1人得到，有8种得法，笫五项冠军仍能可由8名学生中的任意1人得到，有8种得法。根据乘法原理，获得冠军有种。二、自主探索，独立思考例1. 在3000与8000之间， （1）数字不重复的奇数有多少个？（2）数字不重复且能被5整除的数有多少个？（3）数字不重复整数从小到大顺序排列，6102是笫几个数？解析: （1）符合条件的奇数有两类一类是以1、9为个位数，共有 种选法，首位数可从3、4、5、6、7中任取一个，有 种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有 种选法，根据乘法原理知共有个；一类是以3、5、7为尾数的共有个根据加法原，可知符合条件的奇数共有 个（2）能被5整除的数，个位数只能是0或5，当个位数是0时，首位数可从3、4、5、6、7中任取一个，有 种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有 种选法，根据乘法原理知共有个；当个位数是5时，首位数可从3、4、6、7中任取一个，有 种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有 种选法，根据乘法原理知共有个；根据加法原，可知符合条件的奇数共有个（3）在3000与8000之间，首位排3或4或5时，都小于6102，这样的整数有个，首位是6，百位是0时，都小于6102，这样的整数有个，首位是6，百位是1时，比6102小的数没有，因为 所以6102是笫个数 例2. 某小组6个人排队照相留念（1）若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，又丙与甲、乙都不相邻，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，且丙必须站在两端，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？（6）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男女相间有多少种排法？（7）若排成一排照相，其中甲、乙、丙顺序一定，丁与戊又不相邻有多少种排法？（8）若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？解析: （1） (种) （2） (种)（3）(种) （4）(种) （5） (种) （6） (种) （7） (种) （8）方法一：(种)方法二：(淘汰法)(种)例3. 编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？解析: 根据A球所在位置分三类：若球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有种不同的放法；若球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有种不同的放法；若球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，有种放法，余下的三个盒子放球C，D，E，有种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有种不同的放法综上所述，由加法原理得不同的放法共有种例4. 某班级一天共9节课，上午5节，下午4节，因特殊原因，某天只上语、数、外3节课，剩余的课都改为学生自习，要求语、数、外这3节课不能全部连上(第5和第6节不算连上)，那么该班级这一天的课的排法有多少种？解析: 首先不受限制时，从9节课中安排3节上语、数、外，有 种排法，其中上午连排3节的有种，下午连排3节的有种，那么一天的课程表的所有排法有5041812 474种例5. （1）8个游客每人到某旅游点中5个不同的景点中任意选一个景点游览，则有多少种游览方法？（2）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种？（3）将，排成四行两列，要求每行每列的元素互不相同，则不同的排法有多少种？（4）三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法有多少种？解析: （1）这是由8个游客构成的集合到由5个景点构成集合的映射问题，笫一个游客任选1个景点有5种方法，笫二个游客任选1个景点有5种方法， ，笫八个游客任选1个景点有5种方法。根据乘法原理，总的游览方法有种.（2）先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有3种方法；第三步填余下的两个数字，只有1种填法，共有331=9种填法.（3）因为笫一列的元素互不相同，所以笫一列的排法有种排法， 笫二列的排法数就是（2）中的排法数，有9种， 根据乘法原理，符合条件的排法有种.（4）将三个人插入5空位的中间的4个空隙中（两端除外），有种插法，每一种插法对应符合条件的坐法， 故符合条件的坐法有24种. 三、小组合作探究，议疑解惑各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。四、展示你的收获由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、知识技巧。（即学习成果）五、重、难、疑点评析由教师归纳总结点评六、达标检测1某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 (B)A36种 B42种 C48种 D54种解析: 甲排第一位，丙排最后一位，其余4位排列有A24种；甲排第二位，丙排最后一位，则有3 332118种，共有241842(种)2我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法 （C）ABCD解析: 分三步: 把甲、乙捆绑为一个元素，有种方法；与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有种方法；考虑与戊机的排法有种方法.由乘法原理可知共有种不同的着舰方法。 故应选C 3在学校组织的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这6名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有(C)A. 6种 B. 36种 C. 72种 D. 120种解析: 依题意知，满足题意的不同排法共有种4某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目入原节目单中，那么不同插法的种数为()A.42 B.30 C.20 D.12解析: 解法1可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有 种排法；若两个节目不相邻，则有种排法由分类计数原理共有123042种插法解法2 （逐步插空法）将笫一个新增节目插入原定的5个节目形成的6个空隙中，有6种插法，将笫二个新增节目插入前6个节目形成的7个空隙中，有7种插法，根据乘法原理，不同的插法数为种.5广州亚运会火炬传递在A，B，C，D，E，F六个城市之间进行，以A为起点，F为终点，B与C必须接连传递，E必须在D的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有_6_种解析: 因B与C必须相邻，故把它们捆绑在一起视为一个整体元素B，则B，D，E不同的排列方式有种因E必须在D的前面传递，所以不同的排列方式有种又B与C的排列方式有种，从而不同的排列方式有6(种)6将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_480_种(用数字作答)解析: 按C的位置分类计算当C在第一或第六位时，有2A240(种)排法；当C在第二或第五位时，有2AA144(种)排法；当C在第三或第四位时，有2 (AAAA)96(种)排法所以共有24014496480(种)排法7. 5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有不同的排列有_54_种解析: 5人排成一列，其中甲、乙不相邻的排列数为种，而5人排成一列，其中甲、乙不相邻，且甲排在末位的排列数为种，所以满足条件的所有不同的排列数种. 8 个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲不排头，也不排尾； （2）甲、乙、丙三人必须在一起，且甲不能排在两端；（3）甲、乙之间有且只有两人； （4）甲、乙、丙三人互不相邻，丁、戊相邻；（5）甲、乙、丙三人依次从左向右的顺序排列，且甲不能排在最左边； 解析:（1）（种）； （2）（种）； （3）（种）； （4）（种）； （5）（种）。七、课后练习1一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(C)A33！B3(3！)3 C(3！)4 D9!25个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 ( B )来源:学+科+网ABCD3一排七个座位，甲、乙两人就座，要求甲与乙之间至少有一个空位，则不同的坐法种数（ A ）A30 B28C42 D16解析: 4甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有(A)A20种 B30种 C40种 D60种解析: 若甲安排在周一，则乙、丙的安排方法有种，若甲安排在周二，则乙、丙的安排方法有种，若甲安排在周三，则乙、丙的安排方法有种，根据加法原理，甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有种。 5六人站成一排，如果甲、乙、丙三人必须相邻，且甲站在这三个人的中间，又丁与乙、丙都不能相邻，那么不同的排法种数是（ A ）A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种解析: 不同的排法种是 .6有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(C )A.36种 B.48种 C.72种 D.96种 解析: 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共有种排法， 故选C.7某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有_24_种解析: 甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法将丙、丁插在3个空档中有A种方法由分步计数原理，共有AAA24种排法8用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 576_个. 解析: 此为“相邻”与“不相邻”问题，先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后不相邻的两个元素7与8“插空”，共有个.9从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_36_个.（用数字作答）解析: 其中能被5整除的三位数末位必为0或5. 末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列而成方法数为A=20，末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有 种挑法，再挑十位，还有 种挑法， 符合要求的数有种.共有20+16=36个符合要求的数.10由0，1，2，9 这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为 210 个解析: 当个位与百位数字为0，8时，有个；当个位与百位为1，9时，有个。共有（个）11. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间三个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，共有多少种坐法解析: 用“间接法”