数学北师大版九年级下册梯子的倾斜程度与正切.docx

锐角三角函数（1） 一、教材分析1.教材内容本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级 (下) 第一章 直角三角形的边角关系的第一节.本课为第一课时，主要内容是：理解正切的概念，会进行简单的计算，了解坡度.2.地位及作用正切在生活中的运用非常广泛，如物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正切来刻画.同时正切也是学生接触的第一个三角函数.学好正切，既为正弦余弦的学习打下基础，又为高中系统学习三角函数做好铺垫.因此本节内容极其重要.二、学情分析1.知识基础 九年级学生已经学习了直角三角形，函数和相似三角形的相关知识，具备了学习锐角三角函数的知识基础.但是，锐角三角函数和学生以前学习过的一次函数、反比例函数有所不同，它揭示的是角度与线段比值之间的对应关系.学生是第一次接触用符号表示的函数，因此学生对锐角三角函数的理解仍然比较抽象和困难.2.能力基础学生已经经历了多次小组合作，探索新知的过程，对探究性学习掌握了一定的方法，具有一定的活动学习的经验，这为本节课采用小组活动来感知概念打下了基础.3.任教学生特点我班学生数学基础较扎实，求知欲强，想象力丰富.能较好地运用所学的知识解决问题.三、目标分析1.教学目标：（1）经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的概念并能进行简单的计算.（2）经历数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理的、清晰的阐述自己的观点.2.教学重点理解正切概念.3.教学难点正切概念的形成过程.4.突出重点、突破难点的策略抓住学生的认知盲点，教师加以启发诱导，抽象出本节课重要的数学模型直角三角形，配合实验直观展示，帮助学生理解一个锐角和它的对边与邻边的比值之间的对应关系，确定这是一种函数关系，给出正切概念，突破本节课的难点.理解概念后，通过小组合作辨析、应用概念，突出本节课重点.四、教法、学法教法：启发式与自主探究结合的教法.学法：自主探究、合作交流的学法.五、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下：感悟概念理解概念应用概念 探索规律归纳小结教学环节教师活动学生活动设计意图感悟概念情境引入以诗句引导学生欣赏剑门关、乐山大佛、窦团山登山阶梯图片，再由“激流勇进”让学生感受斜坡的陡峭，提出问题：我们用数学知识怎样来比较阶梯的倾斜程度呢？现实模型学生欣赏图片，思考问题用实际问题引出本课的探索问题，让学生感悟数学来源生活.合作探究1请学生观察4幅图片.教师提出问题并巡视各个小组交流情况.并请小组代表汇报观察得出的结论.小组活动1学生观察4幅图片，展开讨论.学生代表发言，展示探究四幅图片的成果.判断梯子的倾斜程度可以通过研究倾斜角的度数.教学环节教师活动学生活动设计意图感悟概念合作探究问题1：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你是怎么判断的？（图1）（图2）问题2：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你是怎么判断的？（图3）问题3：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你是怎么判断的？（图4）图1中的梯子等高，底小的更陡。图2中的梯子等底，较高的更陡。图3两个三角形相似，梯子的倾斜角相等，所以一样陡。图4中的梯子底和高长度均不等，直观无法判断.效果：学生可以解决问题1和2，但现有知识可能无法解决问题3. 但通过小组活动，能力较强的同学若有方案，将成为本节课的一大亮点.做好学生上台分享解决方案的准备.图3是相似三角形，可以转化为倾斜角相等，梯子的倾斜程度相同.图4学生无法类比图1.2.3的方法得出结论，出现认知盲点，这恰好是本节课的难点.师生共探教师引导学生：当利用角度无法判断时，不妨试试对三角形的边长入手加以分析.抛出问题串.学生思考问题.教师适当启发诱导，设计由浅入深的问题串，对学生进（接下页）教学环节教师活动学生活动设计意图感悟概念师生共探师：比较图形的某一边长，能否判断哪个梯子更陡？引导学生考虑图形中两边的比值.今天我们先探讨铅直高度与水平宽度的比.（将直角边与斜边的比留作下一节课探讨）请学生动手做实验，书看作墙，尺子看作梯子，观察梯子滑动的过程.：师：梯子在上升变陡的过程中，哪些量发生了变化？倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？ 师:能不能解决前面的问题3？建立数学模型直角三角形，引导学生继续探索一个锐角的大小与其对边与邻边的比值之间的对应关系.展示动画，观察点B1在斜边上的滑动.师：A的大小不变时，A的对边与邻边的比值改变吗？ 师：如果A的大小改变，A的对边与邻边的比值会改变吗？ 学生思考问题.学生动手做实验，思考并回答：（1）、倾斜角越大梯子越陡.（2）、铅直高度与水平宽度的比值越大梯子越陡 .学生利用刚才的结论解决问题3. 梯子DE更陡.学生观察动画，并思考。效果：由三角形相似，学生很快得出结论：A的大小不变时，A的对边与邻边的比值不变。当A改变，A的对边与邻边的比值也随之改变.即A的对边与邻边的比和A两个变量之间是一一对应关系.（接上页）行启发.同时通过学生自己动手做实验，让学生亲身感悟事物的发展变化过程，从变化的角度实施动态化、形象化、直观化教学，揭示了A的大小和A的对边与邻边的比值是函数关系，顺利引出正切函数概念.教学环节教师活动学生活动设计意图理解概念生成概念教师给出正切的定义，并板书.定义：在RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比值也随之确定，这个比叫做A的正切.记作tanA.tanA=cba教师板书：在RtABC中，tanA=师：tanB如何表示？观察tanA与tanB有什么关系？学生学习正切的定义，并在教科书上勾出概念，掌握表示方法.学生发现tanA与tanB的值互为倒数，由此得到结论：当A+ B=90时， tanA tanB=1 .通过学生感悟概念的背景，再由教师来生成概念，准确定义正切并板书.学生在学习的过程中恰好解决教材P5 4题 联系拓广在RtABC中，C=90，tanA与tanB有什么关系？解读概念对tanA的几点说明：（1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， A是一个锐角 .（2）记号里习惯省去角的符号“”，若用三个字母表示角或者用阿拉伯数字表示角则“”不能省略，如ABC的正切表示为tanABC 1的正切表示为：tan1 的正切表示为：tan学生掌握教师强调的三点说明.数学概念是用精练的数学语言表达出来的，在教学中，抽象概括出概念后，还要注意深入剖析概(接下页)教学环节教师活动学生活动设计意图 理 解 概 念解读概念（3）tanA是一个完整的符号，不表示“tan”乘以“A”.学生掌握教师强调的三点说明.（接上页）念，帮助学生进一步理解概念，让学生在第一次接触正切函数时，能准确理解正切及其表示方法.辨析概念教师布置小组活动2，提出活动要求： （1）、独立完成题目； （2）、组内同学相互订正，分析错误原因，交流疑问和困惑.1、如图，填空: (1).tan = tan = (2).如图, ACB=90CDAB. tanACD= = = tanB= = = 2、在RtABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大为原来的20倍，tanA的值（ ）A、扩大为原来的20倍 B、缩小为原来的 C、不变 D、不能确定小组活动21、学生独立完成.2、小组成员相互订正、交流。3、学生代表展示正确答案.4举手反馈。效果：通过举手反馈，正确率很高.教师在巡视过程中发现仍有少量错误较少，错题集中在1题(2)小题及3题.集中点评效果较好.为了使学生更好地掌握数学概念，此处设计了三道练习来帮助学生辨析概念.采用学生独立完成，小组成员相互讲解，对概念进行剖析，突出本课重点.教学环节教师活动学生活动设计意图理解概念辨析概念3、判断对错，错误请说明原因.（图1）tanA= （ ） （图2）tanA= （ ）tanA= （ ）tanB= 2cm （ ） tanA=0.5 （ ）小组成员互批互订效果较好，激发了学生的学习热情，增强了团队互助的精神.1题巩固正切概念。2题强调tanA只与A的大小有关，而与直角三角形大小无关.3题强调tanA0且无单位，因为它表示一个比值.应用概念例题讲解例题：（1）在RtABC中，C=90 .若AC=4，BC=6，求tanA和tanB.教师分析：根据正切概念求解.并且规范板书，强调必须书写直角三角形这一前提条件。解：在RtABC中，tanA= tanB=(2)若AC=9，AB=15，求tanA和tanB.学生应用正切概念，学习解题规范.学生独立求解.结合教材例题，设计了本例题，目的是应用概念.在直角三角形中，已知任意两边可求锐角的正切值. 教学环节教师活动学生活动设计意图应用概念例题讲解(3)若AB=25，tanB= ，求AC和BC的长度.教师归纳两种解题类型：已知任意两边可求锐角的正切值.反之已知一边及一锐角的正切值，可求另两边， 完成3道小题后，再次观察（2）小题，给它赋予一定的生活背景.某人从小山坡下的点B走了15米后到达坡顶的点A，已知点A到坡脚的垂直距离为9米，求坡的坡度？教师点评：见比设K后利用勾股定理建立方程求解，体现方程思想.归纳：在直角三角形中，已知任意两边的长度，可求两锐角的正切值.已知任一边长度和一锐角的正切值，也可求另两边的长度.学生了解坡度。.回答：坡度=对比梯子，得出结论：1、坡角越大，坡越陡.2、坡度越大，坡越陡.学生独立求解，回答解题方法。反之已知一边及一锐角的正切值，可求另两边，渗透解直角三角形.教师赋予(2)小题生活背景，介绍坡度，体现数学来源于生活，又服务于生活. 同时印证了解决生活中的数学问题必须抽象出与之对应的数学模型.巩固练习 如图，求tanC=( ) (A) 1 (B) (C) (D) 学生独立解决，添加辅助线解决了本题. 效果：要在非直角三角形中求角的正切值，就必须作辅助线构造直角三角形，体现数学的“转化思想”.作辅助线构造直角三角形，体现数学的“转化思想”.教学环节教师活动学生活动设计意图应用概念延伸提高小组活动31探索30，45，60 角的正切值.请一名学生回答方法.2.探索非特殊角的正切值.如图，ABC是等腰直角三角形，C=90.AD是BAC的平分线， 求BAD的正切值. 方法一： 小组活动31、学生独立探索30，45，60 角的正切值.效果：大部分学生都是采用构造直角三角形的方法，根据正切的概念求值.但也有小部分学生，在求出了tan30后利用互余的两锐角的正切值互为倒数这一结论，求出tan60的值.运用了前面发现的结论.这是我在课堂预设中没有想到的.2、学生先独立思考，再小组交流.探索30，45，60 角的正切值是对正切概念的延伸提高.需要学生构造直角三角形，再次强调了直角三角形是求正切值的前提条件，大部分学生能完成.探索非特殊角的正切值较难，采用小组讨论解决.学生中出现了两种辅助线的添法也是构造直角三角形，体现数学的一题多解，思维的发散.（接下页）教学环节教师活动学生活动设计意图应用概念延伸提高方法二：3、引导学生发现：BAD=22.5，我们已知tan45，可求得tan22.5.那么已知30角的正切值，可不可以求15角的正切值呢？4.汇总数据教师展示表格，请学生观察.活动预设：教师做好学生无法解决求非特殊值的正切值的思想准备.3.学生展示习题分析过程.效果：课堂上，部分小组的学生添加了两种辅助线 4、学生观察表格，发现结论：A与它的正切值一一对应。tanA随A的增大而增大. （接上页）要求锐角的正切值，需要将此锐角构造到一个直角三角形中.所以添加辅助线，将非直角三角形转化为直角三角形，体现转化的数学思想，同时深化了正切的概念.而BAD=22.5是一个非特殊角，体现了特殊到一般的数学思想.学生观察数据，再次感受角度与正切值之间是一个函数关系，体现函数味.教学环节教师活动学生活动设计意图归纳小结小结教师请学生畅谈本节课的收获。 学生自由发言。效果：大部分学生总结到了本课学习到的概念，方法，发现的结论.有同学提到团队对她的帮助.本环节由学生自主归纳，总结本堂课的收获和感悟. 采用开放式总结，让学生畅所欲言.作业布置作业（1）、教材P4习题1.1 1、2题； （2）、预习第二课时 正弦、余弦 选作题：教材P4习题1.1 3题.要求完成调查报告.学生记录家庭作业.考虑到学生层次和个体的差异，分层布置作业.作业1、2是教材上的习题，可以巩固所学基础知识；预习作业为学习正弦余弦做铺垫.选作题要求学生，解决生活中的数学问题.板书设计二结论A+B=90时tanAtanB=1例题：解：在RtABC中，tanA=BCAC=64=32 tanB=ACBC=46=23多媒体锐角三角函数（1）一正切的定义在RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比值也随之确定，这个比叫做A的正切.记作tanA.tanA=思考：已知的正切值，求伪2:正切值的方法. 注：由于多媒体辅助教学，部分内容由PPT展示.七、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课的教学有如下反思：（一）目标达成在新课程中课堂教学活动的基本理念：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”基于这一理念，我选取了身边熟悉的激流勇进的实例来进行探究引入，通过教师的引导，学生的小组活动探究，让学生亲历发现事物特征、本质的过程，了解知识的来龙去脉，更有利于帮助学生深刻理解正切的概念实际教学过程中，绝大多数学生能很好的掌握正切概念，并能应用概念解决相关问题，获得了较好的数学学习经验，从而达成了本课第一个教学目标在活动中，学生是否能积极地思考，是否能与他人很好的交流合作，是否能够从活动里得出规律和结论等等，这也是新课程理念下对学生能力的一种评价因此我采用小组合作感悟概念，小组互助理解概念、小组交流应用概