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第八章弹性体的应力和应变 这一章将考虑物体的形变 弹性体是研究形变的一个理想模型 它假设物体受外力发生的形变在外力撤消后能够消失 研究弹性体的力学称弹性力学 弹性力学将弹性体看作是连续介质 所以也叫连续介质力学 弹性体的形变有四种 拉伸压缩 剪切 扭转和弯曲 其中最基本的是拉伸压缩和剪切 8 1弹性体的拉伸和压缩 2弹性体的剪切形变 8 3弯曲和扭转 8 1弹性体的拉伸和压缩 1 外力 内力和应力 研究横截面远小于长度的直杆 其假想横截面上的应力为 式中Fn表示内力在外法向方向上的投影 S表示横截面积 0为拉伸应力 0为压缩应力 例题 薄壁圆柱形容器壁内的应力 解 按平衡条件 得到应力 2 直杆的线应变 设直杆原长和形变后的长度分别为l 和l 则线应变 设直杆横截面是正方形 每边长b 横向形变后边长为b 则横向应变为 横向应变与纵向应变之比的绝对值称为泊松系数 3 胡克定律 胡克 Hook 于1678年由实验得出 这就是胡克定律 它也可写为 式中 为杨氏模量 应当注意 仅当形变很小时 应力应变才服从胡克定律 拉伸和压缩的形变势能 弹性势能等于自势能零点开始保守力做功的负值 外力拉压杆件时 外力的功与弹性体反抗形变而施于外界的力所做的功大小相等符号相反 因此 弹性势能等于自势能零点开始外力做功的正值 若取未变形时未势能零点 则外力的功等于形变达到时的势能 即 若杆的形变是均匀的 有弹性势能密度 2弹性体的剪切形变 1 剪切形变 剪切应力与应变 剪切形变 物体受到力偶的作用使物体两个平行截面发生相对平行移动 设作用于两假想截面上的力偶为 和 则剪切应力为 剪切应力互等定律 作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的剪切应力是相等的 剪切应变 平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比 式中为切变角 2 剪切形变的胡克定律 实验表明 若形变在一定限度内 剪切应力与剪切应变成正比 对于各向同性的 均匀的弹性体 有 这可由图8 8加以说明 剪切形变的弹性势能密度为 式中为剪切模量 8 3弯曲和扭转 1 梁的弯曲 梁弯曲的原因 图8 9说明梁弯曲的原因是力偶作用的结果 梁弯曲的特点 存在一个中性层 中性层以上受压 中性层以下受拉 利用中性层的半径 或曲率 可以描述纯弯曲形变 式中表示加于梁的力偶矩 b为梁的宽度 h为梁的高度 2 杆的扭转 杆扭转的原因 杆受到作用在与其轴线垂直的两个平面上大小相等方向相反的力矩 杆扭转形变的实质上是由剪切形变组成的 见图8 12 在微小形变的条件下 狭长体元的剪切应变等于 由剪切形变的
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