高中数学专题训练(教师版)-向量的数量积.doc

高中数学专题训练（教师版）向量的数量积一、选择题1(2010安徽卷，理)设向量a(1,0)，b(，)，则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直 Dab答案C解析由题知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab与b垂直2若a(2,3)，b(4,7)，若|c|，且abac，则c()A(4,7) B(5,1)C(5,1) D(2,4)答案C解析设c(x，y)，|c|，x2y226abac，2(4)372x3y联立，解之得3已知|a|3，|b|2，a，b60，如果(3a5b)(mab)，则m的值为()A. B.C. D.答案C解析由已知可得(3a5b)(mab)0，即3ma2(5m3)ab5b203m32(5m3)32cos605220，解之得m4O为ABC的内切圆圆心，AB5，BC4，CA3，下列结论正确的是()A.C.D.0)，则由abc得(ab)2c2,2m22m2cosa，bm2，cosa，b.又0a，b180，因此a，b120，选B.7已知平面上三点A、B、C满足|3，|4，|5，则的值等于()A25 B24C25 D24答案C解析|3，|4，|5，|2|2|2，故B90.则有0.由|cos(C)45()16，|cos(A)53()9，则原式0(16)(9)25.8O为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足()()0，则点P的轨迹一定过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心答案D二、填空题9在OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，若OM2，则()_.答案2解析如图，延长NM到点C，使得MCNM.连接AC、BC.根据向量的几何运算法则，可得，而，所以()|22.10已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则b等于_答案(，)解析令b(x，y)，注：也可设b(cos，sin)，则将代入知x2(x)21x236x3x210，解得x1(舍去，此时y0)或xy.11若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模为_答案6解析ab|a|b|cos602|a|，(a2b)(a3b)|a|26|b|2ab|a|22|a|9672.|a|612已知|1，|，0，点C在AOB内，且AOC30.设mn(m，nR)，则_.答案3解析方法一如图所示，0，.不妨设|2，过C作于D，于E，则四边形ODCE是矩形，.|2，COD30，|1，|.又|，|1，故 ， ，此时m，n，3.方法二由0知AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则可知(1,0)，(0，)，又由mn，可知(m，n)，故由tan30，可知313(2010江西卷，理)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|_答案解析因为|ab|2(ab)2a22abb212212cos 60223，故|ab|.三、解答题14已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|；(3)若a，b，作ABC，求ABC的面积解析(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261.|a|4，|b|3，代入上式求得ab6，cos，又0，180，120.(2)可先平方转化为向量的数量积|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.同理，|ab|，(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值由(1)知BAC120，|a|4，|b|3，SABC|sinBAC 34sin120315设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的范围解析由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，解得7t，当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，1(kR)，求k的取值范围解析(1)证明(ab)cacbc|a|c|cos120|b|c|cos1200，(ab)c.(2)解析|kabc|1|kabc|21，k2a2b2c22kab2kac2bc1.|a|b|c|1，且a、b、c的夹角均为120，a2b2c21，abbcac，k22k0，k2或k01已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_答案解析解法一：由题意，得|a|b|1，ab0.又(ac)(bc)0，所以|c|2c(ab)|c|ab|cos，其中是c与ab的夹角，所以|c|ab|coscos.又0，所以|c|的最大值是.故填.解法二：设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则ac(1x，y)，bc(x,1y)又(ac)(bc)0，所以(1x)(x)y(1y)0，从而得到圆：(x)2(y)2，所以向量c的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆上又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以|c|的最大值是.故填.解法三：因为(ac)(bc)0，所以ac与bc互相垂直又a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a，b，ac，bc构成的四边形是圆内接四边形，c为其对角线所以当c是直径时，|c|达到最大值，这时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值是.故填.2(2010山东卷，理)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2答案B解析根据题意可知若a，b共线，可得mqnp，所以abmqnp0，所以A正确因为abmqnp，则banpmq，故二者不等，所以B错误对于任意的R，(a)b(ab)mqnp，所以C正确(ab)2(ab)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以D正确，故选B.3在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM2，则()的最小值是_答案2解析解法一如图所示，由题易得()22|cos1802|.又|2，|()21(当且仅当|时取等号)()2|2，即O为AM中点时，()取最小值为2.解法二令|x且0x2，则|2x.()22(2x)x2(x22x)2(x1)222.()的最小值为2.4(08浙江)已知a是平面内的单位向量，若b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是_答案0,15(20