1.5.2二项式系数的性质及应用 (2).doc

基于数学抽象视角下的高三“二轮”微专题设计以组合恒等式的应用为例江苏省太湖高级中学 周德明 蔡旭林前不久，笔者应邀在无锡市高三数学“一模”质量分析及教学研讨会上开设“组合恒等式的应用”微专题示范课，受到与会人员高度赞赏，现整理如下：一、 关于微专题复习“专题”一般指涵盖知识广、研究方法活、综合能力强的“大专题”，如分类讨论专题、函数与方程专题、转化与化归专题等“微专题”是相对于“大专题”而言，往往以某一个（或几个）具体知识点为切入点，“问题集中、操作灵活、指向性强”，具有“因微而准，因微而细，因微而深”的特点，高三“二轮”复习从实际的需要出发，设计“小”、 “准”、 “精”的微专题，不仅话题集中、耗时较少、针对性强、实效性好，而且可以促进学生的深度学习，有利于学生获得清晰的数学知识网络、系统的数学研究方法，加深对数学的理解，从而提高学生的数学素养，促进学生深度学习二、设计本专题缘由纵观近几年各地模考、高考试题，特别是2016年、2017年高考江苏卷理科附加压轴题，都能利用组合恒等式（以下简称“*”式）解决而实际教学过程中，由于时间紧，本身对附加部分重视程度就不够，更何况对其中一个知识点或一个“等式”研究得就更少，往往被教师忽视，相关的网站、杂志上也难寻完整的课例、评析等。从学生实际的“真问题”出发，设计本微专题2017版普通高中数学课程标准进一步明确：着力发展核心素养、提升关键能力是高中教育的主要目标，而素养的发展、能力的提升并不是一朝一夕的事，需要我们广大一线教师立足课堂、潜心研习、精心设计“好问题”笔者以为关注“概念与理解、问题与转化、变化与确定”是发展核心素养、提升关键能力的主要途径本节课的设计以发展学生数学抽象的核心素养为前提，从“变化”与“确定”两方面引导学生多视角思考（*式）应用三、课堂教学实录（简要）（一）尝试练习求值：=_ ；证明：片断一师：尝试练习（1），结果是多少？怎样得到？生1：0，利用组合数公式，计算求得生2（举手）：直接利用组合恒等式（*式），结果是0师：哪种方法更好？众：后一种师：本小题是2016年江苏高考附加题第23题第一问，属容易题，考生都能得分，但不同思维层次的考生所用时间不尽相同这也许正是高考题的经典所在后一种方法之所以好，是由于用了重要的组合恒等式（*式）仔细分析近年来高考试题及各地模考试题，特别是2016、2017年高考江苏卷附加最后一题（23题），都与之密切相关，本节课将与小伙伴们一起攀岩高考数学卷附加题“制高点”设计意图：回顾组合数公式，联想组合恒等式，揭示课题片断二师：尝试练习（2），能给出证明吗？生3：从形式上看，根据组合数性质想到首尾相加生4（抢答）：倒序相加（类似等差数列求和）师：请具体一点生4：等式左边记作，倒序再写一行两式相加所以生5：本题n，与正整数相关命题可以考虑使用数学归纳法证明师：说说看！生5：当n=1时，左边=右边=1，成立假设当n=k（k）时成立，即则当n=k+1时，左边=由组合数性质化简生6：太繁了我想还是利用组合恒等式（*式）考虑通项，左边=右边师：怎么样？集体的智慧是无限的我们是不是该为他们“点赞”众：（一片掌声）生7（主动站起来）：我也是从形式出发联系到二项式定理，构造函数，求导得，令x=1，就是所需证明等式众：（再次响起热烈掌声）师：一道经典题，在我们共同努力下得到了诸多解法相比而言，哪种方法最容易想到，且运算最简单？众：还是利用组合恒等式（*式）生6（举手）：通项中下标n是定值，而系数与上标同时在变化，利用（*式）即可转化为，系数n为定值，下标也为定值，利用组合恒等式：即可师：很好该同学从通项的结构特征出发，从变化与确定的角度抽象出数学规律，将变化的系数转化为确定的值，让我们沿着这样的探索之路前行设计意图：回顾组合数性质：，组合恒等式（*式）从形式上联想到特殊数列求和方法倒序相加法，二项式定理中构造函数两边求导，体现算两次思想，及与正整数相关命题的特殊证法数学归纳法又从结构上联想到组合恒等式（*式）变换系数法，以“定”制“动”通过一题多解充分调动学生积极性，激发潜能、放飞思维、培养素养、提升能力（二）典例探究题组一：1（2008高考江苏卷改编）对于正整数，求证：；2（2016高考江苏卷）（1）略；（2）设m，nN*，nm，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）+n+（n+1）=（m+1）题组二：1若，则n=_2（2017高考江苏卷）已知一个口袋中有m个白球，n个黑球（m,n ,n2），这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，m+n）123m+n（1）略；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明:片断三题组一（分组讨论）生8（小组代表）：从结构特征出发，通项中确定的是下标，变化的是系数与上标而变化规律是系数等于上标加1，对照（*式）找不到这种形式，故想到先分组，对于通项为求和是可以直接得到结果的，而通项为恰与尝试练习（2）相同，所以左边=1=右边生9（小组代表）：仍从结构特征出发，通项中上标m确定、系数n+1与下标n变化，规律：系数=下标+1，根据（*式）可转化为，从而系数为定值左边=右边生10（组内成员补充）：还可以用数学归纳法、导数法做师：想法很好！这些方法留作同学们课后探索，本节课重点在于抓住问题的形式、结构特征，从通项出发，利用（*式）将整式型系数有变化转化为确定 “地上本没有路，走的人多了便成了路”对于系数是分式型能否找到合适的“路”，我们一起看题组二生11：通项中，下标确定，系数与上标变化，规律：系数的倒数=上标+1由（*式）可转化为，从而系数与下标确定左边=所以n=5对于题组二（2）不难求得生12：通项上标确定，系数与下标变化，规律：系数的倒数=下标+1对照（*式），好像都不行？师：不完全一致的情况有成功的经验吗？生12：题组一（1）分组求和，但那是整式型可以分组，而这是分式型分组（课堂出奇的安静，安静得几乎听到彼此的心跳！）师：由（*式）对于系数分式型，我们能解决什么？生13：除了题组二（1）中所用，还能解决上标确定，系数与下标变化的情形，但必须系数倒数等于下标，即型（k为定值）生14（抢答）：本题目标证明，而，这就将不可能转化为可能师：厉害！能给我们展示展示吗？生14（板演）：=众：哇塞！牛叉！（掌声一片）课堂热闹起来！师：回顾解题过程是否感觉有一种“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的感觉！不自觉中我们已经站在“制高点”的顶端，让我们为我们自己“点赞”本节课我们紧紧围绕组合恒等式（*式）展开，抓住结构特征抽象出通项公式，不妨把这种方法称为变换系数法，希望同学们课后在练习中多加体会设计意图：由结构特征抽象通项，从四个不同视角看组合恒等式（*式）的应用，体会经典之处，感悟多题一解变换系数法的妙用通项确定变化及规律结果视角一下标n系数=上标视角二上标k-1系数=下标+1视角三下标n-1=上标+1视角四上标k=下标四、几点思考1、知识与方法并重问题是数学的心脏，课上应设计体现数学本质，符合学生最近思维发展区的好问题一方面，唤起回忆：组合数公式、组合数性质、组合恒等式、二项式定理等；另一方面，激活联想：公式法、倒序相加法、导数法、数学归纳法等，体现知识与方法并重这些方法其实不限于组合数中，大都是解决一般数学问题的通法；这些方法看似无规律，但经过教者的努力，已经提炼成一个数学模型变换系数法，广泛应用于这类组合数问题2、一题多解与多题一解共存本节课所设计的尝试练习安排课前完成，要求学生能想出尽可能多的解题方案，并进行对比优化课上学生发言积极主动，既讲过程，更讲想法通过形式化抽象联想到倒序相加法、导数法、数学归纳法，结构化抽象联想到变换系数法，由“变化”转化为“确定”，实现以“定”制“动”通过一题多解凸显学生厚实的基本功，以及良好的数学素养本节课所设计的题组一（1）（2）及题组二（1）（2），让学生从结构特征出发，从四个不同角度：整式型系数随上标变化、随下标变化；分式型系数随上标变化、随下标变化问题全面分析探究，由“变化系数法”解决这一类问题，多题一解更能提升学生综合解题能力3、数学素养与综合能力共进2017版课程标准强调学科核心素养，包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面培养学生的核心素养没有捷径，要立足课堂，每节课有所侧重。其中数学抽象指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中本节课从形式抽象、结构抽象入手，抓住通项中系数的变化与确定之间的转化，以“定”制“动”，培养学生一般思考问题的习惯，达到把握本质，以简驭繁，发展素养的目的同时，对于（*式）从四个不同角度进行分析，全面提升针对这类问题及与之相关类型问题的解题能力，而且布置了一些拓展训练问题解决问题，要根据系数特征，抓住变量与常量，有时要从转化为，有时要将可转化为，这样的互逆转化，有益于培养思维的灵活性，有益于培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，从而在教学中实现学生素养与能力共进4、商榷本节课评课过程中，有老师提出组合恒等式（*式）的出现太突然，应设计简单问题情境，引入恒等式并加以证明笔者认为二轮复习不应是简单重复，情境引入应在新授课中完成，而证明过程在一轮复习时肯定会再呈现还有老师提出题组一、二都有学生在课上提出另解，应让学生讲清楚，否则会打消学习积极性，因为“微”专题特点及课堂时间有限，我让学生课后进一步探讨与同行商榷当然，课堂