蒋殿春习题及参考解答.doc

习题及参考解答（Ch1-2）原教科书上个别题目有误，此处已作修改，此外题号也有所变更，请注意。第1章习题：1-1两种产品x和y唯一需要的要素投入是劳动L。一单位x产品需要的劳动投入量是8，一单位y产品需要的劳动投入量是1。假设可投入的劳动量总共为48， 1) 写出生产可能集Z的代数表达式；2) 写出生产（隐）函数；3) 在平面上显示生产边界。1-2试画出Leontief生产函数的等产量线。1-3 对Cobb-Douglas生产函数 ()1) 证明；2) 求技术替代率TRS12；3) 当或变化时，TRS12如何随之变化？4) 画出等产量曲线。1-4 对CES生产函数, ， 1) 证明边际产出； 2) 求技术替代率TRS12； 3) 当或变化时，TRS12如何随之变化？ 4) 证明技术替代弹性。1-5 证明：CES生产函数在时变为线性函数，在时变为Cobb-Douglas函数，在时变为Leontief生产函数。1-6 1) 试证明欧拉定理：对任何k次（）齐次生产函数，总有 2) 用生产函数 ()验证欧拉定理。1-7 下列生产函数的规模收益状况如何？1) 线性函数：；2) Leontief生产函数；3) Cobb-Douglas生产函数；4) CES生产函数。1-8 证明：1) 对于二元生产函数，替代弹性可以表示为：2) 如果生产函数还是一次齐次的，则进一步有：解答：x1x2斜率等产量线1-1：1) 生产可能集为2) 生产函数为3) 略。1-2：1-3：1) 2) 3)变化时，技术替代率保持不变；变化时，随之等比例的变化。4) 图略。1-4：1) 2) 3) 变化时，技术替代率保持不变；变化时，随之等比例的变化。4) 为简洁，记。按定义1-5：1) 将代入CES函数，立即得到，这是线性函数；2) 当时，CES函数成为不定式，为求其极限，对CES函数取对数：利用洛必达法则，其中故这是Cobb-Douglas生产函数。3) 对CES函数取对数，求极限，利用洛必达法则：若，约分后上式等于，从而若，不妨设，此时，从而。同理可证当时有。综合各种不同情况，当时，CES生产函数变为Leontief函数形式：1-6:1) 对于次齐次函数，恒等式两端对微分：取即得到欧拉公式。2) 略。1-7：线性生产函数、Leontief生产函数以及CES市场函数都是规模收益不变的；当时，Cobb-Douglas生产函数是规模收益不变（递增、递减）的。1-8：由定义，其中。将代入生产函数中，等产量曲线方程可以写为由这个隐函数方程解出，记为。在上面的方程中对求导：得到：由于在上式中代入，利用欧拉定理，得到：从而由于是一次齐次的，所以和都是零次齐次函数，应用欧拉定理有：，从而代入上述的表达式，得：第2章原题：2-1 对于Cobb-Douglas生产函数：，。1) 验证：仅在参数条件下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足。2) 求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量）；3) 求利润函数；4) 验证利润函数是的一次齐次函数；5) 验证Hotelling引理。2-2 不利用包络定理，证明Hotelling引理。2-3 厂商在短期内以可变要素1和固定要素2生产一种市场价格为的产品，生产函数为，要素1和2的价格分别为和。1) 求厂商的短期可变要素需求；2) 求厂商的短期利润函数。2-4 某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是试求该厂商的要素需求和产品供给。2-5 一个多产品市场厂商的生产函数是，对其利润最大化问题(2.32)，1) 写出角点解的一阶必要条件；2) 写出内点解的二阶必要条件并解释其含义。2-6 如果一个厂商的技术是规模收益递增的，产品价格和要素价格都保持不变。证明：这个厂商的利润或者是零，或者是无穷大。2-7 假设某厂商以两种投入生产一种产品，生产函数是凹函数；产品市场和要素市场都是完全竞争的，即是说厂商的行为不改变产品和要素的价格。厂商追求利润最大化，但它资金紧张，可用于购买要素的钱只有，这样它还受预算约束：1) 在上述预算约束下，推导厂商的最优要素投入条件；2) 假设现在存在另一种可选要素3，它与要素2是相互完全替代的（投入一单位要素2与一单位要素3没有区别）；要素3的价格高于要素2的价格：，不过厂商使用要素3不受预算约束的限制 我们可以想象要素3的销售商允许赊账。在什么情况下厂商会使用要素3？试推导此时厂商对三种要素的最优需求条件。解答：2-11) 利润最大化问题的一阶必要条件是由此立即得要素需求： （为简洁起见没有求出消去变量的需求函数形式）将上述要素需求代入生产函数：解出即为产品供给：2) 根据定义，利润函数是3) 根据上面求出的利润函数表达式，显然有；4) 是显然的；5) 首先，注意到中的幂次为很容易看出；为证明，注意到中与有关的部分仅为而从而类似地可验证。2-2 下面的证明方法其实是对正文图2.4中思想的正式表述。对任何的价格参数，记相应的要素需求和产品供给分别为和。现在如果价格变为，而厂商没有相应地调整生产计划，仍然使用要素投入，它将得到利润这当然不是厂商此时能获得的最大利润，因为后者是根据价格对生产计划进行了最适调整后得到的。我们将这两个利润水平的差定义为一个新的函数：根据前面对右边两项的讨论，。但由假设是价格下的最优要素投入，从而。所以，函数在取得最小值，进而它必将满足下面的一阶必要条件：这就是：由于是任取的，这就证明了Hotelling引理。2-31) 厂商的短期利润最大化问题是一阶必要条件是：2) 短期利润函数为3）从前面所求的短期利润的形式看，根据价格参数的不同可分三种情况：(a) 若，则取可使达到长期利润最大化水平0；(b) 若，任何下均有，这同时也是长期利润最大化水平；(c) 若，长期利润最大化问题无有限解，所以任何一个有界的都不能达到长期利润最大化目标。或者说，只有取才会使短期和长期利润相等。2-4厂商面对的问题是将技术约束方程改为并代入目标函数，将其变为一个无约束的最大值问题，其一阶必要条件为：由此立即得产品供给要素需求是2-5：如果需要考虑角点解，应该求解下面的问题：拉格朗日函数是一阶必要条件：在最优点，存在及，使得 并且满足互补松弛条件：2-6如果生产技术是规模收益递增的，按定义，对于任何不为零的要素组合和，都有，从而所以，只要存在使得，厂商在投入组合x基础上扩大生产规模总可以提高利润，而且这种过程可以无休无止地延续下去，最终厂商获得的利润将是无穷大。例外情况是，厂商在任何投入水平x上的利润都是非正值（角点解），此时厂商只有接受0利润。2-7：1) 厂商面对的问题是如果约束是不束紧的，资金B足够厂商购买它达到利润最大化所需的要素量，问题变为一个无约束的标准利润最大化问题，分析过程与正文中没有半点不同。现假设约束是束紧的，这样上述问题就演化为一个等式约束问题。作Lagrange函数：一阶必要条件是：将第一个等