牛顿第一定律学案.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 牛顿 柯特斯求积公式的 代数精度研究 学生姓名 买买提克热木 亚森 学 号 20080101025 系 部 数学系 专 业 信息与计算科学 年 级 2008 5 班 指导教师 阿米娜 沙比尔 完成日期 2013 年 4 月 20 日 摘要 本文主要对求数值积分公式的代数精度进行探讨 首先描述了数值积分的 矩形法 梯形法 插值求积公式等求积方法的基本思路和代数精度概念 进行 了余项估计 然后重点讨论对牛顿 柯特斯求积公式当的情形及其代数15n 精度 最后用数值例题验证牛顿 柯特斯求积公式的代数精度的重要性 关键词关键词 数值积分 梯形公式 代数精度 牛顿 柯特斯公式 目 录 摘要摘要 1 1 引言引言 2 2 1 1 基本概念基本概念 4 4 1 1 代数精度的概念 4 1 3 插值型的求积公式 6 1 4 求积公式的余项 7 1 5 求积公式的收敛性和稳定性 9 2 2 牛顿牛顿 柯特斯公式柯特斯公式 1010 2 1 柯特斯系数与辛普森公式 10 2 2 偶阶求积公式的代数度 18 2 3 辛普森公式的余项 19 参考文献参考文献 2323 致谢致谢 2424 引言 1 1 问题的提出问题的提出 实际问题当中常常需要计算积分 有些数值方法 如微分方程和积分方程 的求解 也都和积分计算相联系 依据人们所熟知的微积分基本定理 对于积分 只要找到被积函数的原函数 便有下列牛顿 莱布尼 b a f x dx xf xF 茨 Newton Leibniz 公式 b a f x dxF bF a 但实际使用这种求积方法往往有困难 因为大量的被积函数 比如 x x sin 等 其原函数不能用初等函数表达 故不能用上述公式计算 即 0 x 2 x e 使能求得原函数的积分有时计算也十分困难 例如对于被积函数 其原函数 6 1 1 x xf c xx xx x xxxF 13 13 ln 34 1 1 arctan 6 1 arctan 3 1 2 2 计算仍然很困难 另外 当是有测量或数值计算给出的一张数据 bFaF xf 表时 牛顿 莱布尼茨公式也不能直接运用 因此很有必要研究计算方便 计算 量少 精度高而且稳定的数值积分方法 2 2 我的想法我的想法 积分中值定理告诉我们 在积分区间内存在一点 成立 ba b a f x dxba f 就是说 低为而高为的矩形面积恰等于所求曲边ab f 梯形的面积 如图 4 1 问题在于点的具体位置一般是 不知道的 因而难以准确算出的值 我们将称为 f f 区间上的平均高度 这样只要对平均高度提供一 ba f 种算法 相应地便获得一种数值求积方法 即如果我们用两端点 高度 与的算法平均值作为平均高度的近似值 这样导出的求积方法 af bf f 1 1 2 b a ba f x dxf af b 便是我们所熟悉的梯形公式 几何意义看图 4 2 而如果 改用区间中点的 高度 近似地取代平均高 2 ba c cf 度 则有可导出所谓中矩形公式 f 1 2 2 b a ab f x dxba f 更一般地 我们可以在区间上适当取某些节点 然后用的加权平 a b k x k f x 均得到平均高度的近似值 这样构造出的求积公式有 f 1 3 0 n b kk a k f x dxA f x 式中称为求积节点 称为求积系数 赤称伴随节点的权 权仅仅与节 k x k A k x k A 点的选取有关 而不依赖于被积函数的具体形式 这类数值积分方法通 k x xf 常称为机械求积 其特点是将积分求值问题归结为被积函数值的计算 这就避 开了牛顿 莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难 很适合在计算机上使用 有时当被积函数的原函数过于复杂时 也不宜套用积分公式 而用数值积 分公式 在微积分中 定积分是 Riemann 黎曼 和的极限 它是分割小区间趋于 零时的极限 即 1 0 lim i n b ii ax i f x dxf xx 在数值积分公式中 只能用有限项的和近似上面的极限 通常由函数在离散点 函数值的线性组合形式给出 记 b a dxxffI 0 i n i in xffI 在本章中 用表示近似积分值 称为求积节点 称为求积系数 确定 fIn i x i 中积分系数的过程就是构造数值积分公式的过程 fIn i 怎样判断数值积分公式的效果 代数精度是衡量数值积分公式优劣的重要标准之一 由此可知当具有 m 阶代数精度时 对于不高于 m 次多项式都有 n If f x n I fIf 1基本概念 1 1 代数精度的概念代数精度的概念 定义定义 1 1 如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立 但对于m 次多项式就不准确成立 则称该求积公式具有次代数精度 或代数精度1m m 确度 记上以为积分节点的数值积分公式为 a b 0 1 i x in 0 i n i in xffI 若满足 n If 0 0 1 2 kkk nn ExI xIxkn 而 1 0 m n Ex 则称具有 m 阶代数精度 n If 不难验证 梯形公式 1 1 和矩形公式 1 2 均具有一次代数精度 一般地 欲使求积公式 1 3 具有次代数精度 只要令它对于m 都能准确成立 这就要求 1 m f xxx 1 4 22 11 2 1 k kk mm m kk Aba ba A x ba A x m 为简洁起见 这里省略了符号中的上 下标 0 n k 如果我们事先选定求积节点 比如以区间的等距分点作为节点 这 k x a b 时取求解线性方程组 1 4 即可确定求积系数 而使求积公式mn k A 1 3 至少具有次代数精度 n 为了构造出型如 1 3 式的求积公式 原则上一个确定参数和的代数 k x k A 问题 例如时 取 求积公式为1n 01 xa xb 01 b a I ff x dxA f aA f b 在线性方程 1 4 中令 则得1m 01 22 01 1 2 AAba A aAbba 解得 01 1 2 AAba 于是得 2 b a ba I ff x dxf af b 这就是梯形公式 1 1 它表明利用线性方程组 1 4 推出的求积公式 与用 通过两点与的直线近似曲线得到的结果一致 a f a b f b yf x 当时 1 4 式的第三个式子不成立 因为 2 f xx 22233 1 23 b a ba abx dxba 故梯形公式 1 1 的代数精确度为 1 在方程 1 4 中如果节点及系数都不确定 那么方程组 1 4 是关 0 x i A 于及的个参数的非线性方程组 此方程组当时求解 i x i A 0 1 in 22n 1n 是很困难的 但当及的情形还可通过求解方程组 1 4 得到相应的0n 1n 求积公式 下面对讨论求积公式的建立及代数精确度 此时求积公式为0n 其中及为待定参数 根据代数精确度定义可令 00 b a I ff x dxA f x 0 A 0 x 由方程组 1 4 知 1 f xx 于是 得到的求积公式就是 1 2 式的中矩形公式 再令 0 1 2 xab 2 f xx 代入 1 4 式的第三式有 2 222233 00 1 243 b a abba A xbaabx dxba 说明公式 1 2 对不精确成立 故它的代数精确度为 1 2 f xx 方程组 1 4 是根据形如 1 3 式的求积公式得到的 按照代数精确度 的定义 如果求积公式中除了还有在某些节点上的值 也同样可得 i f x fx 到相应的求积公式 例题例题 1 1 给定形如的求积公式 试确定系数 1 010 0 1 0 f x dxA f oA fB f 0 A 使公式具有尽可能高的代数精度 1 A 0 B 解解 根据题意可令分别代入求积公式使它精确成立 2 1 f xx x 当时 得 1f x 1 01 01 1AAdx 当时 得 f xx 1 10 0 1 2 ABx dx 当时 得 2 f xx 1 2 1 0 1 3 Axdx 解得 于是有 1 1 3 A 0 2 3 A 0 1 6 B 1 0 211 1 0 336 f x dxf of f 当时 而上式有端为 故公式对不精确成立 3 f xx 1 3 0 1 4 x dx 1 3 3 f xx 其代数精确度为 2 0 22 00 1 2 Aba A xba 1 2 插值型的求积公式插值型的求积公式 设给定一组节点 且已知函数在这些节点上bxxxxa n 210 f x 的值 插值函数 参看第 2 章 2 9 式 由于代数多项式的原函 xLn xLn 数是容易求出的 我们取 b a nn dxxLI 作为积分的近似值 这样构造出来的求积公式 b a dxxfI 1 5 0 n kk k IA f x 称为是插值型的 式中求积系数通过插值基函数积分得出 即 k A xlk 1 6 0 1 b kk a Alx dx kn 求积公式的余项 1 7 d bb nn aa R ff xL xxR x dx 其中 依赖于 1 1 1 n nn f R xwx n x 101 nn wxxxxxxx 如果求积公式 1 5 是插值型的 按 1 7 式 对于次数不超过的多项n 式 其余项等于零 因而这时求积公式至少具有次代数精度 f x R fn 反之 如果求积公式 1 5 至少具有次代数精度 则它必定是插值型的 n 事实上 这时公式 1 5 对于特殊的次多项式 插值基函数应准确成n xlk 立 即有 0 n b kj kj a j lx dxA lx 注意到 上式右端实际上即等于 因而 1 6 成立 kjkj lx k A 给上所述 我们有下面的结论 引理 1 形如 1 5 式的求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是 它是 插值型的 1 4 求积公式的余项 若求积公式 1 3 的代数精度为 则由求积公式余项的表达式 1 7 m 可将余项表示为 1 8 1 0 n b m kk a k R ff x dxA f xkf 其中为不依赖于的特定参数 这个结果表明当是次数小k f x a b f x 于等于的多项式时 由于 故此时 即求积公式 1 3 m 1 0 m fx 0R f 精确成立 而当时 1 8 式的左端 1 0 m fx 1 1 m fxm 0 0R x 故可求得 1 9 11 0 221 0 1 1 11 1 2 n b mm kk a k n mmm kk k kxdxA x m baA x mm 代入余项 1 8 式中可以得到具体的余项表达式 例如梯形公式 1 1 的代数精确度为 1 可将它的余项表示为 其中 R fkfa b 2222 22 1 1 2 32 111 2612 ba kbaab baba 于是得到梯形公式 1 1 的余项为 1 10 2 12 ba R ffa b 对中矩形公式 1 2 其代数精确度为 1 余项形如 其 R fkfa b 中 2 3 33 1 11 2 3224 ab kbababa 故余项为 1 11 3 24 ba R ffa b 例 3 求例 1 中求积公式 的余项 1 0 211 1 0 336 f x dxf of f 解 由于此求积公式的代数精确度为 2 故余项表达式为 令 R fkf 于是有 3 f xx 3f 1 3 0 211 1 0 336 R fkfx dxf off 1 3 0 1211 1 0 3336 1111 34372 R fkfx dxf off 故得 1 0 1 72 R fkff 1 5 求积公式的收敛性和稳定性 定义 2 在积公式 1 3 中 若 其中 0 0 lim d n b kk an k h A f xf xx 则称求积公式 1 3 是收敛的 1 1 max ii i n hxx 在求积公式 1 3 中 由于计算可能产生误差 实际得到 即 k f x k k f kkk f xf 记 0 n nkk k IfAf x 0 n nkk k IfA f 如果对任何整正数 只要误差充分小就有0 k 1 12 0 n nnkkk k IfIfAf xf 它表明求积公式 1 3 计算是稳定 由此给出下面定义 定义 3 对任给 若 只要就有0 0 0 1 2 kk f xfkn 1 12 式成立 则称求积公式 1 3 是稳定的 引理 2 若求积公式 1 3 中系数 则此求积公式是00 1 2 k n A k 稳定的 证明 对任给 若取 对 都要求 则0 ba 0 1 2 n k kk f xf 有 000 nnn nkkkkkkk kkk IfAf xfAf xfAba 有定义 3 可知求积公式是稳定的 证毕 引理 2 表明只要求积系数 就能保证计算的稳定性 0 k A 2 牛顿 柯特斯公式 2 1 柯特斯系数与辛普森公式 设将积分区间划分为等份 步长 选取等距节点 a bn n ab h 构造出的插值型求积公式 khaxk 2 1 0 n n nkk k IbaCf x 称为牛顿 柯特斯 Newton Cotes 公式 式中柯特斯系数 按 1 6 式 n k C 引进变换 则有thax 2 2 00 00 1 n knn nn n k jj j kj k htj Cdttj dt bakjnk nk 由于是多项式的积分 柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难 当 n 1 时 11 1 0 00 2 1 0 1 1 1 1 0 1 11 1 222 Ctdttdt t t 2 11 1 1 10 00 11 0 1 1 0 22 t Ctdttdt 这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式 1 1 当 n 2 时 按 2 2 式 这时的柯特斯系数为 22 2 0 00 3 2 222 0 0 11 1 2 1 2 2 0 2 4 113181 32 2 64 44 32436 Cttdtttdt t ttdttt 22 2 1 00 3 22 0 11 2 2 2 1 1 2 1182 4 2 3233 Ct tdtt tdt t t 22 2 2 00 32 2 22 0 0 11 1 1 2 2 0 4 11181 2 44 32436 Ct tdtt tdt tt tt dt 当 n 3 时 33 3 2 0 00 4 3 32323 0 0 11 1 2 3 32 3 3 0 3 18 1111 6116 26 1818 42 1 81111 2 2796 3 18 428 ctttdttttdt t tttdtttt 33 3 1 00 33 232 00 4 32 3 0 11 2 3 2 3 3 1 2 6 11 2 3 56 66 1518153 3 273 9 6 436438 ct ttdtt ttdt tt tdtttt dt t tt 33 3 2 00 33 232 00 4 32 3 0 11 1 3 1 3 3 2 1 6 11 3 43 66 143181433 279 6 43264328 ct ttdtt ttdt tt tdtttt dt t tt 33 3 3 00 33 232 00 4 32 3 0 11 1 2 1 2 3 3 0 18 11 2 32 1818 11811 279 18 41848 ct ttdtt ttdt tt tdtttt dt t tt 当 n 4 时 44 4 0 00 44 22432 00 5 4324 0 11 1 2 3 4 1 2 3 4 4 0 4 96 11 32 712 10355024 9696 11035110241035 2524 2566425 1624 4 96 54396543 7 90 Cttttdtttttdt ttttdtttttdt t tttt 44 4 1 00 44 22432 00 5 4324 0 11 2 3 4 2 3 4 4 1 3 24 11 2 712 92624 2424 192611024926 12 25664 12 16 24 54324543 16 45 Ct tttdtt tttdt tt ttdttttt dt t ttt 44 4 2 00 44 22432 00 5 4324 0 11 1 3 4 1 3 4 4 2 2 16 11 712 81912 1616 1191102419 26 2 256646 16 16 531653 2 15 Ct tttdtt tttdt tt ttdttttt dt t ttt 44 4 3 00 44 22432 00 5 4324 0 11 1 2 4 1 2 4 4 3 1 24 11 68 7148 2424 171411024714 4 256644 16 24 54324543 16 45 Ct tttdtt tttdt tt ttdttttt dt t ttt 44 4 4 00 44 22432 00 5 4324 0 11 1 2 3 1 2 3 4 4 0 96 11 56 6116 9696 161111024611 3 256643 16 96 54396543 7 90 Ct tttdtt tttdt tt ttdttttt dt t ttt 当 n 5 时 55 5 0 00 55 22432 00 5 5432 0 11 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 0 5 600 11 32 712 5 10355024 5 600600 1 1585225274120 600 1 600 Ctttttdttttttdt tttttdttttttdt tttttdt 6 54325 0 85225274 3120 6432 11562585 3 312562575 125 137 25 120 5 60064 147519 60012288 t ttttt 55 5 1 00 55 22232 00 6 5 5432543 0 11 2 3 4 5 2 3 4 5 5 1 4 120 11 2 712 5 712 710 120120 111471154 1471154120 1 120120 6543 Ct ttttdtt ttttdt tt tttdtttttt dt t ttttt dtttt 2 5 0 20 1156251471154 3125625125 120 25 1206543 137525 1201296 t 55 5 2 00 55 22322 00 6 5 5432543 0 11 1 3 4 5 1 3 4 5 5 2 3 60 11 712 5 65 712 6060 111359107 135910760 30 6060 6543 Ct ttttdtt ttttdt tt tttdtttt ttdt t ttttt dttttt 2 5 0 1156251359107 312562512530 25 606543 112525 6012144 55 5 3 00 55 22322 00 6 5 54325432 5 0 0 11 1 2 4 5 1 2 4 5 5 3 2 60 11 68 5 65 68 6060 11124978 12497840 20 6060 6543 1 60 Ct ttttdtt ttttdt tt tttdtttt ttdt t ttttt dttttt 156251249 312562526 12520 25 654 112525 6012144 55 5 4 00 55 22322 00 6 5 5432543 0 11 1 2 3 5 1 2 3 5 5 4 1 120 11 56 5 65 56 120120 11114161 11416130 15 120120 6543 Ct ttttdtt ttttdt tt tttdtttt ttdt t ttttt dtttt 2 5 0 115625114161 3125625125 15 25 1206543 137525 1201296 t 55 5 5 00 55 22322 00 6 5 54325432 5 0 0 11 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 0 600 11 56 4 54 56 600600 113550 10355024 212 600600 643 1 6 Ct ttttdtt ttttdt tt tttdtttt ttdt t ttttt dttttt 156253550 2 3125625125 12 25 00643 147519 60012288 8 7 9 35 9 280 34 105 9 280 9 35 6 25 96 25 144 25 144 25 96 5 16 45 2 15 16 45 4 3 2 3 2 1 n k C 17280 751 17280 1323 17280 3577 17280 2989 17280 2989 17280 1323 17280 3577 17280 751 840 41 840 41 288 19 288 19 90 7 90 7 8 1 8 3 8 3 8 1 6 1 6 1 2 1 2 1 n 表4 1柯特斯公式的系数 16 当 n 2 时 相应的求积公式是下列辛普森 Simpson 公式 2 3 1 4 62 ab Sbaf aff b 而 n 4 时 牛顿 柯特斯公式则特别称为柯特斯公式 其形如是 2 4 01234 7 32 12 32 7 90 ba Cf xf xf xf xf x 这里 0 1 4 4 k ba hxakhk 我们把表 4 1 的柯特斯公式的系数代入 2 1 的牛顿 柯特斯公式 得 当 n 1 时 101 2 ba If xf x 当 n 2 时 2012 4 6 ba If xf xf x 当 n 3 时 30123 3 3 8 ba If xf xf xf x 当 n 4 时 401234 7 32 12 32 7 90 ba If xf xf xf xf x 当 n 5 时 5012345 19 75 50 50 75 19 288 ba If xf xf xf xf xf x 当 n 6 时 60123456 41 216 27 272 27 216 41 840 ba If xf xf xf xf xf xf x 当 n 7 时 28350 989 28350 5888 28350 928 28350 10496 28350 4540 28350 10496 28350 928 28350 5888 28350 989 70123 4567 751 3577 1323 2989 17280 2989 1323 3577 751 ba If xf xf xf x f xf xf xf x 当 n 8 时 80123 45678 989 5888 928 10496 28350 4540 10496 928 5888 989 ba If xf xf xf x f xf xf xf xf x 从表 4 1 中看到当时 柯特斯系数出现负值 于是有8n n k C 00 1 kk nn nn kk CC 特别地 且 则有 0 k n kk Cf xf kk f xf 00 00 kk kk nn nn nnkkkk kk nn nn kk kk IfIfCf xfCf xf Cf xfC 它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大 即计算不稳定 故是的8n 牛顿 柯特斯公式是不用的 2 2 偶阶求积公式的代数度偶阶求积公式的代数度 作为插值型的求积公式 n 阶的牛顿 柯特斯公式至少具有 n 次的代数精度 定理 1 实际的代数精度能否进一步提高呢 先看辛普森公式 2 3 它是二阶牛顿 柯特斯公式 因此至少具有二次代数 精度 进一步用进行检验 按辛普森公式计算得 3 f xx 3 33 4 62 baab Sab 另一方面 直接求积得 44 3 4 b a ba Ix dx 这时有 即辛普森公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立 又容易验SI 证它对通常是不准确的 因此辛普森公式实际上具有三次代数精度 4 f xx 一般地 我们可以证明下述论断 定理 3 当阶n为偶数时 牛顿 柯特斯公式 2 1 至少有 n 1 次代数精度 证明 我们只要验证 当 n 为偶数时 牛顿 柯特斯公式对的余项为零 1 n f xx 按余项公式 1 7 由于这里 从而有 1 1 n fxn 0 n b j a j R fxx dx 引进变换 并注意到 有xath j xath 2 0 0 n n n j R fhtj dt 若 n 为偶数 则为整数 再令 进一步有 2 n 2 n tu 2 2 0 2 2 n n n n j n R fhuj du 据此可以断定 因为被积函数 0R f 是个奇函数 证毕 2 0 2 2 nn jjn n H uujuj 2 3 辛普森公式的余项辛普森公式的余项 对牛顿 柯特斯求积公式通常只用 n 1 2 4 时的三个公式 n 1 时即为梯 形公式 1 1 其余项为 1 10 式 对 n 2 即辛普森公式 2 3 其代数精确度为 3 可 将余项表示为 其中由 1 9 式及 2 3 式可得 4 R fkfa b k 4 5544 5 4 11 4 4 562 1 4 1201802 baab kbaab baba ba 从而可得辛普森公式 2 3 的余项为 2 5 4 4 1802 ba ba R ffa b 对 n 4 的柯特斯公式 2 4 其代数精确度为 5 故类似于求 2 3 式的余项可得 到 2 4 式的余项为 2 6 6 6 2 9452 baba R ffa b 附件 MATLAB 牛顿 柯特斯公式的数值稳定性 实验应用 当时 牛顿 柯特斯公式系数中的出现了负值 在8n 357 C C C 这种情况下 牛顿 柯特斯公式 计算定积分的近似值 通常在数值上是不稳 0 n n nkk k IbaCf x b a If x dx 定的 1 用牛顿 柯特斯公式求的近似值 4 2 4 1 1 Idx x 1 2 8 n In 2 根据计算结果 说明在的情况下 其计算结果不可靠 8n 编程思想 1 为被积函数创建函数文件 f m 其代码如下 function y f x y 1 1 x 2 2 用 8 行 9 列矩阵 Cotes 存在牛顿 柯特斯系数表 用 0 表示表中的空格 3 为使程序具有一般性 用 a b 分别表示积分区间的左右端点 这里 a 4 b 4 用 n 表示牛顿 柯特斯公式的阶数 这里 n 1 2 8 4 牛顿 柯特斯公式的计算算法如下 对于 n 1