高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附答案.doc

高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附答案 学案53 抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想自主梳理 1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p 0)y22px(p 0)x22py(p 0)x22py(p 0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形 顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下自我检测 1(2010 四川)抛物线y28x的焦点到准线的距离是( )A1 B2 C4 D82若抛物线y22px的焦点与椭圆x26y221的右焦点重合，则p的值为( )A2 B2 C4 D43(2011 陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是( )Ay28x By28xCy24x Dy24x4已知抛物线y22px (p 0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有( )A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1| |FP3|5(2011 佛山模拟)已知抛物线方程为y22px (p 0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么MFN必是( )A锐角 B直角C钝角 D以上皆有可能探究点一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标变式迁移1 已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )A.14，1 B.14，1C(1,2) D(1，2)探究点二 求抛物线的标准方程例2 (2011 芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)过点P(2，4) 探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y22px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2p2；(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BCx轴 变式迁移3 已知AB是抛物线y22px (p 0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)求证：(1)x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值分类讨论思想的应用例 (12分)过抛物线y22px (p 0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数，使AOOD？多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出.【答题模板】解 假设存在实数，使AOOD.抛物线方程为y22px (p 0)，则Fp2，0，准线l：xp2，(1)当直线AB的斜率不存在，即ABx轴时，交点A、B坐标不妨设为：Ap2，p，Bp2，p.BDl，Dp2，p，AOp2，p，ODp2，p，存在1使AOOD.4分(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxp2 (k0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Dp2，y2，x1y212p，x2y222p，由ykxp2y22px 得ky22pykp20，y1y2p2，y2p2y1，8分AO(x1，y1)y212p，y1，ODp2，y2p2，p2y1，假设存在实数，使AOOD，则y212pp2y1p2y1，解得y21p2，存在实数y21p2，使AOOD.综上所述，存在实数，使AOOD.12分【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出AO和OD的坐标，判断是否存在【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足1关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线2关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向3关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛例如：已知过抛物线y22px(p 0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|x1x2p或|AB|2psin2(为AB的倾斜角)，y1y2p2，x1x2p24等(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011 大纲全国)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB等于( )A.45 B.35C35 D452(2011 湖北)将两个顶点在抛物线y22px(p 0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )An0 Bn1Cn2 Dn33已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A相离 B相交 C相切 D不确定4(2011 泉州月考)已知点A(2,1)，y24x的焦点是F，P是y24x上的点，为使|PA|PF|取得最小值，则P点的坐标是( )A.14，1 B(2,22)C.14，1 D(2，22)5设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若OA AF4，则点A的坐标为( )A(2，2) B(1，2)C(1,2) D(2，2)二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011 重庆)设圆C位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_7(2011 济宁期末)已知A、B是抛物线x24y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|_.8(2010 浙江)设抛物线y22px(p 0)的焦点为F，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_三、解答题(共38分)9(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x1所得的弦长为15，求抛物线方程 10(12分)(2011 韶关模拟)已知抛物线C：x28y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ.11(14分)(2011 济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP RQ的最小值学案53 抛物线自主梳理1相等 焦点 准线自我检测1C2B 因为抛物线的准线方程为x2，所以p22，所以p4，所以抛物线的方程是y28x.所以选B.3B 4.C 5.B课堂活动区例1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径解 将x3代入抛物线方程y22x，得y6.6 2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x12的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P坐标为(2,2)变式迁移1 A 点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|PQ|PS|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是1，点P的坐标为14，1.例2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用解 方法一 设抛物线方程为x22py (p 0)，则焦点为F0，p2，准线方程为yp2.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，m26p， m23p225， 解得p4，m26.抛物线方程为x28y，m26，准线方程为y2.方法二 如图所示，设抛物线方程为x22py (p 0)，则焦点F0，p2，准线l：yp2，作MNl，垂足为N.则|MN|MF|5，而|MN|3p2，3p25，p4.抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m2(8)(3)，得m26.变式迁移2 解 (1)双曲线方程化为x29y2161，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px (p 0)且p23，p6.方程为y212x.(2)由于P(2，4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2mx (m 0)或x2ny (n 0)，代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y.例3 解题导引 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以y22px (p 0)为例)：y1y2p2，x1x2p24；|AB|x1x2p.证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为ykxp2，由ykxp2，y22px，消去x，得ky22pykp20.(*)当k0时，方程(*)只有一解，k0，由韦达定理，得y1y2p2；当斜率不存在时，得两交点坐标为p2，p，p2，p，y1y2p2.综合两种情况，总有y1y2p2.方法二 由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为xkyp2，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B坐标满足xkyp2，y22px，消去x，可得y22pkyp2，整理，得y22pkyp20，y1y2p2.(2)直线AC的方程为yy1x1x，点C坐标为p2，py12x1，yCpy12x1p2y12px1.点A(x1，y1)在抛物线上，y212px1.又由(1)知，y1y2p2，yCy1y2 y1y21y2，BCx轴变式迁移3 证明 (1)y22px (p 0)的焦点Fp2，0，设直线方程为ykxp2 (k0)，由ykxp2y22px，消去x，得ky22pykp20.y1y2p2，x1x2 y1y2 24p2p24，当k不存在时，直线方程为xp2，这时x1x2p24.因此，x1x2p24恒成立(2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2 x1x2 p24.又x1x2p24，代入上式得1|AF|1|BF|2p常数，所以1|AF|1|BF|为定值课后练习区1D 方法一 由y2x4，y24x，得x1，y2或x4，y4.令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|35.cosAFB|BF|2|AF|2|AB|22|BF| |AF|4254522545.方法二 由方法一得A(4,4)，B(1，2)，F(1,0)，FA(3,4)，FB(0，2)，|FA|32425，|FB|2.cosAFBFA FB|FA| |FB|304 2 5245.2C 如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(p2，0)，设A(m，2pm)(m 0)，则由抛物线定义，|AF|AA1|，即mp2|AF|.又|AF|AB|22pm，mp222pm，整理，得m27pmp240，(7p)24p2448p2 0，方程有两相异实根，记为m1，m2，且m1m27p 0，m1 m2p24 0，m1 0，m2 0，n2.3C4A 过P作PKl (l为抛物线的准线)于K，则|PF|PK|，|PA|PF|PA|PK|.当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y1代入y24x，得x14，即当P点的坐标为14，1时，|PA|PF|最小5B6.61解析 如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a 3)，则圆的方程为(xa)2y2(3a)2，与抛物线方程y22x联立得x2(22a)x6a90，由判别式(22a)24(6a9)0，得a46，故此时半径为3(46)61.742解析 由题意可设AB的方程为ykxm，与抛物线方程联立得x24kx4m0，线段AB中点坐标为(2,2)，x1x24k4，得k1.又y1y2k(x1x2)2m4，m0.从而直线AB：yx，|AB|2|OM|42.8.324解析 抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得12pp4，解得p2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为2422324.9解 设直线和抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px (p 0)，则y22pxy2x1，消去y得，4x2(2p4)x10，x1x2p22，x1x214，(4分)|AB|1k2|x1x2|5 x1x2 24x1x25 p22241415，(7分)则 p24p3，p24p120，解得p6(p2舍去)