第7章线性离散控制系统的分析.ppt

内容提要 离散控制系统与连续控制系统的根本区别在于采样系统中既包含有连续信号 又包含有离散信号 是一个混和信号系统 分析和设计离散系统的数学工具是Z变换 采用的数学模型是差分方程 脉冲传递函数 第7章线性离散控制系统的分析 离散系统 一般情况下 控制信号是离散型的时间函数r t 取自系统输出端的负反馈信号在和上述离散控制信号进行比较时 需要采取离散型的时间函数b t 于是比较后得到的偏差信号将是离散型的时间函数 即 连续系统 控制信号 反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数 第一节线性离散控制系统的概念 图7 1 离散系统结构图 因此 在离散系统中 通过控制器对被控对象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信号 上述离散系统的方块图示于图7 1 图7 2 离散反馈信号 在图7 1中 离散反馈信号是由连续型的时间函数b t 通过采样开关的采样而获得的 采样开关经一定时间T重复闭合 每次闭合时间为 且有 见图7 2 在离散系统中 采样开关重复闭合的时间间隔T称为采样周期 分别称为采样频率及采样角频率 其中T代表采样周期 连续性时间函数经采样开关采样后变成重复周期等于采样周期的时间序列 该时间序列通道在连续型时间函数上打 号来表示 如图7 2所示 这种时间序列属于离散型时间函数 图7 3 离散系统简化结构图 在图7 1中 两个采样开关的动作一般是同步的 因此 图7 l所示离散系统方块图可等效地简化成图7 3 离散控制系统的应用范围非常广泛 一般离散控制系统的构成如图7 4所示 图7 4 离散控制系统结构图 数字控制系统 数字控制系统是一种离散型的控制系统 只不过是通过数字计算机控制而已 因此 它包括工作于离散状态下的数字计算机 或专用的数字控制器 和具有连续工作状态的被控对象两大部分 其方块图如图7 5所示 图中 有用于控制目的的数字计算机 或数字控制器 它构成控制系统的数字部分 通过这部分的信号均以离散形式出现 被控对象一般用G s 表示是系统的不可变部分 它是构成连续部分的主要成分 图7 5 数字控制系统结构图 在数字控制系统中 具有连续时间函数形式的被控信号y t 或c t 模拟量 受控于具有离散时间函数形式的控制信号 数字量 既然模拟量需要反应数字量 这中间便需要有数 模转换环节 连续的被控制信号y t 或c t 经反馈环节反馈到输入端与参考输入相比较 从而得到e t 并经A D得到偏差信号 离散的偏差信号经数字计算机的加工处理变换成数字信号 再经D A转换为连续信号馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被控制信号c t 图中采样开关的动作是同步的 第二节采样过程与采样定理 一 采样过程 实现采样控制首先遇到的问题 就是如何把连续信号变换为脉冲序列的问题 按一定的时间间隔对连续信号进行采样 将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程 实现采样过程的装置叫采样器或采样开关 采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示 其闭合周期为T 每次闭合时间为 在实际上 由于采样持续时间通常远小于采样周期T 也远小于系统连续部分的时间常数 因此 在分析离散系统时 可近似认为趋近于0 在这种条件下 当采样开关的输入信号为连续信号e t 时 其输出信号e t 是一个脉冲序列 采样瞬时e t 的幅值等于相应瞬时e t 的幅值 即e 0T e T e 2T e nT 如图7 6所示 图7 6 实际采样过程 采样过程可以看成是一个脉冲调制过程 理想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生器 它能够产生一系列单位脉冲 采样开关相当于一个单位脉冲发生器 采样信号的调制过程如图7 7所示 图7 7 采样信号的调制过程 采样定理 shannon定理 由于它给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率 所以在设计离散系统时是很重要的 二 采样定理 则有 1 采样信号的频谱 即 2 采样定理 即的周期为 因此 我们有 将其展开可得 若想从上述离散信号恢复为连续信号 则需要满足 采样频率怎么选 分析表明 采样函数的拉氏变换式E s 是以 s为周期的周期函数 另外 上述分析还表示了采样函数的拉氏变换式E s 与连续函数拉氏变换式E s 之间的关系 通常E s 的全部极点均位于S平面的左半部 因此可用j 代替上式中的复变量s 直接求得采样信号的傅氏变换 上式即为采样信号的频谱函数 它也反映了离散信号频谱和连续信号频谱之间的关系 一般说来 连续函数的频谱是孤立的 其带宽是有限的 即上限频率为有限值 见图7 8 a 而离散函数E t 则具有以 s为周期的无限多个频谱 如图7 8 b 所示 在离散函数的频谱中 n 0的部分E j T称为主频谱 它对应于连续信号的频谱 除了主频谱外 E j 还包含无限多个附加的高频频谱 为了准确复现采样的连续信号 必须使采样后的离散信号的频谱彼此不重叠 这样就可以用一个比较理想的低通滤波器 滤掉全部附加的高频频谱分量 保留主频谱 图7 8 连续及离散信号的频谱 由图7 8可见 相邻两频谱互不重迭的条件是 s 2 max 如果满足条件 并把采样后的离散信号e t 加到如图7 9所示特性的理想滤波器上 则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号 幅值相差l T倍 倘若 s 2 max 则会出现图7 8所示的相邻频谱的重叠现象 这时 即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来 因而就难以准确复现原有的连续信号 综上所述 可以得到一条重要结论 即只有在 s 2 max的条件下 采样后的离散信号e t 才有可能无失真地恢复到原来的连续信号 这里2 max为连续信号的有限频率 这就是香农 Shannon 采样定理 由于它给出了无失真地恢复原有连续信号的条件 所以成为设计采样系统的一条重要依据 第三节信号复现与零阶保持器 实现采样控制遇到的另一个重要问题 是如何把采样信号恢复为连续信号 根据采样定理 在满足 s 2 max的条件下 离散信号的频谱彼此互不重叠 这时 就可以用具有图7 9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量 保留主频谱 从而无失真地恢复原有的连续信号 一 信号复现概念 图7 9 理想滤波器频率特性 但是 上述的理想滤波器实际上是不能实现的 因此 必须寻找在特性上接近理想滤波器 而且在物理上又是可以实现的滤波器 在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器 保持器是一种时域的外推装置 即根据过去或现在的采样值进行外推 二 零阶保持器和一阶保持器 通常把具有恒值 线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶 一阶和二阶保持器 其中最简单 最常用的是零阶保持器 零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器 它把前一采样时刻nT的采样值e nT 不增不减地保持到下一采样时刻 n 1 T 其输入信号和输出信号的关系如图7 10 1零阶保持器 图7 10 输入和输出关系 由图7 10可见 零阶保持器的输出信号是阶梯信号 它与要恢复的连续信号是有区别的 包含有高次谐波 若将阶梯信号的各中点连接起来 可以得到比连续信号退后T 2的曲线 这反映了零阶保持器的相位滞后特性 零阶保持器的传递函数 零阶保持器频率特性 如图7 11 图7 11零阶保持器频率特性 零阶保持器具有如下特性 低通特性 由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减 说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器 但与理想滤波器特性相比 在 s 2 其幅值只有初值的63 7 且截止频率不止一个 所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外 还允许部分高频分量通过 从而造成数字控制系统的输出中存在纹波 相角特性 由相频特性可见 零阶保持器要产生相角迟后 且随频率的增大而加大 在 s 2时 相角迟后可达 180o 从而使闭环系统的稳定性变差 时间迟后 零阶保持器的输出为阶梯信号eh t 其平均响应为e t T 2 表明输出比输入在时间上要迟后T 2 相当于给系统增加一个延迟时间为T 2的延迟环节 对系统稳定不利 2一阶保持器 一阶保持器是种按线性规律外推的保持器 其外推关系为 由于未引进高阶差分 一阶保持器的输出信号与原连续信号之间仍有差别 一阶保持器的单位脉冲响应可以分解为阶跃函数和斜坡函数之和 一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式可用下式表示 一阶保持器的频率特性绘于图7 12 图中的虚线表示零阶保持器的频率特性 图7 12 一阶保持器的频率特性 第三节Z变换 通过前面对线性连续系统的讨论我们知道 线性连续系统用线性微分方程来描述 可以应用拉氏变换的方法来分析其动态及稳态过程 线性离散系统中包合离散信号 用差分方程来描述 同样可以应用一种z变换的方法来进行分析 z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形 一 Z变换定义 设连续时间函数f t 可进行拉氏变换 其拉氏变换为F s 连续时间函数f t 经采样周期为T的采样开关后 变成离散信号f t 离散信号的拉氏变换为 上式中各项均含有e kTs因子 为便于计算定义一个新变量z esT 其中T为采样周期 z是复数平面上定义的一个复变量 通常称为z变换算子 因而得到以z为自变量的函数F z 即 是相互补充的两种变换形式 前者表示s平面上的函数关系 后者表示z平面上的函数关系 若所示级数收敛 则称F z 是f t 的z变换 记为Z f t F z 应该指出 式所表示的z变换只适用于离散函数 或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性 而不能反映其在采样时刻之间的特性 人们习惯上称F z 是f t 的z变换 指的是经过采样后f t 的z变换 采样函数f t 所对应的z变换是唯一的 反之亦然 但是 一个离散函数f t 所对应的连续函数却不是唯一的 而是有无穷多个 从这个意义上来说 连续时间函数x t 与相应的离散时间函数x t 具有相同的z变换 即 二 Z变换的求法 求离散函数的方法有很多 本书介绍其中三种 1级数求和法 设离散函数为 其拉氏变换为 根据z变换的定义有 其为离散函数z变换的一种表达形式 只要已知连续函数在采样时刻kT k 0 1 2 3 4 的采样值便可求取离散函数z变换的级数展开式 对常用离散函数的z变换应写成级数的闭合形式 例7 1 试求函数f t 1 t 的z变换 解 f kt 1 t k 0 1 2 3 例7 2 试求函数f t e at的z变换 综上分析可见 通过级数求和法求取已知函数Z变换的缺点在于 需要将无穷级数写成闭式 这在某些情况下要求很高的技巧 但函数Z变换的无穷级数形式却具有鲜明的物理含义 这又是Z变换无穷级数表达形式的优点 Z变换本身便包含着时间概念 可由函数Z变换的无级数形式清楚地看出原连续函数采样脉冲序列的分布情况 解 2部分分式法设连续函数f t 的拉氏变换式为有理函数 可以展开成部分分式的形式 即 式中pi为F s 的极点 Ai为常系数 对应的时间函数为其Z变换为 可见 f t 的Z变换为 利用部分分式法求z变换时 先求出已知连续时间函数f t 的拉氏变换F s 然后将有理分式函数F s 展成部分分式之和的形式 最后求出 或查表 给出每一项相应的z变换 例7 3 求的Z变换 例7 4 求f t sin t的Z变换 解 的原函数为 其Z变换为 3留数计算法 已知连续信号f t 的拉氏变换F s 及它的全部极点 可用下列的留数计算公式求F z 函数在极点处的留数计算方法如下 若有ri重极点Si 则 若Si为单极点 则 解 F s 的极点为单极点 例7 5已知系统传递函数为 应用留数计算法求Z F s 例7 6 求 t 0 的Z变换 解 F s 有两个s 0的极点 即 若对于任何常数a和b 则有 1Z变换性质线性定理 证明 由Z变换定义 三 Z变换的基本定理 若 2实数位移定理又称平移定理 实数位移含义 是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期 其中向左平移为超前 向右平移为延迟 则有 及 3复域位移定理 若则有 定理的含义是 函数x t 乘以指数序e aT的Z变换 等于在x t 的Z变换表达式X z 中 以取代原算子z 证明 由Z变换定义 例7 7 试用复数位移定理计算函数te at的Z变换 解 令x t t 由于 根据复数位移定理 有 4复数微分定理 若Z x t X z 则 5初值定理 若Z x t X z 且当t 0时 x t 0则 6终值定理 若Z x t X z 且 z 1 X z 的全部极点位于Z平面的单位圆内 则 例7 8 设Z变换函数为试用终值定理确定终值 解 由终值定理得 四 Z反变换 与拉氏反变换类似 z反变换可表示为 下面介绍三种常用的z反变换法 1综合除法 这种方法是用F z 的分母除分子 求出z 1按升幂排列的级数展开式 然后用反变换求出相应的采样函数的脉冲序列 其中ai bj均为常系数 通过对上式直接作综合除法 得到按z 1升幂排列的幂级数展开式如果得到的无穷级数是收敛的 则按Z变换定义可知上式中的系数fk k 0 1 就是采样脉冲序列f t 的脉冲强度f kT 因此可直接写出f t 的脉冲序列表达式 上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散信号f t 求解时应注意 在进行综合除法之前 必须先将F z 的分子 分母多项式按z的降幂形式排列 实际应用中 常常只需计算有限的几项就够了 因此用这种方法计算f t 最简便 这是这一方法优点之一 要从一组f kT 值中求出通项表达式 一般是比较困难的 例7 9 已知 试用幂级数法求F z 的z反变换 解 用综合除法得到 因为 又因为 所以有 2部分分式展开法 在z变换表中 所有z变换函数F z 在其分子上都普遍含有因子z 所以应将F z z展开为部分分式 然后将所得结果每一项都乘以z 即得F z 的部分分式展开式 例7 10设 试求f kT 解 经计算有A 1 B 1所以有 查z变换表得 3留数计算法 根据z变换定义有 根据柯西留数定理有 式中表示F z zk 1在极点zi处的留数 关于函数F z zk 1在极点处的留数计算方法如下 若zi为单极点 则 若F z zk 1有ri阶重极点 则 例7 11 设z变换函数 试用留数法求其z反变换 解 因为函数有z1 1 z2 2两个极点 则有 所以有 相应的函数为 注意 当包含零极点时 利用留数法求解时要分步进行 例7 12 设z变换函数 试用留数法求其z反变换 解 因为 则留数计算分3步 当k 0时 有z1 0 2重 z2 3两个极点 当k 1时 有z1 0 1重 z2 3两个极点 当k 2时 有z1 3一个极点 第四节离散控制系统的数学模型 线性离散系统的数学模型有差分方程 脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种 离散系统的数学模型 将输入序列x n n 1 2 变换为输出序列y n 的一种变换关系 称为离散系统 记为y n F x n 其中 x n 和y n 可以理解为t nT时 系统的输入序列x nT 和输出序列y nT T为采样周期 线性离散系统 如果离散系统满足叠加原理 则称为线性离散系统 有如下关系式 若 且有 其中和为任意常数 则 线性定常离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常离散系统 一 差分方程 对于一般的线性定常离散系统 k时刻的输出y k 不但与k时刻的输入x k 有关 而且与k时刻以前的输入x k 1 x k 2 有关 同时还与k时刻以前的输出y k 1 y k 2 有关 这种关系可以用下列阶后向差分方程描述 1差分方程描述 上式可表示为 式中a和b为常数m n 上式称为阶线性常系数差分方程 它在数学上代表一个线性定常离散系统 图8 13 离散系统结构图 如图7 13所示采样系统描述它的一阶微分方程为 其一阶差分方程为 2差分方程求解 常用方法有迭代法和z变换法 迭代法非常简单 可见例7 13 Z变换法的实质是利用z变换的实数位移定理 将差分方程化为以z为变量的代数方程 然后进行z反变换 求出各采样时刻的响应 Z变换法的具体步骤是 对差分方程进行z变换 解出方程中输出量的z变换Y z 求Y z 的z反变换 得差分方程的解y k 例7 13已知差分方程y k x k 5y k 1 6y k 2 输入序列x k 1 初始条件为y 0 0 y 1 1 试用迭代法求出输出序列y k k 0 1 2 10 解 根据初始条件及递推关系 得 y 0 0y 1 1y 2 x 2 5y 1 6y 0 6y 3 x 3 5y 2 6y 1 25y 4 x 4 5y 3 6y 2 90 y 10 x 10 5y 9 6y 8 86526 例7 14用Z变换法解二阶差分方程 解 对上式z变换可得 代入初始条件 得 图7 14例7 14的解 二脉冲传递函数 在线性连续系统中 我们把初始条件为零的条件下系统 或环节 输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变拉之比 定义为传递函数 并用它来描述系统 或环节 的特性 与此相类似 在线性离散系统中 我们把初始条件为零的条件下系统 或环节 的输出离散信号的Z变换与输入离散信号的z变换之比 定义为脉冲传递函数 又称为z传递函数 脉冲传递函数是离散系统的一个重要概念 是分析离散系统的有力工具 图7 15离散系统脉冲传递函数 1脉冲传递函数的定义 在零初始条件下 线性定常离散系统的离散输出信号z变换与离散输入信号z变换之比 称为该系统的脉冲传递函数 或z传递函数 应该指出 多数实际采样系统的输出信号是连续信号 如图8 15所示 在这种情况下 可以在输出端虚设一个采样开关 并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作 这样就可以沿用脉冲传递函数的概念 由于 t 的拉氏变换等于1 所以输出量的拉氏变换y s G s 进一步有y s L 1 G s 习惯上将脉冲响应函数用g t 表示 即g t L 1 G s 如果在G s 上加的是 t a 即延迟到a时刻才将脉冲函数加上 那么输出信号也自然地延迟一段时间a 而成为g t a 再研究一系列脉冲依次到G s 上的情况 脉冲序列x t 可以表示成 现在分析一个孤立的单位脉冲函数 t 加在线性对象G s 上的情况 在0 t T时间内 实际起作用的只有t 0时刻加入的那一个脉冲 其余各个脉冲尚未加入 因此在这段时间内的输出量是y t x 0 g t 将t 0代入上式得y 0 x 0 g 0 在T t 2T时间内 y t x 0 g t x T g t T 将t T代入上式得y T x 0 g T x T g 0 依次类推 可得出输出在各个采样时刻的值y kT k 0 1 2 为了求出输出量在诸采样时刻的值 先计算各段时间内的y t 于是y t 的z变换为 2脉冲传递函数的求法 连续系统或元件的脉冲传递函数G z 可以通过其传递函数G s 来求取 方法是 先求G s 的拉氏反变换 得到脉冲过渡函数g t 再将g t 按采样周期离散化 得到加权序列g nT 最后将g nT 进行z变换 得出G z 这一过程比较复杂 通常可根据z变换表 直接从G s 得到G z 而不必逐步推导 若已知系统的差分方程 可对方程两端进行z变换 应用求取 例7 16 若描述采样系统的差分方程为 试求其脉冲传递函数 解 对上面差分方程进行z变换 并令初始条件为0 有 则有 3采样系统的开环脉冲传递函数 采样拉氏变换的性质 1 采样函数的拉氏变换具有周期性 即 2 若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘后再离散化 则可以从离散符号中提出来 即 开环脉冲传递函数 讨论采样系统在开环状态下的脉冲传递函数时 应注意图中所示的两种不同的结构形式 如图7 16所示 图7 16 环节串联的结构 串联环节之间无采样器时的脉冲传递函数 串联环节之间有采样器时的脉冲传递函数 上式表明 被采样开关分隔的两个线性环节串联时 其脉冲传递函数等于这两环节的脉冲传递函数之积 这个结论可以推广到有n个环节串联而各相邻环节之间都有采样开关分离的情形 无采样开关分隔的两个线性环节串联时 其脉冲传递函数等于这两个环节传递函数之积的Z变换 显然 这一结论也可以推广到有n个环节直接串联的情况 但环节之间存在采样开关与否时的脉冲传递函数不相等 带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数 设有零阶保持器的开环系统如图7 17 a 所示 经简单变换为如图7 17 b 所示等效开环系统 图7 17 带有零阶保持器的开环系统 根据实数位移定理及离散拉氏变换性质 可得 于是 有零阶保持器时 开环系统脉冲传递函数 例7 17设离散系统为具有零阶保持器的开环系统 解 因为 求系统的脉冲传递函数G z 4采样系统的闭环脉冲传递函数 在采样系统中 由于设置采样器方式是多种多样的 所以闭环系统的结构形式也不是统一的 图7 18是比较常见的系统结构图 图中输入端和输出端的采样开关是为了便于分析而虚设的 图7 18闭环系统结构图 闭环脉冲传递函数 闭环误差脉冲传递函数 与连续系统类似 令或的分母多项式为零 便可得到离散系统的特征方程 需要指出 离散闭环系统脉冲传递函数不能从和求Z变换得来 即 通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数 但只要误差信号e t 处没有采样开关 则输入采样信号r t 就不存在 此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲传递函数 而只能求出输出采样信号的Z变换函数Y z 或C z 对于采样开关在闭环系统中具有各种配置的闭环离散系统典型结构图 及其输出采样信号Z变换函数Y z 可参见表7 1 例7 18设闭环离散系统结构如图8 19所示 试证其闭环脉冲传函为 图7 19例7 18离散系统结构 证明 由图可得 对E1 s 离散化 有 考虑到 离散化有 即 输出信号的采样拉氏变换 进行Z变换 证得 例7 19设闭环离散系统结构如图7 20 试求其输出采样信号的z变换函数 图7 20 例7 19闭环系统结构图 解 由图可得 离散化有 取Z变换有 第五节离散控制系统的稳定性分析 一 s平面与Z平面的映射关系 在线性连续系统中 判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置 若系统特征方程的所有根都在s平面左半平面 则系统稳定 对线性离散系统进行了Z变换以后 对系统的分析要采用Z平面 因此需要弄清这两个复平面的相互关系 s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为z esT 式中T为采样周期 s域中的任意点可表示为 映射到z域则为 于是 s域到z域的基本映射关系式为 若设复变量s在S平面上沿虚轴移动 这时s j 对应的复变量 后者是Z平面上的一个向量 其模等于1 与频率 无关 其相角为 T 随频率 而改变 可见 S平面上的虚轴映射到Z平面上 为以原点为圆心的单位圆 当s位于S平面虚轴的左边时 为负数 小于1 反之 当s位于s平面虚轴的右半平面时 为正数 大于1 s平面的左 右半平面在z平面上的映像为单位圆的内 外部区域 图7 21 线性离散系统结构图 二 离散控制系统稳定的充要条件 线性离散系统如图7 21所示 其特征方程为 显然 闭环系统特征方程的根 1 2 n即是闭环脉冲传递函数的极点 在z域中 离散系统稳定充要条件是 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内 或者所有特征根的模均小于1 相应的线性定常系统是稳定的 应当指出 如同分析连续系统的稳定性一样 用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的 因此 需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法 其中比较常用的代数判据就是劳斯判据 三 劳斯稳定判据 对于线性连续系统 可以应用劳斯判据分析系统的稳定性 但是 对于线性采样系统 直接应用劳斯判据是不行的 因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部 因此 必须采用一种新的变换 使z平面上的单位圆 在新的坐标系中的映象为虚轴 这种新的坐标变换 称为双线性变换 又称为W变换 根据复变函数双线性变换公式 令 或 式中z和w均为复数 分别把它们表示成实部和虚部相加的形式 即 当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时 应满足 左半W平面对应Z平面单位圆内的部分 W平面的虚轴对应Z平面的单位圆上 可见图7 22 因此经过双线性变换后 可以使用劳斯判据了 图7 22 Z平面和W平面的对应关系 离散系统稳定的充要条件 由特征方程1 GH z 0的所有根严格位于z平面上的单位圆内 转换为特征方程1 GH w 0的所有根严格位于左半W平面 例7 20设闭环离散系统如图7 23所示 其中采样周期T 0 1 s 试求系统稳定时k的变化范围 图7 23 例7 20闭环系统图 解 求出G s 的z变换 闭环系统脉冲传递函数为 故闭环系统特征方程为 代入上式 得 化简后 得W域特征方程 列出劳斯表 从劳斯表第一列系数可以看出 为保证系统稳定 必须使k 0 2 736 0 632k 0 即k 4 33 四 采样周期与开环增益对稳定性的影响 例7 21设有零阶保持器的离散系统如图7 24所示 试求 1 当采样周期T分别为1 s 0 5 s 时 系统的临界开环增益Kc 2 当r t 1 t K 1 T分别为0 1 1 2 4 s 时 系统的输出响应c kT 图7 24例7 21离散系统 由劳斯判据KC 2 4 W域 T 0 5时 解 由劳斯判据KC 4 37 且由 可求得C z 表达式 取K 1 T 0 1 1 2 4s 可由C z 求Z反变换得到c kT 见图7 25 图7 25不同T时的响应 第六节离散系统的稳态误差 线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广到采样系统中来 下面仅介绍稳态误差系数的计算 设单位反馈采样系统如图7 26所示 图7 26单位反馈离散系统 系统的开环脉冲传递函数为G z 采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样时刻上的数值c nT n 0 1 2 以及从过渡过程曲线c t 求取外 还可以应用Z变换的终值定理来计算 利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 上式表明 系统的稳态误差与G z 及输入信号的形式有关 与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念 由于的关系 原线性连续系统开环传递函数G s 在s 0处极点的个数v作为划分系统型别的标准 可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G z 在z 1处极点的数目v作为离散系统的型别 称v 0 1 2 的系统为0型 I型 II型离散系统 下面考查几种典型输入作用下的稳态误差 1 单位阶跃输入时的稳态误差 式中称为静态位置误差系数 对0型离散系统 没有z 1的极点 则Kp 从而e 0 对I型 II型以上的离散系统 有一个或一个以上z 1的极点 则Kp 从而e 0 因此 在单位阶跃函数作用下 0型离散系统在采样瞬时存在位置误差 I型或II型以上的离散系统 在采样瞬时没有位置误差 这与连续系统十分相似 2 单位斜坡输入时的稳态误差 式中称为静态速度误差系数 因为0型系统的kv 0 I型系统的为有限值 II型和II型以上系统的 所以有如下结论 0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用 I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差 II型和II型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差 3 单位加速度输入时的稳态误差 当然 上式也是系统的稳态位置误差 并称为加速度误差 式中称为静态加速度误差系数 由于0型及I型系统的ka 0 II型系统的为常值 III型及III型以上系统的 ka 因此有如下结论成立 0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用 II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差 只有III型及III型以上的离散系统在单位加速度函数作用下 才不存在采样瞬时的稳态位置误差 第七节离散控制系统的动态性能分析 在线性连续系统中 闭环传递函数零 极点在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响 与此类似 离散系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零 极点在z平面的分布也有密切的关系 一 离散控制系统闭环极点分布和暂态响应的关系 设闭环系统的脉冲传递函数为 式中m n 为分析简便设其无重极点 分别为p1 p2 pn 离散系统的单位阶跃响应 Ai为留数 通过Z反变换导出输出信号的脉冲序列y t 并无技术上的困难 上式中第一项为系统输出的稳态分量 第二项为输出的暂态分量 显然 随着极点在z平面位置的变化 它所对应的暂态分量也就不同 1实轴上的闭环单极点时 设pi为正实数 pi对应的暂态项为 pi 0时 令 动态过程为按指数规律变化脉冲序列 pi 0时 动态过程为交替变号的双向脉冲序列 闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系 如图7 27所示 图7 27 实极点与动态响应的关系 若闭环实数极点位于右半z平面 则输出动态响应形式为单向正脉冲序列 实极点位于单位园内 脉冲序列收敛 且实极点越接近原点 收敛越快 实极点位于单位园上 脉冲序列等幅变化 实极点位于单位园外 脉冲序列发散 若闭环实数极点为于左半z平面 则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列 实极点位于单位园内 双向脉冲序列收敛 实极点位于单位圆上 双向脉冲序列等幅变化 实极点位于单位圆外 双向脉冲序列发散 2闭环共轭复数极点时 设ph 为一对共轭复数极点 ph ph 1对应的暂态项为 其中 则有 若 ph 1 闭环复数极点位于z平面上的单位圆外 动态响应为振荡脉冲序列 若 pk 1 闭环复数极点位于z平面上的单位圆上 动态响应为等幅振荡脉冲序列 若 pk 1 闭环复数极点位于z平面上的单位圆内 动态响应为振荡收敛脉冲序列 且 pk 越小 即复极点越靠近原点 振荡收敛越快 闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关系 如图7 28所示 图7 28复数极点分布与响应的关系 通过以上的分析可以看出 闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点 当闭环极点位于单位圆内时 其对应的暂态分量是衰减的 极点离原点越近衰减越快 若极点位于正实轴上 暂态分量按指数衰减 一对共扼复数极点的暂态分量为振荡衰减 其角频率为 k T 若极点位于负实轴上 也将出现衰减振荡 其振荡角频率为 T 为了使采样系统具有较为满意的暂态响应 其z传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部靠近原点的位置 在线性连续系统中采用的 根据一对主导极点分析系统暂态响应的方法 也可以推广到采样系统 综上所述 离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关 当闭环实极点位于z平面上左半单位圆内时 由于输出衰减脉冲交替变号 故动态过程质量很差 当闭环复极点位于左半单位圆内时 由于输出衰减高频振荡脉冲 故动态过程性能欠佳 因此 在离散系统设计时 应把闭环极点安置在z平面的右半单位圆内 且尽量靠近极点 例7 22若系统结构如图7 29所示 试求其单位阶跃响应的离散值 并分析系统的动态性能 采样周期T 0 2秒 图7 29例7 22系统结构图 解 系统的闭环脉冲传递函数为 当输入量r t 1 t 时 R z z z 1 输出量的z变换为 利用长除法得 基于z变换定义 由上式求得系统在单位阶跃外作用下的输出序列y kT 为 根据上面各离散点数据绘出系统单位阶跃响应曲线如图7 30示 由图求得给定离散系统的近似性能指标为 图7 30单位阶跃响应曲线 第八节离散控制系统的校正 在设计离散控制系统的过程中 为了满足性能指标的要求 常常需要对系统进行校正 与连续控制系统相类似 离散控制系统中的校正装置按其在系统中的位置可分为串联校正装置和反馈校正装置 按其作用可分为超前校正和迟后校正 与连续系统所不同的是 离散系统中的校正装置不仅可以用模拟电路来实现 而且也可以用数字装置来实现 在一般情况下 线性离散系统采取数字校正的目的 是在使系统稳定的基础上进 步提高系统的控制性能 如满足一些典型控制信号作用下系统在采样时刻上无稳态误差 以及过渡过程在最少个采样周期内结束等项要求 一 数字控制器的脉冲传递函数D z 如图7 31所示的线性离散系统 线性数字控制系统 中 数字控制器D将输入的脉冲系列e t 作旨在满足系统性能指标要求的适当处理后 输出新的脉冲序列u t 如果数字控制器对脉冲序列的运算是线性的 那么 尽管这里无连续工作式的元件存在 也可以确定 个联系输入脉冲序列e t 与输出脉冲序列u t 的脉冲传递函数D z 在确定数字控制器的脉冲传递函数D z 时 假设其前后两个采样开关的动作是同步的 即认为计算过程很快 输出对输入没有明显地迟后 如果计算迟后较大 仍可以认为输出输入是同步采样的 但这时需在输出开关后面附加一个迟后时间等于计算迟后的迟后环节 图7 31 线性离散系统 在图7 31所示线性离散系统中 设反馈通道的传递函数H s 1 以及连续部分 包括保持器 G s 的z变换为G z 则求得单位反馈线性离散系统的闭环脉冲传递函数为 根据线性离散系统连续部分的脉冲传递函数G z 及系统的闭环脉冲传递函数或 e z 便可确定出数字控制器的脉冲传递函数D z 数字控制器脉冲传递函数的一般形式为式中ai i 1 2 n 及bi i 0 1 2 m 为常系数 为使数字控制器的脉冲传递函数D z 具有物理实现性 在式中 需要有n m的条件存在 当n m时 分子多项式中可能缺少前面几项 但其分母各项式在n m和n m时并没有变化 z0项系数仍为1 因此 分母多项式中z0项系数的存在 便说明条件n m是成立的 在这里 对系统控制性能的要求 由闭环脉冲传递函数 z 或 e z 来反映 因此 在闭环脉冲传递函数和系统性能指标间的联系便是需要讨论的一个重要问题 二最少拍系统的脉冲传递函数 在离散控制过程中 通常把一个采样周期称作一拍 具有当典型控制信号作用下在采样时刻上无稳态误差 以及过渡过程能在最少个采样周期内结束等项控制性能的离散系统 称为最少拍系统 或有限拍系统 设典型输入信号分别为单位阶跃信号 单位速度信号和单位加速度信号时 其z变换分别为 为使稳态误差为0 e z 中应包含因子 可见典型输入信号的Z变换可写为其中A z 是不包含因子 1 z 1 的z 1的多项式 由 有 利用终值定理 给定稳态误差为 设 式中F z 为不包含 1 z 1 的z 1的多项式 可见 当F z 1时 E z 中包含的z 1的项数最少 离散系统的暂态响应过程可在最少个采样周期内结束 因此 是无稳态误差最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数 在典型输入信号分别为单位阶跃信号 单位速度信号和单位加速度信号时 可分别求得最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数 e z e z 及E z C z 当 或r 1时得 于是 且有 表明 可见最少拍离散系统经过一拍便可完全跟踪阶跃输入 其调节时间ts T 当 或r 2时得 于是 且有 表明 可见最少拍离散系统经过二拍便可完全跟踪斜坡输入 其调节时间ts 2T 当 或r 3时得 于是 且有 表明 可见最少拍离散系统经过三拍便可完全跟踪抛物输入 其调节时间ts 3T 最少拍系统反应位置阶跃输入 速度输入及加速输入信号时的过渡过程c t 分别示于图7 32 图7 33 图7 34 图7 32最少拍阶跃输入过渡过程 图7 33最少拍斜坡输入过渡过程 图7 34最少拍抛物输入过渡过程 求取数字控制器的脉冲传递函数D z 当线性离散系统的典型输入信号