2012届高考数学一轮复习§6.函数的奇偶性、周期性与对称性.doc

函数的奇偶性、周期性与对称性1.（2010山东）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=（ ）A.3 B.1 C.-1 D.-32.已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ）A.0 B. C.1 D.3.已知是以2为周期的偶函数，且当时，则在上的解析式_.4.定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(1+x)= f(1x)，当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _. 一、函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义如果对于函数定义域内的任意实数,都有,那么函数叫做奇(或偶)函数.2.函数奇偶性的性质（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数；（4）若奇函数的定义域包含，则3.判断函数的奇偶性讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，其定义域关于原点对称，可用下列方法判断其奇偶性：（1）定义法：为奇函数；为偶函数.（2）图象法：的图象关于原点对称是奇函数；的图象关于y轴对称是偶函数.（3）等价转化法：，或是奇函数；，或是偶函数.（4）运算法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2、 函数的周期性常见周期总结（1），则T=a；,则T=2a；（2），或，,T=2a；(3) ，则的周期T=3a；(4)，则的周期T=6a.三、对称性：1.函数的图象关于直线对称.函数的图象关于直线对称.中心对称：1.函数周期性的定义一般地，对于函数，若存在一个非零常数T，使得定义域内的任意x，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.2.周期性的性质（1）周期函数定义域必是无界的；（2）若是的周期，则也是的周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期. 周期函数并非都有最小正周期，如常函数.3. 判断周期性的常用方法（1）若，则是周期函数，是它的一个周期；（2）若函数满足（为非零常数）,则函数是周期函数，且T=.(3)若函数满足（为非零常数），则函数是周期函数，且T=.（4）若函数满足，则函数是周期函数，且T=.（5）若函数满足，或，则函数是周期函数，且T=.三、函数的对称性1.自身对称（1）函数满足时，函数的图象关于直线对称；（2）函数满足时，函数的图象关于点（，）对称；（3）函数的图象与的图象关于直线对称.2.两个函数对称（1）与关于轴对称；若与满足，则它们关于对称.（2）与关于Y轴对称；若与满足，则它们关于对称.（3）与关于直线对称；若与满足，则它们关于对称.（4）与关于直线对称；若与满足，则它们关于对称.（5）关于点对称；若与满足，则它们关于点对称.（6）与关于直线对称.四、周期性与对称性的关系1.如果函数的图象关于点和点对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期.2.如果函数的图象关于点和直线对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期.3.如果函数的图象关于直线和直线对称，那么函数是以为周期的周期函数.题型一：函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）；（4）【变式】定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数.题型二：函数的周期性【例2】设函数，且在闭区间上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.【变式】函数对于任意实数满足条件，若则_.【解析】.题型三：函数的对称性【例3】若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.（1）证明的图象关于点中心对称，关于直线轴对称；（2）讨论在上的单调性；【变式】在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数题型四：函数性质的综合应用【例4】已知函数，当点在的图像上移动时，点在函数的图像上移动.（1）若点P坐标为（），点Q也在的图像上，求的值；（2）求函数的解析式；（3）当时，试探求一个函数，使得在限定定义域为时，有最小值而没有最大值.总结1.对于分段函数的奇偶性的判别，要分段进行讨论.2.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，不是充要条件.3.奇函数在对称区间上具有相同的单调性；偶函数在对称区间上具有相反的单调性.4.周期函数的定义域一定是无穷区间.5.具备奇偶性、周期性、对称性的函数，其图象特征明显，解题时注意灵活运用数形结合思想.6.因为对于任何一个函数，都有，而是偶函数，是奇函数，所以任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和.一、选择题1.定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x)，则f (x)一定是（ ）A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数2.f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当0x1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.53.是定义在R上以3为周期的奇函数，若，则的取值范围是（ ）A. B.且 C.或 D.二、填空题4.已知奇函数满足的值为_.5.（2010重庆）已知函数满足：，则_.6.已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为_.三、解答题7.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，求满足的所有之和.8.设函数是定义在，0)(0，上的奇函数，当x，0)时，=.（1）求当x(0，时，的表达式；（2）若a-1，判断在(0，上的单调性，并证明你的结论.9.若函数y=f(x)是周期为2的偶函