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5.1 反比例函数户县电厂中学 高培红 2013年11月20日 教学目标： (一)教学知识点 1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解. 2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. (二)能力训练要求 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式. (三)情感与价值观要求 结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用. 教学重点： 经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解它的概念. 教学难点： 领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. 教学方法： 教师引导学生进行归纳. 教具准备：多媒体课件 教学过程： .创设问题情境，引入新课 师我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为其中，为常数且，正比例函数的表达式为，其中为不为零的常数,但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路程为1200 km，某人开车要从A地到月地，汽车的速度v(kmh)和时间t(h)之间的关系式为vt1200，则t中，t和v之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢?这就是本节课我们要揭开的奥秘. .新课讲解 师引我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回忆一下什么叫函数? 1.复习函数的定义 师大家还记得函数的定义吗? 生记得. 在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应,则称y是x的函数. 师大家能举出实例吗？生可以. 例如购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(个)的关系是y0.4n，这是一个正比例函数. 等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x，y是x的一次函数. 师很好，我们复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函数关系式. 2.经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式. 师请看下面的问题. 电流I，电阻R，电压U之间满足关系式UIR，当U220 V时. (1)你能用含有R的代数式表示I吗? (2)利用写出的关系式完成下表： R/ 20 40 60 80 100 I/A 当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢? (3)变量I是R的函数吗?为什么? 请大家交流后回答. 生(1)能用含有R的代数式表示I. 由IR=220，得I=. (2)利用上面的关系式可知，从左到右依次填11，5.5，3.67，2.75，2.2. 从表格中的数据可知，当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来越小时，I越来越大. (3)变量I是R的函数. 由IR220得I.当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数. 师这位同学回答，的非常精彩，下面大家再思考一个问题. 舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼的?请大家互相交流后回答. 生根据I，当R变大时，I变小，灯光较暗；当R变小时，I变大，灯光较亮. 所以通过改变电阻R的大小来控制电流I的变化，就可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼. 投影片：( 5.1 A) 京沪高速公路全长约为1262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(kmh)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么? 师经过刚才的例题讲解，大家可以独立完成此题.如有困难再进行交流. 生由路程等于速度乘以时间可知1262vt，则有t.当给定一个v的值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是v的函数. 师从上面的两个例题得出关系式 I=和t=. 它们是函数吗?它们是正比例函数吗?是一次函数吗? 生因为给定一个R的值，相应地就确定了一个I的值，所以I是R的函数；同理可知t是v的函数.但是从表达式来看，它们既不是正比例函数，也不是一次函数. 师我们知道正比例函数的关系式为y=kx(k0)，一次函数的关系式为ykx+b(k，b为常数且k0).大家能否根据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢? 生可以.由I与t=可知关系式为y= (k为常数且k0). 师很好. 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y (k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数. 从y中可知x作为分母，所以x不能为零. 3.做一做 投影片( 5.1 B) 1.一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么? 2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么? 3. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值： x -2 -1 - 1 3 y 2 -1 (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)根据函数表达式完成上表. 生由面积等于长乘以宽可得xy20.则有y.变量y是变量x的函数.因为给定一个x的值，相应地就确定了一个y的值，根据函数的定义可知变量y是变量x的函数.再根据反比例函数的表达式可知y是x的反比例函数. 生根据人均占有耕地面积等于总耕地面积除以总人数得m=.给定一个n的值，就相应地确定了一个m的值，因此m是n的函数，又m符合反比例函数的形式，所以是反比例函数. 师在做第3题之前，我们先回忆一下如何求正比例函数和一次函数的表达式，在y=kx中.要确定关系式的关键是求得非零常数k的值，因此需要一个条件即可；在一次函数ykx+b中，要确定关系式实际上是要求得b和k的值，有两个待定系数因此需要两个条件.同理，在求反比例函数的表达式时，实际上是要确定k的值.因此只需要-个条件即可，也就是要有一组x与y的值确定k的值.所以要从表格中进行观察.由x-1，y2确定k的值,然后再根据求出的表达式分别计算.x或y的值. 生没反比例函数的表达式为y= (1)当x-1时,y2； k-2. 表达式为y- (2)当x-2时，y1. 当x=-时，y4； 当x=时.y=-4； 当x1时,y=-2. 当x3时，y-； 当y时，x=-3； 当y-1时,x=2. 因此表格中从左到右应填 -3，1，4，-4,-2，2，- .课堂练习 (P131) .课时小结 本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y (k为常数.k0)，自变量x不能为零.还能根据定义和表达式判断某两个变最之间的关系是否是函数，是什么函数. .课后作业 习题5.1 .活动与探究 已知y-1与成反比例，且当x1时，y=4，求y与x的函数表达式，并判断是哪类函数? 分析：由y与x成反比例可知y，得y-1与成反比例的关系式为y-1 =k(x+2)，由x1、y=4确定k的值. 从而求出表达式. 解：由题意可知y-1=k=k(x+2). 当x1时.y4. 所以3k=4-1， k=1. 即表达式为y-1x+2， y=x+3. 由上可知y是x的一次函数. 参考例题 1.k为何值时，y=(k+2)xk2-5是反比例函数 分析：根据反比例函数表达式的一般形式y (k0)也可以写成y=kx-10),后一种写法中的x的次数为-1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件： k+20 k2-5-1 二者缺一不可. k+20, k-2, 解:由 得 k2-5=-1, k=2 k2.当k=2时，y=(k+2)x k2-5是反比例函数. 常见错误：(1)不会把反比例函数的一般式y=写成ykx-1的形式； (2)忽略了k+20这个条件.反比例函数概念教学反思户县电厂中学 高培红 2013年11月20日 反比例函数概念教学如何设计？在螺旋式课程的安排下，新课中预料不到的问题会忽然出现，在课前应该提前考虑学生知识可能衔接问题、支撑新课的基础学生遗忘的程度，课中及课后可能出现的问题，教学如何体现学生的主体等问题我都进行了课前反思。经过上课及学生反馈的情况有主要如下： 1.课前预料到学生函数的概念已经遗忘，所以复习函数的概念十分必要。实际上在课中，学生没有人说出函数的真正内含。一次函数的概念学生也多数学生回忆不起来了。分析可能有如下原因： 函数的学习是数学课程的难点。函数学习早不符合当时学生认识问题心理。虽然学生生活在变化的世界，但是年龄小，思维以静态思维为主，对变与变的关系认识会感觉困难。新课程教学点总是有一带而过的感觉。教师想把知识点扎实，时间不够，增加课堂容量，容易出现灌输式教学。故学生对函数概念忘的多是自然情况。2.教学中课本的实际问题和学生已有的知识建构不符。如电学中电流、电阻、电压学生没有学过，如果应用课本提出问题教师需要讲解相应物理知识，如果不用可换成学生熟悉的实际生活事例，3.考虑学生反比例函数理解的问题增加一些问题。比如表达的形式：xy=5,xy=0,负1次等让学生判断。4.课堂中的问题力求学生解决，不怕出问题，只要学生积极思维就达到目的了。初中数学反比例函数说课稿户县电厂中学 高培红 2013年11月20日 各位评委，大家好!今天我要说的课题是义务教育北师大版九年级上册第五章“反比例函数”。我将从如下步骤进行。一、说教材1.内容分析：本节课是“反比例函数”的第一节课，是继正比例函数、一次函数之后，二次函数之前的又一类型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想。因此本节课重点是理解和领悟反比例函数的概念，所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。2.学情分析：对九年级学生来说，虽然他们已经对函数，正比例函数，一次函数的概念、图象、性质以及应用有所掌握，但他们面对新的函数时，还可能存在一些思维障碍，如学生不能准确地找出变量之间的自变量和因变量，以及如何从事例中领悟和总结出反比例函数的概念，因此，本节课的难点是理解和领悟反比例函数的概念。二、说教学目标根据本人对数学课程标准的理解与分析，考虑学生已有的认知结构、心理特征，我把本课的目标定为：1、知识和技能目标：使学生理解反比例的概念并能用函数的方法表示生活中的一些变化过程2、过程和方法目标：通过问题情景，引导学生运用归纳法写出表示现实生活中的一些变化过程的函数关系式，培养学生解决实际问题的意识和能力。3、情感态度和价值观目标：通过从实际生活问题中归纳出数学知识，然后运用数学知识解决实际问题这一过程，很好地调动学生学习数学的积极性，让他们明白学习“生活中数学，学习有用的数学”的道理。设计意图：贯彻新课标提出的“人人学有用的数学”的思想。三、说教法本节课从知识结构呈现的角度看，为了实现教学目标，我建立了“创设情境建立模型解释知识应用知识”的学习模式，这种模式清晰地再现了知识的生成与发展的过程，也符合学生的认知规律。于是，从教学内容的性质出发，我设计了如下的课堂结构：创设出电流、行程等情境问题让学生发现新知，把上述问题进行类比，导出概念，获得新知，最后总结评价、内化新知。四、说学法我认为学生将实际问题转化成函数的能力是有限的，所以我借助多媒体辅助教学，指导学生通过类比、转化、直观形象的观察与演示，亲身经历函数模型的转化过程，为学生攻克难点创造条件，同时考虑到本课的重点是反比例函数概念的教学，也考虑到概念教学要从大量实际出发，通过事例帮助完成定义。因此，我采用了“问题式探究法”的教法，利用多媒体设置丰富的问题情境，让学生的思维由问题开始，到问题深化，让学生的思维始终处于积极主动的状态，并随着问题的深入而跳跃。五、说教学过程(一)创设情境，发现新知首先提出问题问题1：今天中午老师打的从焦作到学校讲课，总路程为45千米，那么的士的平均速度V（千米/时）和时间t（小时）之间的关系式为 ， 则t= 。【设计意图及教法说明】在课开头，我认为以一个简单的数字问题引入，目的是让学生在很快的时间里说出显而易见的答案，便于增强学生学好本课的自信心，使他们能愉快地进行新知的学习。问题2：我们知道,电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V，(1)你能用含有R的代数式表示I吗?(2)利用写出的关系式完成下表。R/20406080100I/A当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢?(3)变量I是R的函数吗?为什么?【设计意图及教法说明】因为数学来源于生活，并服务于生活，问题2是一个与物理有关的数学问题，这样设计便于使学生把数学知识和物理知识相联系，增加学科的相通性，另外通过本题的学习，可以让学生在情境中体会变量之间的关系，问题2先让学生独立思考，然后再同桌交流，最后小组讨论并汇报，此问题中的(1)(2)问题比较简单，学生可以独立完成，但对于问题(3)，老师要给适当的指导。问题2的深化：舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼，这样的效果是通过什么来实现的?【设计意图及教法说明】学生可以根据问题2以及学过的物理知识来解释这个问题，这样既增强学生学习新知的积极性，又达到了解决问题的目的。问题3：京沪高速公路全长约为1262km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?【设计意图及教法说明】问题3是一个行程问题，先让学生独立思考、同桌讨论，最后列出正确的函数关系式，进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，为形成反比例函数的概念打基础。(二)合作探究，获得新知1.出示问题想一想，你还能举出类似的例子吗?【设计意图及教法说明】这个环节目的在于让学生亲身经历观察、思考、抽象、概括、补充、完善的过程，让学生尝试用自己的语言说明他们的新发现，培养他们的归纳能力和自主探索与合作交流的良好学习习惯，在这期间教师就是他们的合作者、引路人，边听、边问、边指导，初步形成反比例函数的概念。2.启发学生建构新知反比例函数的定义：一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数自变量不能为0!反比例函数的一般形式：y= k/x(k为常数，k0)反比例函数的变式形式：k=yx，x=k/y(k为常数，k0)【设计意图及教法说明】这种从不同的问题情境中抽象出相同的数学模型，再进行抽象得出概念的过程，并非教师所强加，而是学生通过自己分析走向概念，突破本节课的难点，使学生的自豪感和成功感在活动中得以提升，体现类比、转化、建模等数学思想，把本节课推向高潮。(三)反馈练习，应用新知根据学生认知的差异性，我设计了基础过关和拓展训练两类练习题。1.基础过关(1)下列函数的表达式中，x表示自变量，那么哪些是反比例函数?每一个反比例函数相应的k的值是多少?y=x/5y=6x-1y=-3x-2xy=2【设计意图及教法说明】此题较简单，以口答的形式进行，设计的目的是重视基础知识的教学和面向全体学生的教学，并告诫学生判断一个函数是否是反比例函数不能单从形式上判断，一定要严谨认真，同时也完成了随堂练习1。(2)做一做一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长分别是xcm和ycm，那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有