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第三讲 余数问题基础知识一、 巧算余数的方法：(1)主要思想：被除数去掉或者添上除数的倍数，不会改变余数。(2)余数的特征：2，3，5，7，9，11，13，4，8，25，125。(3)在加，减，乘的混合运算中如何去求余数，两数之和的余数等于两数余数的和，两数之积的余数等于两数余数的乘积。二、 了解同余符号，和有关的性质，掌握“韩信点兵”问题的解法。例题1. 一个两位自然数去除375，余15，这个数可能是_；解答：37515360，这个两位数一定是360的约数，且大于15（除数比余数大）。那么这个数为：90，72，60，45，40，36，30，24，20，18.2. 一个三位数，被17除余5，被18除余12，那么它可能是_；一个四位数，被131除余112，被132除余98，那么它可能是_；解答：设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除，b=10,27,44.这个三 位数为192，498，804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除，y=14，145（太大）这个四位数是19463. 甲、乙、丙三个数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。A是_；解答：如果A除丙所得的余数是1份的话，那么A除乙所得余数就是2份，A除甲所得的余数就是4份。把2乙-甲，则没有余数，即2乙-甲使A的倍数；同理乙-2丙也同样没有余数，是A的倍数。9392-603=1275，939-3932=153A是1275和153的公约数，而1275与153的最大公约数是51，所以A可能是1，3，17，51再实验得到A为17，余数分别为8、4、2。4. 1）今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物最少几何？2）一个数除以7余3，除以11余7，除以13余4，符合此条件的数最小是_；如果它是一个四位数，那么最大可能是_；解答：（1）此数除以3余2，除以5余3，除以7余2，满足条件最小数是23（2）满足除以7余3，除以11余7的最小数为73，设此数为7377a=13b+4, 69a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为3811001x,最大的四位数为9390.5. 今天周一，天之后是星期_；这个数的个位数字是_；天之后是星期_；解答：只要求出7的余数就可以知道天后是星期几。52007（mod7），561(mod7)2007（mod6）, 52007（mod7）s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是120076的个位数字是7。可以看出个位数字是4个一循环，20074501.3, 的个位数字是3.=200720062005.6693668算式200720062005.669中因数3的个数为： +669223742482222742482670.=200720062005.6693668的余数为0. =200720062005.66936687的余数也为0.所以天之后是星期一。6. 求除以9、11、99、101、999、1001、13和91的余数分别是多少；解答：9： 除以9的余数是0，11： 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为52007。520073（mod11）,所以除以11的余数是399： 能被9整除，被11除余3的数最小是36，所以除以99余36200720072007能被7，13，37整除。9992737 100171113 9171313： 0（mod13） 除以13余091： 0（mod91） 除以91余0所以除以13，91，999的余数都是0.1001： 除以11余3，除以7，13余0，满足次条件的最小数是1092，1092除以1001余91.所以 除以1001的余数是91.101： 我们发现9999=10199，所以=0000+2007=10000+2007=9999+2007+2007（mod101）同样道理+2007+20072（mod101）以此类推 20072007（mod101）=687. 求123456789101112199200除以9的余数是_；解答：一位数个位数字之和是1+2+3+.9=45二位数数字之和是110+1+2+3+.9 (10-19)210+1+2+3+.9 (20-29)910+1+2+3+.9 (90-99) 故二位数总和为(1+2.+9)10+1+2.+9=495100199与199的区别在于百位多了100个1，共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137，除以9余3。习题：1、 盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?分析与解答：如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 12 2 4 5 6 2 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.2、自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_.分析与解答：设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.3、2