2010数学试卷评价报告.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试卷评价报告 2010年是湖南省实施新课程高考的第一年，湖南高考数学试卷保持了几年来自主命题所形成的湖南卷的特色。试卷在整体上紧扣考纲，紧密结合教材，体现了新课程的思想和理念，深化能力立意，积极改革创新。试卷做到了总体保持稳定，题型清新，难度适中，在着重考查主干基础知识的同时突出了对数学思想方法、数学能力、数学应用和创新意识的考查，从而从多个角度考查了考生的数学素养，充分发挥了数学作为基础学科在选拔人才中的重要作用，并将为湖南进一步实施新课改提供很好的导向。1试题评价1.1 题型稳中有变 突出对新增知识的全面考查2010年的文、理试卷都保持了湖南卷一贯的考查风格，考查基础知识在平淡中见深刻，力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面。在题型的分值分布中沿用同一思想，以下是近四年题型、题量和分值分布(见表1.1)和主要考查内容所占分值统计情况(见表1.2)。表1.1 近四年题型、题量及分值分布年 份选择题填空题解答题200710题；50分5题；25分6题；75分200810题；50分5题；25分6题；75分20098题；40分7题；35分6题；75分20108题；40分7题；35分6题；75分表1.2 近四年考查主要内容所占分值统计表年份2007200820092010集合、逻辑用语文7理7文8理3文9理12文5+5理5+5函数、不等式文21理21文28理29文23理31文11+0理10+3数列文18理10文8理7文9理9文9理6三角函数与解三角形文17理17文17理14文13理14文12+5理12+5二项式排列组合(计算原理)文8理13文10理2文10理10理5立体几何与空间向量文22理22文22理22文17理22文17理17平面向量文11理11文7理5文14理6文5理5解析几何文22理17文24理30文23理20文20理15导数及其应用文7理10文9理13文15理9文7理12概率统计文17理17文17理19文17理17文22理17复数理5理5文5算法与框图文5理5推理证明文12理8几何证明选讲文理5坐标系与参数方程文5理5不等式选讲文理5优选法与实验设计初步文5理52010年数学高考试题的一大特点是对课标新增内容的全面考查，比如试题对算法与框图、三视图、几何概型、定积分、推理证明以及选修系列四的几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程、优选法与实验设计初步等内容进行了考查。通过新增试题充分考查学生的思维品质和数学素养，强调考查学生的应用意识，同时启示中学数学新课程改革需注重培养学生应用数学知识解决各种数学内外问题的意识，使学生加深对数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学知识和方法解决一些实际问题。1.2 充分考虑文、理科考生的差异 实现文、理不同题文科、理科考生在数学思维方面的水平有整体性的差异，对数学学习的层次要求也有很多的不同。2010年的试题仍然很好的把握了这种差异性，在考查主干知识大致相同的情况下，在考查方式、考查能力层次方面进行了很好的区分。文理全卷仅13题及理科第6题与文科第7题(占10分)完全一致，相似而难易程度不同的题有文理科的11题、文科的第3题与理科的第4题、文科的第5题与理科的第14题、文科的第10题与理科的第9题、文科的第16题与理科的第16题、文科的第18题与理科的第18题、文科的第19题与理科的第19题，其他题则完全不同。1.3 淡化复杂计算与特殊技巧 注重对基本数学思想方法的全面考查2010年湖南省数学高考题注重对考生基础知识与基本思想方法的全面考查，淡化了复杂繁琐的计算和特殊的技巧，较好的考查了学生的数学思维能力和学习潜能，为数学高水平层次考生提供了展示数学能力的机会。数学思想方法的掌握是解决数学问题的关键，试题对课标中强调的数学思想方法的考查突出体现在：(1)分类与整合的思想方法，如理8、15、19、20、21，文15、16、19、20、21等题；(2)转化与化归的思想，如理3、6、10、14、16、18、19、20、21，文4、5、6、7、16、18、19、20、21等题；(3)数形结合的思想方法，如理3、4、8、10、13、14、18、19等题，文科7、8、13、14、18、19等题；(4)函数与方程的思想方法，如理3、8、14、16、19、20、21，文8、16、19、20、21等题；(5)或然和必然的思想的方法，如文理的17题；(6)有限与无限的思想方法：如理21，文20等题；(7)特殊与一般的思想方法：如理20、21，文19、21等题。1.4 体现了“在知识网络的交汇点命题”的命题思路在知识网络的交汇点命题较好地考查了考生对数学知识之间联系及转化的掌握情况与解决问题的能力。2010年数学高考试题很好的把握了这个命题思路，许多题特别是解答题处于各主干知识的网络交汇点(如文理的18，19，20，21等题)。考生需要综合思考，灵活运用所学各类知识和思想方法进行合情推理解答这些问题。如理科20题将导数、函数方程、不等式的运用等知识结合在一起；文科20题则将数列、平均数等知识结合在一起；理科21题将数列、导数、数学归纳法、函数与不等式等知识结合在一起；文科21题则包含了导数、函数与方程、不等式求解等知识。1.5 体现了对课标强调的数学能力的全面考查2010年较好地体现了“能力立意”命题指导思想的重要命题思路。全面地考查了课标中提出的五大基本能力和两个意识。考查空间想象能力的有理3、6、8、10、13、14、18、19，文4、5、6、7、8、13、14、18、19、20。考查抽象概括能力的有理15、19、20、21，文8、15、19、20、21，考查推理论证能力的有理15、19、20、21，文8、15、19、20、21，考查推理论证能力的有理15、18、19、20，文15、18、19、20、21，考查运算求解能力的有理文所有解答题，考查数据处理能力的有理17，文12、17，考查应用意识的有理、文17、19，考查创新意识的有理15、21，文15、20等。比如理、文15题以创新性题型引入新概念，考查考生在新情境中解决问题的能力，较好地考查了学生的阅读能力、理解能力、探究能力和独立解决问题的能力；文理科的19题与理科的20题都出现了简单快捷的好方法，很好地体现了学生的转化与创新能力。总之这些试题全面考查了考生的数学素养和数学思维能力，并为考生提供了展示能力的空间和机会。1.6 试卷设计难度适中 难易层次分明坡度好在文科、理科的整套试卷中，整体难度较往年有了较大的下降，试题起点难度明显降低。试卷从整体上由易到难，层次分明；而选择、填空、解答题三大题型内部也是由易到难，层次分明。这样使数学低水平层次的考生也有较多机会得分，体现了以人为本的人文关怀教育理念。由于在前面的题难度较小，使考生有时间解答后面的难题，原本少有学生作答的，最后两道难题，今年作答学生大比例提高。文理18、19、20三道较难题（共占39分）起点低，坡度好，考生容易入手找到解题思路，但又难得满分，较好地考查了考生的综合性数学能力和学习潜能，体现出了很好的区分功能选拔功能。1.7 体现了考查考生应用意识的命题思路在文理科试卷中分别设计了两道应用性试题，考查考生应用数学知识分析、解决实际问题的能力。文科19、理科19题，以冰川融化为背景，反映当前社会热点问题，凸显数学的应用性，考查考生应用数学解决实际问题的能力，考查考生数学建模的能力和数学应用意识。试题涉及的考点比较广泛，要求综合运用了直线、圆、椭圆、等比数列等基本知识解决问题，主要考查学生正确理解题意，建立数学模型，进而解题。这就要求学生必须具备扎实的基础知识和一定的“转化”能力。1.8 体现了重视回归教材，考查考生“双基”的命题思路2010年的试卷重视回归教材，对基本知识的考查。文理科第11、16、18题背景均源自教材，经适当加工改造而成，思维切入容易，解法思路开阔。比如文理科第18题主要考查了空间线面关系、直线和平面所成角的概念和计算、异面直线所成角等知识点，从考生答题情况可以发现，由于基础知识不扎实，基础技能不过硬而造成失分的现象普遍存在。这些题的设计对引导中学数学教学重视基础训练，防止单纯追求解题的数量与速度、教学赶进度、超纲训练的倾向具有良好的导向作用。2 理科考生答题情况分析2.1 考生整体成绩统计:对于人工评卷部分(包括填空题35分和解答题75分)，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表. 2.1表. 2.1 理科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 ( 样本数：212192 )题号填空题161718192021合计平均分22.57.349.088.043.583.191.8755.6标准差8.414.514.074.363.632.521.91难度0.650.610.750.670.300.250.140.5050分率2.820.9951039.4121.831.62满分率1.416.1659372.550.060.0022.2 理科填空题:2.2.1得分情况: 本题满分35分，平均分22.5分.得分分布见下图.理科填空题分值分布分值0356810111315百分比2.80.094.1500.036.3100.239.08分值182023252628303335百分比0.5715.131.9324.0806.2118.699.031.42.2.2试题分析:本题主要考查了优选法、概率、计算机程序框图设计、数列、几何选讲、三视图和解析几何等相关知识点,检验学生在试验分析中对0.618法的运用能力,对概率、几何、数列的概念等相关知识及数学思想方法的熟练程度及分析问题和解决问题的能力.试题难易程度适中,其中914题得分较高, 15题得分较低. 从考生得分分布来看,本填空题的区分度较高,信度好.2.2.3 学生失分主要原因:(1)考生书写欠规范,对题意的理解不深入,欠仔细.(2)知识融会贯通的能力及空间想象能力还有待提高.(3)从15题可知,考生对复杂概念的理解、分析和解决问题的能力较弱.2.3 理科16题2.3.1 得分情况: 本题满分12分，平均分7.34分. 得分分布见下图理科16题分值分布分值0123456789101112百分比20.992.521.551.971.350.680.874.559.9710.5611.2417.9816.162.3.2 试题分析本题注重三角函数通法考查,难度偏易.主要考查了三角函数恒等变换及三角函数求角的取值范围,同时考查考生的运算求解能力.2.3.3 考生失分主要原因(1)学生基础不扎实,公式运用不熟练.不能熟练运用倍角公式(降幂公式): 和辅助角公式:或(2)考生运算能力较弱,粗心大意.如系数化1时,未及时在等式两边同除以倍数2;结果表达式中漏2倍或1,或者缺少三角函数周期.(3)考生书写欠规范.主要表现在集合表达形式的书写不规范.2.4 理科17题2.4.1 得分情况:本题满分12分，平均分9.08分. 得分分布见下图理科17题分值分布分值0123456789101112百分比50.184.70.4412.44.122.463.51.820.323.023.04592.4.2 试题分析此题来自教材,但比教材上例题和习题更容易.本题考查了概率统计有关的知识,如频率分布直方图、二项分布、数值期望、互斥事件、事件的和与积、概率分布等知识,紧扣教材、大纲和考纲. 考查了考生的数学应用意识.2.4.3 考生失分主要原因(1)计算错误.如1-(0.39+0.37+0.1+0.02)=0.14 (2)理解错误.如误理解成.(3)公式错误.Ex=2.5 理科18题2.5.1 得分情况:本题满分12分，平均分8.04分. 得分分布见下图理科18题分值分布分值0123456789101112百分比106.123.552.322.012.274.534.755.025.926.510.01372.5.2 试题分析本题主要考查了空间线面关系,直线和平面所成角的概念和计算等基础知识.同时考查学生的空间想象能力、推理论证能力和数形结合、转化等数学思想.本题设计为一题两法,既可用综合几何方法求解,也可用空间向量方法求解. 为考生提供了较大的思维空间，难易适中。若用综合几何法解,则突出考查了直线与平面所成的角的作法和求法;若用空间向量方法求解,则着重考查了合理建立空间直角坐标系,以及利用向量的坐标运算进行空间线面关系的推理论证和计算能力.2.5.3 学生失分主要原因(1)书写不规范.如用字母E表示直线,用“BF面BFM”表示“BF面BFM”.解答时相当多的考生不作辅助线;部分考生作辅助线时虚实线不分,导致思路混乱.(2) 审题不慎.如采用向量法解题时,随意指定某个向量为平面的法向量.(3)几何论证思维混乱,随意说明某两条直线是平行的.(4)运算不准确.如求正弦,答案却是正切.又如建立空间直角坐标系后,将点的坐标写错,或将面的法向量求错.2.6 理科19题2.6.1 得分情况:本题满分13分，平均分3.58分. 得分分布见下图理科19题分值分布分值012345678910111213百分比39.413.708.044.9714.167.407.533.952.681.531.790.891.402.552.6.2 试题分析本题是一道应用题,考查了学生的应用意识,以及综合运用直线、圆、椭圆及等比数例等基础知识解决问题的能力.与往年的应用题相比,该题涉及的背景知识不多,题目容易理解.入手容易,起点较低,解决问题的方法是基本的,也是通用的.题目作好了图,建立了坐标系,有利于考生答题和老师阅卷.本题要求学生正确理解题意,建立数学模型,涉及的数学知识比较广泛,要求学生基础扎实,善于转化.从阅卷情况分析,难度大约为0.3,具有良好的区分度.2.6.3 学生失分主要原因(1)不理解边界曲线由两部分组成,只写其中一部分.(2)边界曲线中x的范围写错.(3)未能全面考虑边界,直接求与椭圆的最短距离.(4)运算错误.如0.2(1)3得出n(5)未能整体考虑解题思路.将平行移动后的方程写成,再与椭圆方程联立,陷入复杂计算,以至做不下去.2.7 理科20题2.7.1 得分情况:本题满分13分，平均分3.19分. 得分分布见下图理科20题分值分布分值012345678910111213百分比21.88.115.6115.412.27.97.984.883.281.50.920.580.10.062.7.2 试题分析本题以二次函数为载体,考查了不等式基本知识及基本函数的求导.全题对考生推理论证的逻辑思维能力、转化化归思想和分类讨论思想有一定深度的考查.同时题目中出现大量的字母,因此对字母的处理水平要求很高,对考生而言难度可见一斑.本题题干清晰,设问明确,解答体现出数学问题的本质.整体给人感觉有返璞归真之妙.在新课改的背景下,很难让一线教师猜到.2.7.3 学生失分主要原因(1) 学生双基不过关.学生的基础知识不扎实,基本技能缺失,基本数学思想空乏,使原本思路清晰的解题,由于其中间环节出错,导致后面的问题难以处理.如在试卷中对的求导出现如,甚至如等不应出现的错误.(2) 析问题及解决问题的能力不强.本题的第一问应是一个考查不等关系的好题,但由于部分学生缺乏对问题的合理分析能力,导致卷面十分混乱,阅卷难度很大.如利用恒成立后得到,这一关系是b和c间的不等关系,但难以向下再作进一步变形,学生中出现了两种分化,有些直观地从结论入手通过差从而得到.大多数开始了解到必须从中得到和与0的大小关系,从而思路切入正题.(3) 对分类讨论的漠视.在这里与其说是漠视,不如说是害怕.本题第二问是建立在分类讨论基础上的不等式恒成立问题,但大多数考生不会作讨论.2.8 理科21题2.8.1 得分情况:本题满分13分，平均分1.87分. 得分分布见下图理科21题分值分布分值012345678910111213百分比31.6223.2712.1911.5211.524.722.451.610.890.150.040.03002.8.2 试题分析：本题主要考察了函数、导数、不等式、数列等基础知识，以及分类与整合的数学思想方法，同时考察学生的归纳猜想、推理论证能力和创新能力. 本题设置有四个难点：(从至，难度逐渐增大，但题目设计并不完全是按由易到难展开) 利用分类讨论思想得函数的极小值点(分类讨论的思想)；在第()中得恒成立，从而可通过构造函数或数列来研究的最大值(构造法思想)；利用不完全归纳法猜想()的通项，并证明(归纳推理能力)；对a的取值范围的纯粹性和完备性的考虑(数学思维的严谨性).本题入题容易，但得高分很难，属于难题，有很强的区分度，能考察到各个层次的学生的学习掌握情况，既具有选拔人才的功能，也兼顾了高中数学教学.2.8.3 学生失分主要原因(1)考生数学基础不扎实，对极小值点与导数为0的点的逻辑关系不清,只会求导、求驻点并回答了第()中的a存在；(2)数学基本功扎实的考生，能灵活运用，故基本突破了本题的前三个难点，但对之外的a值未作说明. (注：仅有少数几位同学考虑了)3 文科考生答题情况分析3.1 考生整体成绩统计对于人工评卷部分 (包括填空题35分和解答题75分)，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表.3.1表.3.1 文科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况(样本数：172909 )题号填空题161718192021合计平均分20.45.259.185.713.412.730.8547.53标准差9.415.274.194.714.502.291.51难度0.5830.4380.7650.4760.2640.210.0650.4320分率3398225523.364.7满分率2.524641990.30.0023.2 文科填空题3.2.1 得分情况 本题满分35分，平均分20.4分。得分分布见下图文科填空题分值分布分值03568101113151618百分比30.17.7600.7111.580.012.0110.313.76分值20212325262830313335百分比8.80.897.266.013.1123.58.377.342.53.2.2 试题分析本大题共设置了7个小题9个空，涵盖了集合、优选法、概率、程序框图、三视图、几何体的体积、直线的斜率、对称、圆的方程等知识点，范围广内容丰富。其中有六空属于基础题，二空属于中档题，一空稍难题，难易搭配科学合理。3.2.3 考生失分主要原因(1) 基础知识和基本运算掌握不好，如第10题出现61.8，知识掌握不牢，运算错误；第9题出现；第11题由于概念不清运算错误等出现了，等结果；第12题对流程图、绝对值的概念掌握不好出现；第13题记错锥体体积公式，少了一个导致得到的错误结果；第14题没有求出圆心坐标，对圆关于直线对称理解不清。(2) 审题不清，不能准确理解题意，如第15题不理解与子集的关系，导致无从下手。3.3 文科16题3.3.1 得分情况 本题满分12分，平均分5.25分. 得分分布见下图文科16题分值分布分值0123456789101112百分比397.373.14.771.510.861.750.580.511.879.535.15243.3.2 试题分析本题主要考查了三角函数的周期的概念、倍角公式、两角和差公式，最值以及集合的表示等知识点，总体难度较低，对角变形能力，观察能力，运算能力都有所考查，是一道设计合理的题。3.3.3 考生失分主要原因(1) 基本概念公式掌握不牢固。如把写成，等；降幂公式写成，等错误形式；把写成等；提取系数错写为2，等；取最值点弄错等。(2) 审题不清，不按要求答题，如；要对它恒等变形，而有些同学把它做成；求最值时较多同学变成求单调区间或解不等式。(3) 书写不规范，结果不按要求写成集合形式。(4) 计算错误，如：。；由得到，等错误结果。3.4 文科17题3.4.1 得分情况 本题满分12分，平均分9.18分. 得分分布见下图文科17题分值分布分值0123456789101112百分比80.641.130.2515.21.711.072.552.460.751.310.93643.4.2 试题分析本题主要考查了概率、分层抽样等基础知识以及对数据的处理能力。同时考查了列举法、直接法、间接法等数学方法。本题难度系数较低，大部分学生得分率较高。3.4.3 考生失分主要原因(1) 没有列出基本事件，只写个数。(2) 分类标准不明确，导致重复或遗漏。(3) 计算不准确，如：。(4) 书写不规范，表达不清楚。如：有的只有式子，没有文字说明，或者用字母代表事件时表述不清。3.5 文科18题3.5.1 得分情况 本题满分12分，平均分5.71 分. 得分分布见下图理科18题分值分布分值0123456789101112百分比225.93133.553.373.864.514.575.180.724.769.55193.5.2 试题分析本题是立体几何题目，主要考查长方体的性质，异面直线所成角的概念及求法、线面垂直的性质与判定定理，面面垂直的判定定理等基础知识，同时考查运算求解能力，推理论证能力和空间想象能力等。既可以用传统几何法求解也可用空间向量法求解，难度适中。3.5.3 考生失分主要原因(1) 基本概念和基本性质掌握不准确。如：本题中长方体的基本性质和异面直线的概念不清，导致在构造异面直线所成角时出现推理和构造错误。(2) 向何论证思维混乱。在第(2)问的推理论证过程不条理、不严谨，出现只有“所以”没有“因为”的现象，出现论证不充分，多余重复论证等现象。(3) 书写不规范，笔误情况严重，如将误写为或，将平面错写为平面，将平面，误写为平面等。(4) 运算不准确。如第(1)问求得后在求时错误地将表达为，或在求得，后，求时错误地表述为等。3.6 文科19题3.6.1 得分情况 本题满分13分，平均分3.41分. 得分分布见下图文科19题分值分布分值012345678910111213百分比554.13.311.170.847.912.245.431.974.871.142.330.6993.6.2 试题分析本题是一道解析几何与实际问题相结合的题目，考查了椭圆的定义，椭圆的方程及性质、直线方程、点到直线的距离、等比数列的定义、等比数列的求和公式等知识。考查了学生把实际问题转化为数学问题的能力，数学建模的思想，难度适中。3.6.3 考生失分主要原因(1) 基础知识不牢固，例如椭圆定义不清，椭圆方程式记不清，数列的通项公式记错。(2) 计算失误。如在计算点A到直线的距离时，弄错符号，或是直线方程未化成一般式导致计算错误，弄混了a、b、c。(3) 审题不慎，不能准确理解题意，如题目要求求边界曲线，有的同学进行一般情况讨论，在求点A到距离时，有的同学去求与直线平行且与椭圆相切的直线方程。把等比数列问题理解为等差数列问题。3.7 文科20题3.7.1 得分情况 本题满分13分，平均分2.73分. 得分分布见下图文科20题分值分布分值012345678910111213百分比23.34.519.134.110.12.71.12.53.63.10.20.10.10.33.7.2 试题分析本题涵盖的知识点有平均数、等比数列、等差数列，考查了阅读理解能力、运算能力、类比猜想、归纳猜想能力及综合能力、解题方法较为灵活。3.7.3 考生失分主要原因(1) 题意、概念理解不透，出现了较多的空白卷，不知道一个数的平均数就是本身，因此表4的第4行的平均数没有求出，甚至表4的第4行不列。(2) 阅读理解、表述、运算能力不强，如“肩上”、“验证”、“推广”就出现了理解的错误，认为求出表4各行的平均数就是验证，认为写出，或者写出就是推广。(3) 思维的灵活性、严谨性不够，如II中的通项公式不知用I中的结论；求的前几项和误用错位相减法。3.8 文科21题3.8.1 得分情况:本题满分13分，平均分0.85分. 得分分布见下图文科21题分值分布分值012345678910111213百分比64.716.15.55.22.913.551.80.220.030.0040.0060.0040.0020.0023.8.2 试题分析本题属于综合题，主要考查学生对函数的定义域、单调性、不等式、导数等知识点的理解与综合运用能力，同时考查了学生的运算能力、推理论证能力、对参数的分类与整合能力及创新意识等，涵盖的知识点较多，难度较大。3.8.3 考生失分主要原因(1) 基本知识掌握有问题，不能灵活运用如讨论单调性时没有求定义域，第问中的单调区间写成等，不会求导数，不会解一元二次不等式等。(2) 思维混乱第问中对参数a的讨论不知从何处论，甚至不讨论，还出现了对x讨论等。(3) 解答过程、书写不规范如第问的单调区间写成：“在上递增”，还有写成“在或上递增”等。(4) 运算能力差，粗心大意如“第问的方程”不会解；导数的化简出现了错误；函数在各单调区间上的单调性搞反了等。4 对中学数学教学的启示4.1 重视基础 回归课本教学中进一步加强对学生基础知识和基本技能这“双基”的培养.只有“双基”过关,学生才有能力做难题.因此解题训练不能单纯追求解题的数量和速度,不能单纯追求正确结果,而应从提高学生的基本素养入手,通过一题多解,多解归一等方法将它们落实到位.加强对命题思路的分析有助于学生将问题的本质弄明白,加强对解题过程的分析有利于疏理基础知识,掌握基本方法.加强对学生规范表达的严格要求有利于学生养成严谨的思维习惯.教师在教学过程中应严格遵照教学要求和考试说明，不搞题海战术，不人为过量地增加教学难度和内容，应重视教材的使用价值。