20100831正学中学2010级高一初高中数学衔接教材(1).doc

什么是数学经典定义：数学是研究数量关系和空间形式的科学。-恩格斯；新的一种说法：数学是研究空间形式和数量关系的科学；是研究客观世界的模式和秩序的科学；是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。-新课标；从另一个角度看数学：1、数学是一种语言，是一切科学的共同语言；2、数学是一把钥匙，是一把打开科学大门的钥匙；3、数学是一种工具，是一种思维的工具；4、数学是一种智慧，一种反映人的能力和发展水平的智慧；5、数学是一门艺术，是一门创造性艺术；6、数学是一种文化，是人类的文化一部份。数学的魅力：1、诱人的猜想；2 、神奇的预言；3、美妙的和谐；4、惊人的简洁；5、传神般抽象；6、精准的严谨；7、应用的广泛 - 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。关于高中数学学习首先告诉同学们的是，数学是易学的，因为数学是一个清楚的公理化体系，是讲道理的，是特别有规则和规律的。只要我们在刚入学的时候，不要有“松口气”的想法，再加上恰当的学习方法，循序渐进的学，一定可以学好。其次告诉同学们的是，数学又是难学的，如果学习方法不当，不按规则去学、去想，犹如没有学好加法就学乘法，那就会处处碰壁，这绝不是危言耸听！高一同学要学好数学的障碍主要有两个方面，一是初高中的衔接问题，再就是学习方法问题。举个简单的例子：解一元二次不等式，要用到因式分解，而因式分解的方法有十字相乘法和公式法，用起来比较顺手的是十字相乘法，如果不会分解因式，就会影响到解方程，影响到解不等式，很有可能对后面的学习造成很大的障碍。了解初中数学与高中数学的差异，做好衔接1环境与心理的差异对高一新生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体。另外，有些同学把初中的那一套思想移植到高中来，他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，所以认为读高中也不过如此，高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。有这种思想的同学是大错特错的。因为与高考相比，中考的题目并不具有很明显的选拨性，只要多做题，很有可能就得高分。但高考就不同了，高考的题目具有很强的选拨性和综合性，如果心存侥幸，想在高三时再发奋一、二个月就考上大学几乎是不可能的。2.教材内容的差异初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单，体现了“浅、少、易”的特点。高中数学从内容上整体数量较初中剧增（教材包括必修5本书，还有选修），在知识的呈现、过程和联系上注重逻辑性；在数学语言在抽象程度上发生了突变；高一教材开始就是集合、函数概念及相关证明、逻辑关系等，概念多而抽象，符号多，知识难度加大，且习题类型多，解题方法灵活多变，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。所以说高中数学知识广泛，一方面是对初中的数学知识推广和引伸，另一方面是对初中数学知识的完善和加宽。如：初中学习的角的概念只是“”范围内的，而高中呢，将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。如：三个人排成一行，有几种排队方法，（ =6种）； 四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答： =3种）。在初中，方程无实数解，对一个负数开平方无意义，但在高中规定了，就使1的平方根为i，即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。3.教法的差异初中数学内容少，知识难度不大，教学要求较低，因而教学进度较慢，对于某些重点、难点，教师可以有充裕的时间反复讲解、多次演练，来弥补不足。但是进入高中后，数学教材内涵丰富，教学要求不断提高，教学进度相应加快，课时减少，尤其是，新课改下，我们高一数学只有5课时，每节课容量远大于初中数学，比较注意知识的发生过程，倾重于对学生形成数学思想方法的渗透和完善数学思维品质的培养。4.学习方法的差异高中数学思维方法与初中阶段大不相同。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解一元一次方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，考试时一般均可对号入座取得好成绩。因此，部分学生习惯于围着教师转，满足于知识的接受，缺乏学习的主动性。而到了高中，数学学习主要是方法的学习，要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思维方法，做到举一反三，触类旁通。俗话说得好：知彼知己，百战不殆。我们对初高中的差异清楚了，这就要求我们：不能停留在初中阶段的学习状态和学习方法，不能总是老师牵着走或赶着走，同学们应该积极主动地学习，变“要我学”为“我要学”。如何学好高中数学高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，即：不仅要“收获鱼”还要“掌握渔”。第一、重视数学的学习，高一的课程内容不得懈怠我想大家都明白数学的重要性吧。要知道，高考的成与败很大程度上取决于数学成绩的高与低（在高考中数学满分150）。尤其是高一数学，经验告诉我们，高中阶段的数学学习规律是：“三年发展看高一，高一关键在一上”。打好高一的数学基础，特别是开好“一上”即高一上学期高中数学学习的“头”，对于顺利完成高中三年的数学学习，打好自己终生发展的基础极为重要。高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点。也是整个数学的主线，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法（同学们知道有哪些数学思想方法呢？在小学和初中学过的有：转化与划归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等），这些都是高考的重点，高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的很大一部分。另外，函数这条主线将延续到大学的数学中，大学几乎所有的理工科专业都开设了高等数学，当然也有文科的高等数学，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，很多课程都是把函数作为研究对象。另外，函数有丰富的实际背景。例如，出租车的计价、邮局寄包裹的计费都是分段函数的实际应用；考古学中也应用到了指数函数的性质；简谐振动的数学模型就是三角函数；平抛运动抽象为数学模型就是二次函数。可见函数的学习是多么重要！ 第二、养成良好的数学学习习惯，主要注意以下几个环节1.预习环节课前预习能提高听课的针对性。高中数学与初中数学一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，课堂容量加大了，进度很快，经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，预习十分重要，应该在老师讲课之前通过自学，对有关知识做到心中有数，完成课后的相关练习。在预习过程中不理解的地方做个记号，这样听课效率就会高很多，等于对知识的二重加深，不至于上课一知半解。2.听课环节学生的学习主要在课堂，要学好数学，提高数学能力，关键在于提高听课效率。 首先应做好课前的准备，要把课本、笔记本、草稿纸等等放在桌子上，上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象。 听课重点听分析、思维方法，要全神贯注。全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。 耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问是否对自己有所启发；眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情、手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想；心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的；口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论；手到：就是在听、看、想、说的基础上标注课本的重点，记下老师的讲课要点以及自己的感受或有创新的思维见解。若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂上所学一切内容便会在自己头脑中留下深刻印象。作好笔记，记笔记是学习过程中的重要环节，它对提高学习效益和学习效果有不可低估的作用。俗话说“好记性不如烂笔头”。在听课的同时把本节课的重点、难点、典型的例题与教师在课堂中拓展的课外知识及习题记录下来，以备课后复习时用。有些同学上课埋头苦抄，光记不听，有些同学则只听不记，这两种都是极端的错识方法。因此请同学们一定要注意提高课堂效率。 3.作业环节先看笔记后做作业，作业要独立完成。能否坚持如此，常常是好习惯与差习惯的最大区别。发下去的作业，不是只注意勾勾叉叉，考试不是关注考多少分，而是对错题要做研究，找出错误的根源，并认真订正。另外，在准确把握住基本知识和方法的基础上要做一定量的练习题（数学还必须做一定量的课本以外练习题），因为没有一定量的练习就不能形成技能，数学离不开做题。无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通性通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。4.复习环节及时复习，强化对基本概念、知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。课下首先要做的不是做作业，而是及时复习，不留疑点。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书、笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题、分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)，尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，使当天上课内容巩固下来，该记的内容一定把它背熟，包括概念、图形、性质及规律和数学小结论等，认真独立完成作业，勤于思考，多问些为什么。（比如，遇到一个函数你就问自己4个问题： 这个函数的定义域、值域是什么？ 这个函数的是不是单调函数？如果是，单增还是单减；如果不是，有没有单调区间？ 这个函数有没有最大最小值，如果有，是多少？如果没有，某一特定区间上的最大最小值是多少？ 这个函数是奇函数还是偶函数？是奇或偶，或者非奇非偶？）另外，建议“小跨度，多反复”。可以每周复习一次，每个单元再复习一次。在复习时翻阅做过的作业和周练，看看错题是否已经会解。还不能解决的应及时请教老师、同学。以免积少成多，影响后续学习，切忌“耻于上问”，而是要做到“不耻下问。要知道：会学会问，你才会具有“学问”。5.总结环节归纳总结是必不可少的，总结的时候，应充分利用教材每章后面的复习小结，可以从基本知识和例题、习题进行总结，要多方位地去探索新旧知识之间的内在联系，从数学知识中提炼，概括出解决问题的一般方法，形成比较有序、完整的知识结构。不定期地要对做过的习题进行总结，总结出所做过的题目的规律性以及蕴含的思想方法, 往往许多题的方法其实是一样的，牢记通性通法。知识串成线，做到由厚变薄，由薄到厚。比如：初中代数知识内容核心就是数、式、方程、函数。从方程的知识来讲，由一元一次方程、一元二次方程到高次方程、分式方程、无理方程构成一个知识系统。无理方程可通过两边乘方或换元化为有理方程；分式方程可通过去分母或换元化为整式方程；高次方程可通过降次（因式分解或换元）化为低次（一元一次、一元二次方程）方程；而一元一次方程、一元二次方程有程序化（或曰公式化）的求解方法，所以在方程的大家庭里最基础最重要最根本的是一元一次、一元二次方程，它的解法要求要充分理解，熟练掌握；对于分式方程和无理方程，则关键在于掌握把它们化归为（或转化为）整式方程或有理方程的方法。同样，解方程组的基本思想是消元化多元为一元。“消元”和“降次”就成了解方程和方程组的基本思想。“抓基础，重转化”，在知识系统中学习和掌握知识，是学习数学的科学高效方法。6.反思环节经常在做题后进行一定的“反思”。做完题之后，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。做到知识成片，问题成串。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。也就是说，通过反思，形成自己的通性、通法，就可以事半功倍，也就掌握了学习数学的技巧。用专业的语言说，就是提高了学生的数学化能力，使其运用知识，解决问题的能力能够远距离迁移。7.改错环节一定要重视改错工作，做到错不再犯。具体措施可以建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出，以便对症下药；如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为不再犯这种错误的预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处隐患，一个“地雷”，迟早要惹祸。 8.合理规划，步步为营.学习过程中，学生可自己支配的时间是不多的，怎么利用好这些时间，是迅速进步的一个关键；另外，还要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划。例如：第一学期的期末，自己计划达到班级的什么程度，第一学年，达到年级的什么程度，如此等等。此外，还要循序渐进，防止急躁，更要持之以恒。同时学习也是一种责任。第三、及时了解、掌握常用的数学思想和方法注意数学思想方法的总结，数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想方法融于数学知识体系中，因此适时对数学思想方法做出归纳、概括是十分必要的。函数与方程、等价转换、数形结合、分类讨论是数学的基本思想，配方、换元、归纳猜想、类比等是常用的数学方法。在解题过程中还经常用到一些数学思维策略，比如化繁为简，正难则反，化生为熟等等。在平时学习中要多思、多问、多练、多总结， 结合自身特点，寻找最佳学习方法。第四、学习数学的几个要求和建议1培养数学运算能力，书写工整美观高考数学试题运算量往往较大，并且不允许用计算器，同时高考改卷要求非常严格，造成一些学生（特别是平时的运算能力或书写较差的学生）数学成绩比自己预想的差了很多。因此在高中遇到的有关计算问题，必须自己亲自口算、心算、用笔算，因为目前高考并不让使用计算器，运算能力是高考重点考察的能力之一；同时一定要训练书写工整，安排美观。一定要在高中阶段的每一次考试中，尽量减少因为运算和书写原因丢分。2提高阅读能力和动手实践能力比如，我们必修课本中，有一些阅读与思考，探究与发现以及信息技术应用和实习作业，要求同学们多阅读、多实践。在以后的研究性学习中，同学们应该珍惜这样的学习机会，积极投入，想办法，学会查资料，自己寻求结果，同时培养自己的自学能力和创新能力。3解题过程要规范化有一些同学平时爱偷懒，解题只追求答案的一个正确结果，或者只写最后的得数，书写不规范，这样在考试中丢分很严重，你要明白，你做的题必须要别人看得懂。我想，只要按照老师的示范和要求，就一定能够做到。4摆正心态，无论是作业还是测验，都应该独立完成5. 数学作业规范要求每次作业要及时独立完成，写明日期，标明课本页数及习题题号。作业整洁，字迹端正，每题的题号写仔细，每题之间空一行，解（证）题严密，步骤完整，做错的题目要及时订正（要在下一次作业时完成订正工作）。代数题：每页一折为二；几何题：每页平均分为3份，靠左侧的三分之一专供作图，靠右侧的三分之二写解题过程）。对于一些文字证明、求解题，要改写成“已知”、“求证”（或“求”）、“证明”（或“解”）并作出必要的图，作图一律用铅笔、直尺（或三角尺）等作图工具。应用题可不抄原题外，其余都要抄；如系补充题，一律要抄原题，试题要抄原题，并写“解”、“原式”，应用题要写“解”、“答”。对作业批改后，教师划出的错误或不要部分，应用其它颜色的笔订正在原题适当的部位，打“”号的题目，一律认真重做。不合规范要重做，因请假未做的回校后要补做补交。俗话说：学习有法，学无定法，方法因人而异，就是要在数学学习中学会数学，正如“在游泳中学会游泳”。那么，就让我们充满激情地投入到数学学习中吧，现在中考成绩已不是什么资本，同学们又站到同一起跑线上，谁先适应高中生活谁就会先取得成功，也会更加自信，当你找到了适合自己的学习方法的时候，高一数学肯定没有想象的那么难，高中数学也就水到渠成、顺理成章了，在高考中你一定会取得满意的成绩。相信自己吧，经常对自己说：我能行！最后祝同学们尽快适应高中生活，在高中的学习中旗开得胜！ 数学学科初高中教材衔接建议一、初高中教材的差异 从新课程初中新教材看，它们对知识的展现是“问题情境抽象出数学问题建立模型解释与应用”的过程，这有利于学生经历探究知识的发生、发展过程，理解数学知识的来龙去脉，建构自己的认知结构。但是，教材对许多概念采用描述性定义，对不少数学定理没有论证；教材坡度较缓、直观性强。 高中教材知识内容较初中剧增；知识的呈现注重逻辑性、抽象性。如高一教材开始就是集合、映射、函数及逻辑关系等，概念多而抽象，符号多，定义、定理严格，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维明显提高，知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。二、目前初高中衔接表现出的主要问题1初中内容的不适当删减（23）、降低要求（9），导致学生“双基”无法达到高中教学要求；2初中不适当地“抢戏”，导致“夹生饭”、“注入式”教学（学生思维能力达不到要求）；3高中不顾学生的基础，任意拔高教学要求，繁琐的、高难度的运算充斥课堂。删除的内容1立方和公式与立方差公式2因式分解中的十字相乘法、分组分解法3含有字母的方程4三元一次方程组5根式的分母有理化、最简根式 , 根式化简6画频率分布直方图7可化为一元二次方程的分式方程 ( 只要求化为一元一次方程的分式方程 )， 分式乘方8无理方程9高次方程10二元二次方程组11一元二次不等式12一元二次方程根的判别式13韦达定理14换元法15平行线等分线段定理，平行的传递性16平行线分线段成比例定理，梯形中位线（教材中有但中考不考）17截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理18空间直线、平面的位置关系19圆内接四边形的性质20轨迹定义21圆的有关定理：垂径定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理22相切作图，正多边形的有关计算，等分圆周，三角形的内切圆23三角函数中的同角三角函数的基本关系式降低要求的内容1有理数混合运算强调最多三步，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力弱；2多项式相乘仅要求一次式相乘，无除法；3因式分解只要求提取公因式法、公式法（平方差、完全平方），直接用公式法不超过两次；4根式的运算要求低；5绝对值符号内不能含有字母；6配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，而在二次函数中也不要求用配方法，求顶点、最值，只要求用公式求，且又不要求记忆公式和推导（中考试卷中会给出公式）；7几何中大大减少定理的数量，删除繁难的几何证明，淡化几何证明的技巧；8反证法，初中只要求通过实例，体会反证法的含义，了解即可；9辅助线，中考只要求添加一条辅助线。三、初高中衔接建议 1抓对知识实质理解的教学。数学的概念、定义、公式、法则、定理等都是数学的基础知识，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程。要改变教学中重结论、轻过程的做法，重视展示知识的产生背景、形成过程和方法探索过程，不仅使学生掌握知识和方法的本质，还提高应用的灵活性。2要重视新旧知识的联系。对于学生在初中数学中已经学习过的概念、图形，要作一些整理工作，使之系统化、条理化。在教学过程中，要充分利用学生头脑中已有的概念和形象（衔接点）加以提升。比如函数定义的讲解，可从初中函数定义（衔接点）出发，结合初中所学具体函数加以回顾，再运用映射的观念给这些函数以新的解释，在此基础上对函数重新定义，使新定义的出现水到渠成，易于理解，同时比较新、旧定义，发现原有定义的局限性，又使学生认识得以深化，新知得以掌握和巩固。3针对抽象的高中数学内容的教学，应从高一学生实际出发，采取“低起点、小梯度、多训练、分层次”的方法，将教学目标分解成若干递进层次逐层落实。在速度上，放慢起始进度，逐步加快教学节奏。在知识导入上，多由实例和已知引入。在难点知识讲解上，从学生理解和掌握的实际出发，对教材作必要处理和知识铺垫，注意教学内容和方法的衔接。4改革教学方法，提高教学质量。新课程强调改变学生的学习方式，倡导学生在教师的指导下互相交流、主动参与。新课改的经历将促使学生思维活跃，积极发言，但要防止部分学生学习不够扎实、数学书面表达混乱、计算能力薄弱、几何推理论证不严谨和没有形成良好的学习方法等问题的出现。初高中数学衔接教材第一部分 数与式的运算第一节 绝对值1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离例、解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可变为，即4，解得x0， 又x1，x0；若，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；若，不等式可变为，即4， 解得x4 又x3， x4综上所述，原不等式的解为x0，或x4解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的几何意义即为：|PA|PB|4由|AB|2可知：点P 在点C (坐标为0) 的左侧、或点P在点D (坐标为4) 的右侧故x0，或x4练 习1填空题：（1）若，则x=_；若，则x=_.（2）如果，且，则b_；若，则c_.2选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则3化简：|x5|2x13|（x5）第二节 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例1、计算：解法一：原式=解法二：原式=例2、已知，求的值解： 例3、已知，求的值解： 原式= .说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举例4、已知，求 的值解：原式= ， 把代入得原式=说明：注意字母的整体代换技巧的应用练 习1填空题： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数（3）若，则的值为 ( ) （A） （B） （C） （D）3. 计算：（1） （2）（3） （4）4已知，求代数式的值第三节 二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1二次根式的性质：（1） （2）.（3） （4）说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论2分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与， 等等一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式3. 最简根式：如果一个根式符合下列三个条件：1）被开方数的指数和根指数是互质数； 2）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 3）被开方数不含分母. 那么，这个根式叫做最简根式. 例1、将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）； （2）原式=； （3）；(4) 原式= .例2、计算：解法一：解法二：例3、试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.解：（1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4、化简：解： 例5、化简：（1）； （2）解：（1）原式 （2）原式=， ， 所以，原式例6、已知，求的值 解：，说明：二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如化为，其中与叫做互为有理化因式)例7、设，求的值解：原式=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量练 习1填空题：（1） ；（2）若，则的取值范围是 ；（3） ；（4）若，则 2选择题：等式成立的条件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比较大小：2 （填“”，或“”）5. 化简或计算：(1) ； (2) ；(3) ； （4）.6设，求代数式的值7设，求的值第四节 分式1分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 上述性质被称为分式的基本性质2繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1、化简 .解法一：原式=解法二：原式=例2、若，求常数的值解： ， 解得 例3、（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有（1）证明： （其中n是正整数）成立（2）解：由（1）可知 （3）证明：， 又n 2，且n是正整数， 一定为正数， 例4、设，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20两边同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去， 或e2 e23. 多项式除以多项式：做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式 .例5、计算解：，即.练 习1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3正数满足，求的值4计算习 题 一A 组1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空题：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_B 组1填空题： （1），则 .（2）若，则 .2已知：，求的值C 组1选择题：（1）若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）计算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3已知. 求：.4计算：5试证：对任意的正整数n，有第二部分 分解因式1因式分解的意义：把一个多项化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解是一种恒等变形.这一概念的特点是：1）多项式因式分解的结果一定是积的形式；2）每个因式必须是整式（单项式或多项式）；3）各因式要分解到不能再分为止.2因式分解与整式乘法的区别和联系：整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形.3因式分解的一般步骤：把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行. （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解； （4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止（本部分在实数范围内研究因式分解）.4. 因式分解的主要方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解配方法、求根法及待定系数法等因式分解中常常需要整体代换.第一节 提取公因式法、公式法与分组分解法1. 公式法：依据式子结构特点逆用乘法公式进行恒等变形的方法.例1、分解因式： (1) (2) .分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或解：(1) (2) 2. 分组分解法：把多项式分成若干个组来分解因式的方法叫做分组分解法. 分组分解法的关键在于如何分组，分组的目的主要是：1）分组后能提取公因式；2）分组后能直接运用公式. 分组过程中有时需先恰当的拆项和添项达到分组目的.例2、把分解因式分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可继续提取公因式解：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学们不妨一试例3、把分解因式分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解解：说明：由例2、例3可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用例4、分解因式：（1）； （2）解：（1）=另解： （2）.练 习分解下列因式：（1）x464x ； （2）（x24）216x2； （3）x5x3x21；（4）； （4）a45a2b24b4； （5）a22abb22ac2bcc2 . 第二节 十字相乘法十字相乘法：二次三项式ax2+bx+c（a0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c = c1c2，把a1，a2 ，c1，c2排列如右图，按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2x + a2c1x=bx .即它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项bx，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.注意：适用情形是二次三项式或可化为二次三项式的代数式.例1、分解因式：（1）x23x2； （2）x24x12；（3）； （4）1211图122aybyxx图1242611图12312xx图121解：（1）如图121，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)11xy图125说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图121中的两个x用1来表示（如图122所示）（2）由图123，得x24x12(x2)(x6)（3）由图124，得（4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图125所示）例2、分解因式：解：（1）=另解：= =说明：该题进行因式分解的关键是将代数式整理为关于x的二次三项式（先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列），再十字相乘法分解.同样若先整理为关于y的二次三项式，也可十字相乘法分解.练 习分解下列因式：（1）x214x40； （2）x415x226； （3）（xy）2（xy）2； （4）； （5）x2y2xy62xy； （6）.第三节 其它因式分解的方法1. 求根公式法：若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.注意：适合关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解，是十字相乘法的一种补充.例1、把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）解：（1）令=0，则解得，=（2）令=0，则解得，=思考：1）二次三项式在实数范围内一定能够分解因式吗？你能够快速判断吗？你又能够快速判断二次三项式是完全平方式吗？ 2）若一个方程有实根，则该方程整理为等号的一端为0，那么另一端分解因式，一定有一个什么因式？2配方法：将二次三项式配成两个完全平方式的差，再利用平方差公式分解因式的方法叫做配方法.配方后将二次三项式化为两个平方式的差，然后用平方差公式分解配方法同样适合二次三项式的因式分解，是求根公式法分解因式的具体化.例2、分解因式.解：.思考：本题还有其它方法，请大家试验若将二次三项式配方后化成了两个平方式的和，说明该二次三项式能够分解因式吗？3拆、添项法：根据需要通过恰当的添项或拆项，把多项式分成若干部分，再分组进行因式分解的方法.例3、分解因式分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决解： 说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将拆成，将多项式分成两组和另外，也可先试验x = -1是=0的根，从而通过条拆项凑公因式x+1进行分解因式.4待定系数法：首先判断出分解因式的结果形式，然后设出相应的字母系数（待定系数）表示因式分解的结果，依据等式恒等求出字母系数，从而完成因式分解.例4、分解因式.分析：易知这个多项式应该分解为两个一次因式，因而设，再依据等式成立确定p、q的值，代入化简.解：设，因为成立，所以，则.练 习1选择题：（1）多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）已知多项式分解因式为，则的值为（ ）（A）（B） （C） （D）2分解因式： （1）x26x8； （2）x22x1； (3) x43x2y24y4 ；（4）； （5）； (6) x44 .习 题 二A 组1选择题：（1）在下列各式中： a-b= b-a； (a-b)2= (b-a)2； (a -b)2= - (b-a)2； (a-b)3= (b -a)3 ； (a-b)3= -(b-a)3； (a+b)(a-b) = (-a+b)(-a-b). 正确的等式有 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 （2）把多项式分解因式等于 （ ）（A） （B）（C）m(a2)(m1) （D）m(a2)(m1) （3）化简(-2)1999+(-2)2000的结果是 （ ）（A）21999 （B）-2 （C）-21999 （D）-12分解因式：（1）； （2）； （3）.3计算下列各式：(1) 7.6200.1 4.3200.11.9200.1； (2) 10115109 .4先化简，再求值. (1) 已知, xy=2, 求2x4y 3x3y4的值；(2) 已知4x2 + 7x + 2 = 4,求12x221x的值. 5在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）；（4）；（5）；（6）B 组1. 填空题：（1）已知a26a+9与|b1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是_；(2) （ ）；(3) 已知，则的值是 ；(4) 若是一个完全平方式，则的关系是 .2不解方程组，求的值.3三边，满足，试判定的形状4若二次多项式能被x1整除，试求k的值.5分解因式：（1）x2x(a2a)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）1+x + x(x+1) + x(x+1)2 + + x(x+1)n (n为正整数) .第三部分 解方程和一元二次方程的根与系数的关系1等式：用等号表示相等关系的式子.2含有未知数的等式叫方程；能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（在一元方程中也可叫做方程的根）；求得方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程.3如果两个方程的解相同，即两个方程中，第一个方程的解就是第二个方程的解，第二个方程的解也是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程.4方程同解原理有两条：（方程同解原理是解方程的根据）（1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程；（2）方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程.初中数学学中基本的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程这三种类型. 而简单无理数方程、高次方程、分式方程、二元二次方程组都要转化为前三种类型的方程. 因此，解方程的基本思想是通过“平方”或“换元”或“因式分解”或“消元”等转化办法，把新方程化归为已经会解的方程求解. 第一节 整式方程的解一、一元一次方程1.解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为“1”.2.一元一次方程ax=b的解的情况：（1）当a0时，ax=b有唯一的解；（2）当a=0，b0时，ax=b无解