数学课堂学习研究——植树问题.doc

课堂学习研究植树问题课堂学习研究小组由两名主管领导和9名小学数学教师组成。整个研究循环从2012年2月持续到2012年6月，在这期间，研究小组利用课外时间共召开了10次研讨会议。研究过程包括四个阶段：选择课题并初拟学习内容、设计课堂前测并根据前测设计教学、教学实践及课堂后测、总结评估研究课的效果。一、第一阶段：选择课题、初拟学习内容并设计课堂前测1、选择课题选择一个有价值的、有意义的，值得研究的内容是课堂学习研究的首要环节。本次课题内容的选择是在总结上学期课堂学习研究的经验，延伸上学期研究重点的基础上，在解决问题这一大课题下各教研组先根据自己年级本学期的教材，讨论确定本年级的研究点，再从五个研究点中选择一个作为本学期的课题研究点。在2月13日召开的教研组长会议上，各年级确定的研究点分别是：一年级图文应用题；二年级单元教材重构，小括号的灵活运用研究；三年级的连乘应用题；四年级的植树问题；五年级的长方体、正方体整理复习。最后讨论确定“植树问题”作为本学期的研究内容。植树问题是一种情况较为复杂的问题解决，这一教学内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引领，也需要学生的自主探究。植树问题包括两个大的方面，一是在直线上植树，二是在封闭图形上植树。直线上植树又有三种不同情况：两端都种、两端都不种、一端种一端不种，根据四年级学生的认知实际，选定将两端都种的情况作为第一课时教学，定位准确，关注了学生学习的起点，符合中段儿童的认知规律。如果一节课将直线上植树的三种情况一起来探究学习，必然会造成知识容量大，学生学得累，掌握效果不佳的后果。在此认识基础上进一步确定“植树问题”的两个研究点：一是解决植树问题数学思想方法的渗透：猜想验证应用；二是解决植树问题策略的渗透。我们遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测是否正确，可以先用比较简单的例子来验证，从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题，最后联系实际生活，解决实际生活中运用植树问题思想方法解决的问题，将数学问题生活化，体现生活数学的教学理念。2、初拟学习内容确定研究课题后，研究小组首先采用同课异构的方式进行了分组备课，再将各教研组的教学设计汇总讨论，在讨论的基础上由第一轮授课的教师根据自己的授课风格形成第一轮授课的教学预案：情境导入环节通过介绍植树英雄杨善洲老人进行情感教育，激发学生学习兴趣；探究环节首先借助例题创设有效问题情境，学生独立思考，引发猜想；然后借助操作材料：泡沫条当小路，用自制小树体验植树过程，发现规律，最后运用规律，验证猜想；拓展训练环节围绕植树问题，加强数学模型的变式应用训练；最后针对植树问题进行课堂延伸，介绍数学世界三大难题之一的“二十棵树问题”。3、设计课堂前测1、在全长5米的小路一边植树，每隔1米栽一棵（两端都栽），能栽几棵树？请你画出示意图。2、如果在全长20米的小路一边植树，每隔1米栽一棵（两端都栽），能栽几棵树？请你列式解答。3、有9个同学站成一行做操，每两个同学之间有1米，9个同学之间一共有多少米？请你列式解答。接下来我们对学生进行了前测和访谈。课堂前测的目的是为了了解学生对植树问题的已有认识及认识水平。经过讨论确定了课堂前测的两个方面：一是测试学生能否通过画示意图找到答案；二是了解学生能否迁移第一题通过画图对植树问题形成的认知以及画图解决问题的方法列式计算解答第二、三题。最终测试内容设定如下：选取高、中、低学业成绩的小学四年级学生各3名，共9名学生参加了课堂前测，测试结果总结如下表： 第一次前测情况统计题目第一题第二题第三题正确人数121百分比11%22%11%综合分析前测情况，学生能借助画示意图解决问题，对植树问题有一定的认知，但大多数学生对间隔数与棵数的关系认识不清晰，更不能灵活、合理运用到解题中，不会通过列式表达解题思路。这就提醒我们教学两端都栽的植树问题时要首先采取措施强化棵数比间隔数多1的认识，其次要运用变易理论引导学生构建植树问题的数学模型，再运用数学模型解决问题。4、课堂前测的修改通过第一次前测发现学生能借助画图解决问题，只是忘记将问题做总结性表述导致错误，而这并不是前测的目标，为了避免这一问题造成的困扰，将前测第一题改为画图填空方式；另外从前测访谈中了解到“每隔1米栽一棵”和“每两个同学之间有1米”的数学信息对学生有一定困扰，作为前测不合适，也对这样的数学信息进行了相应的修改。修改后的测试内容如下：1、在全长10米的小路一边植树，每隔2米栽一棵（两端都栽），能栽（ ）棵树。请你画出示意图，再填空。2、如果在全长100米的小路一边植树，每隔2米栽一棵（两端都栽），能栽几棵树？请你列式解答。3、有9个同学站成一行做操，每两个同学之间有2米，9个同学之间一共有多少米？请你列式解答。接下来的两轮教学都采用了这样的前测，前测情况如下表： 题目第二次前测情况第三次前测情况正确人数百分比正确人数百分比第一题667%889%第二题444%556%第三题444%667%这一前测结果使我们意识到：学生对植树问题的认识并不是空白，如何在学生对植树问题的已有认识的基础上使学生的认识有所提升是教学的重点，教学的目标绝不仅仅是会做植树问题的题目，更重要的是借助学生画图解决问题的已有功底制造认知冲突，渗透数形结合、化繁为简的数学思想方法，引导学生在解决植树问题的过程中掌握解决问题的方法，提升学生解决问题的能力。二、第二阶段：教学设计及三轮教学实践根据前测、访谈情况研究小组的教师开始教学设计：首先我们对教学内容进行了进一步的确认：学习内容关键特征情境导入激发学生学习兴趣，感知植树问题来源于生活。探究新知（1）联系生活实际，创设有效问题情境，引发猜想。（2）借助操作材料，渗透化繁为简的思想，探究规律。（3）运用规律，验证猜想。拓展训练（1）回顾数学模型：棵数=路长间距+1，同时聚焦变化点“小路两旁”。（2）引导数学模型变式：路长=（棵数1）间距；间距=路长（棵数1）。总结延伸针对植树问题进行课堂延伸。其次根据确定的教学内容及其关键特征，经过两次研讨会议确立了教学预案：情境导入环节通过介绍植树英雄杨善洲老人进行情感教育，激发学生学习兴趣；探究环节首先借助例题创设有效问题情境，学生独立思考，引发猜想；然后借助操作材料：泡沫条当小路，用自制小树体验植树过程发现规律，最后运用规律，验证猜想；拓展训练环节围绕植树问题，加强数学模型的变式应用训练；最后针对植树问题进行课堂延伸，介绍数学世界三大难题之一的“二十棵树问题”。最后确定了一位授课教师用三个循环在四年级分别教授研讨课，其他教师进行观察，每次授课结束后马上召开课后会议。在会议上首先授课教师进行教后反思，然后其他听课教师分享听课心得和观察结果。下面是三轮教学实践的教学设计、变易图式，以及授课教师、观课教师反思：1、第一轮教学实践（1）第一轮教学设计及变易的使用：情境导入：介绍2011年度感动中国人物杨善洲，杨善洲老人创造了使一座光山变成绿海的奇迹，留下的是一片绿荫和一种精神！借此激发学生的学习兴趣。探究新知：联系生活实际，创设有效问题情境，引发猜想：为了美化校园环境，学校准备在操场边上的一条100米长的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽） ，需要准备多少棵树苗？猜猜看。预设学生猜20棵或21棵。借助操作材料，渗透化繁为简的思想方法，探究规律：研究报告提供路长、间距，学生用泡沫条当小路与自制的小树模型操作植树，通过植树体验活动研究间隔数和棵数的关系，观察发现“棵数比间隔数多1”的规律。运用规律，验证猜想：1005+1=21（棵）拓展训练：在全长2千米的小路两旁栽树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共需要多少棵树苗？借此题回顾数学模型：棵数=路长间距+1，同时聚焦变化点“小路两旁”。园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵，从第1棵到最后一棵的距离有多远？借此题引导数学模型变式：路长=（棵数1）间距。园林工人在长2千米的小路一边栽树（两端都栽），一共栽了41棵，平均每隔几米栽一棵？借此题引导数学模型变式：间距=路长（棵数1）。总结延伸：这节课我们学习了植树问题，发现了植树的规律，并能运用规律解决生活中的实际问题。在数学世界有三大难题，“二十棵树问题”就是其中之一，有兴趣的同学可以在课余时间查阅相关资料。变易图式：关键特征不变变教学活动CF1独立思考，提出猜想，对比猜想结论。 需要解决的问题解题结论：20棵或21棵活动一：学生在独立解题过程中出现了两种猜想结论，造成认知冲突。CF2探究规律，验证猜想。间隔数=路长间距棵数=间隔数+1教师提供三组不同的探究事例活动二：借助操作材料，渗透化繁为简的思想方法，探究规律，验证猜想。CF3拓展训练，灵活运用。两端都栽的植树问题数学模型变式：棵数=路长间距+1路长=（棵数1）间距间距=路长（棵数1）活动三：通过拓展训练，提高运用规律解决问题的能力。（2）第一轮授课教师反思学生是学习的主体，我认为在教学的探究活动中让学生动手操作、亲身体验这一环节最能体现学生的主体地位。所以在第一轮授课中的探究活动环节我设计让学生分别用10厘米、20厘米、40厘米长的泡沫条当做小路，牙签当做小树动手栽一栽，以期通过动手操作得到正确的答案和结论。但是实践表明泡沫条具有一定的局限性，比如说当学生将两条20厘米长的泡沫条合成40厘米长的小路时，由于泡沫条的断口不齐或者学生之前操作不当将泡沫条损坏，学生就不能正确的操作。从而我们并没有完全达到探究活动的目的。只有部分学生得到了正确的答案，少数学生从三个正确的答案中归纳出植树问题中两端都栽的数学模型：棵数=间隔数+1。在授课之后我认为探究活动的方式需要改动，四年级的学生已经具备了基本的画图能力，可以将学生的动手栽一栽改为动手画一画，这也体现了本节课的数学思想方法数形结合。（3）第一轮观课教师反思伦孝荣老师：通过前测和访谈，我们发现孩子们分析植树问题时对间隔数和间距及棵数之间的关系不能很好的建立联系，感觉无从下手。我们分析认为孩子们由于对间距和间隔数这两个概念不理解，造成整体上对题意的不理解。间距是相邻两棵树之间的距离，间隔数是间隔的个数。这两个概念都和间隔有关系，一个是间隔的长度，一个是间隔的个数。怎样让孩子们对这些概念建立联系呢？我们一致认为利用课件演示生活中的多个间隔的例子，唤起学生的认知感觉。张老师执教过程中出现了路灯、成排的大树、线段图等例子，生动的画面让学生很好的理解了间隔数和间距的概念，为后面的学习奠定了基础。个人认为如果同时更多的出现排队、旗杆、锯木头、敲钟等植树问题的例子，学生能更好的理解间隔问题。并且只有让学生在这儿更好的理解点与间隔的关系，在今后的教学中才会明白为什么植树问题有三种情况。大王芳老师：作为一名从高中教学一线下来，走进小学课堂的一名年轻的老师，张丽丽老师在课堂上体现出了自己扎实的基本功。无论是语言的准确，对课堂的把控能力，还是跟学生之间的交流，都有较好地处理。导课部分，从我们熟知的人物杨善洲的事迹入手，利用手指和间隔的关系，引导学生明确，棵数和间隔数之间的关系。这是本节课的重点所在，教师利用实物、画图、多媒体等多种形式，帮助学生理解。在此基础上，利用所学解决问题。环节清晰，思路明确。如果在各个教学环节的过渡、语言的组织，跟学生的共识等方面再做进一步的雕琢，会让整节课有一个更高层次的感觉。小王芳老师：本节课的导入过于冗长，而且利用杨善洲进行导入没有起到好的作用，不能引起学生的共鸣。利用泡沫条进行的操作活动效果欠佳，关键是学生在操作中泡沫条的拼接造成了认识上的混淆，不如直接用线段图来解决更加适合高年级的学生认知特点。宋淑红老师：植树问题是一种情况较为复杂的问题解决，这一教学内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引领，也需要学生的自主探究。张老师执教的这一堂课，主线明朗清晰，目标定位准确，练习设计巧妙，主要表现在： 关注学生的学习起点，合理安排教学内容：植树问题应是两个大的方面，一是在直线上植树，二是在封闭图形上植树。直线上植树又有三种不同情况：两端都种、两端都不种、一端种一端不种，老师根据四年级学生的认知实际，选定将两端都种的情况作为第一课时教学，定位很准确，关注了学生学习的起点，符合中段儿童的认知规律。如果一节课将直线上植树的三种情况一起来探究学习，必然会造成知识容量大，学生学得累，掌握效果不佳的后果。联系生活实际，创设问题情境：教师通过介绍2011年度“感动中国”人物杨善洲，导入新课，激发学生学习兴趣的同时让学生感受到数学问题来源于生活实践。（杨善洲老人1988年从地委书记岗位退休后，主动放弃城市优越的生活条件，带领家人和群众扎根大亮山，义务植树造林20多年，逐步建成了占地面积约5.6万亩的大亮山林场，创造了使一座光山变成绿海的奇迹。杨善洲留下的是一片绿荫和一种精神！）在此基础上出示例1：为了美化校园环境，学校准备在操场边上的一条100米长的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。需要准备多少棵树苗？学生独立思考，对学生可能出现的猜想结论采用延迟评价方式，造成认知冲突，激发学生寻求可行性的方法验证自己的数学猜想。围绕数学模型设计变式练习，训练灵活应用能力：变式练习一：在全长2千米的小路两旁栽树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共需要多少棵树苗？（侧重检测审题能力）；变式练习二：园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵，从第1棵到最后一棵的距离有多远？（侧重检测数学模型变式应用能力：路长=（棵数1）间距）；变式练习三：园林工人在长2千米的小路一边栽树（两端都栽），一共栽了41棵，平均每隔几米栽一棵？（侧重检测数学模型变式应用能力：间距=路长（棵数1）。当然，本堂课也有一些值得商榷的地方，主要体现在以下几个方面：导课的有效性有待商榷：从植树造林英雄人物杨善洲导课对本节课教学没有太多实际意义，而且导课时间过长，造成后面的探究学习不充分，练习时间没有保障。探究的有效性有待商榷：探究应该是发自学生内心的一种探究欲望，而不是跟随老师探究的步伐，本堂课张老师似乎给学生安排好了探究之路，仅仅是让学生按照老师的预设进行探究，而不是学生根据自己的意愿进行真正意义上的自主探究。再就是根据中高年级段学生的思维特点和学习能力建议放弃操作材料，改用画线段图的方法探究植树问题的规律，引导学生抽象出数学模型。数学思想方法的渗透有待商榷：植树问题的教学应定位于通过数学活动，让学生感受数学的思想方法，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。因此数学体验活动是很重要的，特别是化繁为简的数学思想要让学生自己通过活动深切的感受到，而不是教师直接告知。刘新爱老师：优点： 注重了数学思想方法的渗透，以感知探究应用为主线，猜想、验证贯穿始终。例题设计降低了难度，符合学生的认知规律，通过改小数据，从简单例子入手研究，体现了复杂问题简单化的思想。总长一定多次更改间隔和间距，从不同结果发现棵数与间隔数之间的关系，应用了不完全归纳法得出了结论，建立了数学模型。不足：导课介绍感动中国十大杰出人物杨善洲的事迹，联系实际，体现了理论与生活相结合，但用时过长，影响了后面的教学。间隔、间距重点词语的解释不到位，导致学生到后面操作时还是不理解。田茂艳老师：以一道植树例题为载体，营造了突破全课教学重点及难点的高潮。先让学生尝试解答，对解答方法教师推后评价，引发学生“争议”，在“争议”中寻找教学的突破口，引导学生对想法展开验证，这充分关注了学生的思维起点，让学生经历猜想验证的研究过程并获得体验。老师关注到了数学思想方法的渗透，并引导学生使用了以小见大的思想方法，学生体会到了它的作用，但由于没有适时地回顾、总结所运用的思想方法，学生不知道运用了这样的思想方法，以致对这种思想方法没有充分的感知。曾书权老师：教师导课时，故事叙述费时太多，对后面的教学没多大用途，与知识联接不紧凑，“间距”概念的引出太突然，学生理解不到位，与“间隔数”概念混淆，教学过程，多数学生不能有效的解决问题，教师能够循循善诱，引导学生思考，从而体会化繁为简的思想。接着教师又指导学生通过小组合作去探究、验证植树问题的规律，进一步让学生深刻的体会化繁为简的思想与严谨规范的验证方法。张老师在这个过程当中让孩子利用泡沫条和牙签去模拟种树的过程，更形象更直观，也充分体现“教师以学生为主体，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”的教学理念。付小燕老师：这节课张老师在让学生用学具动手操作的过程当中，时间的消耗上面有点长，学生的注意力有点不集中，学生在操作的过程中注重的不是如何去种树，而是注意力放在了怎么样把牙签插在泡沫上，没有达到预期的目的。2、第二轮教学实践（1）第二轮教学设计及变易的使用： 情境导入：植树歌导入，激发学生兴趣的同时渗透概念“间隔”，初步感知间隔数与棵数（人数）的关系。在此基础上介绍学校一年一度的植树活动，再次激发学生研究植树问题的欲望。探究新知：联系生活实际，创设有效问题情境，引发猜想：为了美化校园环境，学校准备在操场边上的一条100米长的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽） ，需要准备多少棵树苗？猜猜看。预设学生猜20棵或21棵。借助画线段图，渗透数形结合、化繁为简的思想方法，探究规律：研究报告提供路长、间距，学生画线段图，借助线段图数出间隔数和棵数，观察发现“棵数比间隔数多1”的规律。运用规律，验证猜想：1005+1=21（棵）拓展训练：在一条全长2000米的街道两旁安装路灯（两端要装），每隔50米安一座，一共要多少座路灯？借此题回顾数学模型：棵数=路长间距+1，同时聚焦变化点“街道两旁”。同学们进行队列队形比赛，每列12名学生，每列的长度为22米。每两名学生之间的距离是几米？借此题引导数学模型变式：间距=路长（棵数1）。每两根旗杆之间的距离是3米，图中共有50根旗杆。从第一根到最后一根的距离是多少米？借此题引导数学模型变式：路长=（棵数1）间距。总结延伸：通过今天的学习，我们不仅发现了植树问题中两端都种的规律，而且还学习了一种研究问题的方法，那就是遇到复杂问题先从简单的问题入手。假如是两端都不栽或者只栽一端，植树的棵数和间隔数之间又有什么关系呢？变易图式：关键特征不变变教学活动CF1独立思考，提出猜想，对比猜想结论。 需要解决的问题解题结论：20棵或21棵活动一：学生在独立解题过程中出现了两种猜想结论，造成认知冲突。CF2探究规律，验证猜想。间隔数=路长间距棵数=间隔数+1教师提供三组不同的路长、间距作为探究事例活动二：通过画线段图，渗透数形结合、化繁为简的思想方法，探究规律，验证猜想。CF3拓展训练，灵活运用。两端都栽的植树类问题数学模型变式：棵数=路长间距+1路长=（棵数1）间距间距=路长（棵数1）内容变式：路灯、队列、旗杆等。活动三：通过拓展训练，提高运用规律解决问题的能力。（2）第二轮授课教师反思在第二轮授课中，我将学生在第二次探究活动中的动手栽树改为动手画图。我设置的路长分别是4米、6米、8米，间距为2米，大部分学生通过画线段图得到的间隔数分别是2个、3个、4个，棵数分别是3棵、4棵、5棵，并由此得到结论：棵数=间隔数+1。课后通过指导老师的提醒我们也发现了这次活动的不足之处：报告单中的“路长”、“间距”、“间隔数”、“棵数”“画示意图”的顺序错误，应该是“路长”、“间距”、“画示意图”、“间隔数”、“棵数”，因为学生是通过画示意图得到间隔数和棵数的结果。限制路长和间距是不合适的，学生画图时受到限制。应该放手让学生自己决定路长和间距，然后从不同的结果中找到相同的规律。学生亲身体验不够，我认为下次授课可以每人一张报告单，做到每个学生都亲身体验教学活动。（3）第二轮观课教师反思伦孝荣老师：通过听张老师讲课和赵老师的评课，我最大的收获就是知道斟酌教材的重要性。在备课的过程中必须认真仔细地读懂教材，理解教材安排的意图，合理的使用教材。结合本节课的教学内容，我分析一下教材安排的意图。教材一共用四幅图来呈现学生探索解决问题的讨论过程：猜想：遇到问题先进行合理的、大胆的猜想。验证：如何验证猜想对不对呢？学生根据课前的手指游戏想到可以从简单的情况入手解决复杂的问题。解决手段可以是画线段图，也可以根据手指理解。找规律：启发学生透过现象发现规律，也就是栽树的棵数比间隔数多1。运用规律：运用发现的规律解决复杂的植树问题。大王芳老师：从课堂来看，张老师又融入了新的想法。导课的调整，让人感觉眼前一亮。学生举的事例也很贴切，小组合作的学习方式，使得学习过程充满了乐趣，在充分的感知了间隔数和棵数的关系后，不同类型的实践应用，使得课丰满了很多。能感觉到，教师的授课水平有提升，课的设计及结构更为合理。小王芳老师：从植树的儿歌入手，引出间距、间隔和间隔数，并且结合学校的植树活动引出例题，在教学中渗透了复杂问题的解决从简单问题入手的数学思想理念。宋淑红老师：张老师这次的授课比第一次有了很大进步，语言简洁，概念理解透彻，教学环节清晰，注重了数学思想方法的渗透，主要表现在：植树歌导入，激发学生兴趣的同时渗透概念“间隔”，初步感知间隔数与棵数（人数）的关系。在此基础上介绍学校一年一度的植树活动，再次激发学生研究植树问题的欲望。探究环节能联系生活实际，创设有效问题情境。学习是一个过程，探究性学习更应是一个充满观察、实验、模拟和推断的过程。苏霍姆林斯基曾经说过：“自由支配的时间是学生个性发展的必要条件”。他所说的自由支配时间实际上就是学生自主学习的时间，本堂课上，张老师给了学生充分的自由支配时间，让学生自主地去探究，去验证自己的猜想，当学生的猜想与验证得到吻合时，张老师又给了学生足够的时间交流各自探究学习的结果，并在全班进行了展示和强化，让两端都种的情况深深地印在学生的脑子里。注重数学思想方法的渗透。本堂课力图体现化繁为简、数形结合、猜想验证的思想。对学生的猜想采用延迟评价的方式，为后面的验证埋下伏笔；引导学生通过研究简单事例发现规律，构建数学模型，体现化繁为简的思想，在探究过程中借助画线段图的方法，体现数形结合的思想。练习设计巧妙，既注重了数学模型的变式训练，又拓展了学生对植树问题的认识。课堂小结既有对本节课学习重点、探究方法的回顾，又有对下节课的延伸，延伸到两端都不栽和一端栽，另一端不栽的植树情况，使学生对植树问题的学习意犹未尽。此外还有两处略显不足：导课选用的植树歌略显幼稚，不太适用于中高年级段的孩子，而且用时10分钟，导课时间过长，导致后面的巩固练习时间不足。而且这一环节设计还导致棵数与间隔数的关系出示过早。建议直接用课前游戏手指游戏。探究过程中教师不能有效抓住学生的资源为教学服务，思想方法的渗透有效，但落实不够到位，特别是化繁为简的思想还是教师提出来的，不是学生通过实践活动深刻感受到的。建议研究报告单放手的力度再大些，另外将研究报告单的示意图一栏提到间隔数和棵数前面。刘新爱老师：和第一轮相比，这次课的思路更加清晰，教师语言简练准确，上一轮中出现的因各教学环节分配时间所限，教学重、难点处理上不够深入的问题在本轮中有较大的改进，课堂上能够将教学重、难点进行比较深入的、细致的研究，比较充分的发挥了学生的积极主动性，师生之间、 生生之间不时有思维的碰撞。优点：浅显易懂的手指间隔为新课作了巧妙的铺垫。课的导入，让学生看自己的手，从观察手的间隔得出：手指数=间隔数+1，使学生充分感受到数学问题来源于生活；在实践应用中，让学生说一说在我们生活中还有哪些问题类似于植树问题这样的现象，使学生再次感到生活中处处存在着数学问题；在练习中，也是通过解决生活中的数学问题，使学生感受到数学知识源于生活，用于生活，从而使学生深刻感受到数学的应用价值，激发了学生学习数学的兴趣。学生验证时采用了（画一画、摆一摆）等多种方案让学生自由选择，体现了教学的开放性，通过对比最佳方案（画线段图）更方便、简洁，能更好的体现渗透优化思想。不足：课堂小结可以拓展一下：学习了“两端都载”引出“一端栽树”、“两端不栽”的情况，为下节课做好铺垫，从而激发学生的求知欲。在教学中，教师如果能够抓住课堂的生成资源做进一步的处理，效果会更好。田茂艳老师：本节教学注重两个思想方法的渗透，一是学生在学习这节课之后，能明白解决类似植树问题的题目时，较好的方法是先画图，然后根据图来发现规律，用发现的规律再来解决问题，使学生学会了解决复杂的问题从简单情况入手的方法；二是让学生经历通过多组不同实例一起得出同一结论的过程，既体验“猜测验证结论”的数学思想方法，初步培养学生在研究问题时要有科学、严谨的态度。在练习中，放手让学生独立完成，汇报交流中引出认知冲突，“两边都栽”时求出一边的棵数后是否乘2，学生产生了思维的碰撞，生生之间不断完善自己的想法从而达成对知识的意义建构。学生之间的交流，碰撞出智慧的火花，取得了事半功倍的教学效果。建议学生完成报告单时，教师不用给出第一个例子，完全让学生去举例，要相信学生，大胆放手。曾书权老师：这一次张老师在课前导入的环节做了改变，从讲述杨善洲老人的事迹改为植树歌，虽然在视觉上给了孩子们更为直观的感觉，但是在这个环节上花费的时间有点过长，并且在刚开始老师让听植树歌并且让学生观察，学生都感觉到很茫然，不知道该观察什么。但是张老师也联系我们学校5年级的学生植树这个活动，也让学生们感觉植树就在我们的身边，也让孩子们体会到植树这个活动的重要性。在出示第一个例题后，张老师首先让学生找出例题中重要的数学信息，然后让学生猜猜需要多少棵树，在这个环节上，张老师只是让学生口答出多少棵树，没有让学生说说自己的思路，怎么得来的？如果在这个环节上让学生说出自己的想法，即使是错误的，我们也可以充分利用好这个错误的资源，让孩子体会到刚才那样的想法有什么不对的地方，进一步能够巩固正确的知识。在学生探讨的环节，也是做了一些改变，把表格里面的数改小了，目的也就是让学生更能体会到，我们是从简单问题入手来发现规律，从而利用规律来解决复杂的问题。在课的最后张老师带着学生一起回顾这节课，让学生体验遇到复杂问题先从简单的问题入手，让孩子们了解这种数学方法，以后在学习中要学以致用。付小燕老师：张老师在渗透了植树问题的几个关键词后，接着引入了植树歌，让学生边听歌边看视频，从视频中找数学问题，给了学生更为直观的观察方式，但是在这个环节有点浪费时间。而在引入例子之后让孩子猜猜需要多少棵树，张老师只是简单的让学生说出棵数，没有追问孩子是怎么思考，怎么得出这个答案的，而在黑板上也应该呈现出来，比如：1005=20，而得出的20不是棵数而是间隔数。张老师针对学生的解答应该给出正确的指导，对于孩子正确的回答应该给予适当的鼓励，这样才能激起学生回答的积极性。在验证猜想的这个环节当中，张老师是出示了“路长”和“间距”的数据，让孩子通过画图找出间隔数和棵数，在思维上有点约束孩子，应该放手让孩子自己举例子，那样验证的结果才能让他们更能信服。对于这节课的回顾，没有让孩子很好的体会到这节课的数学思想方法，老师应该在引导上下功夫，让孩子来回顾这节课的过程，对数学方法的产生过程更深刻。（4）专家（胜利教育管理中心教研室赵晓英老师）评课作为一位数学教师，语言上要严谨，张老师这点做得很好。并且课标的理念掌握得很好，作为一个青年教师，有些时候课标可能不一定在教学中把它落实为教学行为，也就是说理念和行为不一定一致。今天张老师有一点做得非常好，把数学回归生活，间隔是一个很抽象的概念，老师注意到让孩子们找找生活中的间隔，如：桌子、栏杆，还有一点就是植树，这是这节课的核心，张老师能把学校平时的德育活动放进来，当孩子们看到多媒体播放五年级的哥哥姐姐植树的画面，孩子们的热情好像瞬间就被点燃，这就是体现了理念和教学行为的一致。还有一个好的地方，我们能够看到老师在课堂上眼中有学生，有些时候老师只是按照自己预设好的教案进行，不管学生是什么样的情况，还是按照自己的来，眼里根本没有学生，这一点是很可怕的。课堂上就得需要交流，这个交流一定是师生之间的交流，老师不能自顾自的去完成这堂课，即使老师完成得很完美，这也不是一堂好课。在这堂课上，我们能够看出张老师是根据孩子的表现，孩子的回答来作出相应的解答。我们的课堂就是学生是主体，我们所要做的都是为学生的思考和发展去服务的。我们再来说说这节课的重点：首先要正确的解读教材、理解教材、用好教材。下面我们再来理理这节课，数学广角从一年级到五年级都是在向学生渗透数学思想，植树问题渗透了一个解决问题的思想方法，从简单问题入手来解决复杂的问题，也可以称之为“以小见大”，接下来看看这个思想方法的落实情况，通过这一节课的学习，孩子们在遇到类似的问题的时候会不会采用这种思想方法，这个我们可以通过后测来检验一下。数学广角主要是向学生渗透数学思想，目的有两点：一是让学生接触这个数学思想方法的同时，要经历猜想、验证的这个过程，让孩子们在经历这个过程的时候感受到兴趣；二是要让孩子们理解从数学的角度来解决问题。那么这节课中有一个数学思想是从简单的例子入手解决复杂的数学问题，我们看一下本节课的四个图，这中间经历了一个数学过程，我们看第一幅图中学生做出1005=20，说准备20棵树苗，所以当我们遇到问题，要让孩子先独立思考，给出自己的想法、猜测。第二幅图是说怎样猜测是正确的呢？怎么办呢？用简单的例子来验证！课本中学生采用的方法是画线段图，也就是数形结合，实际上还有别的方法，比如联系手指，5个手指，4个间隔。下一幅图告诉我们，用简单的例子验证后，要发现规律。最后一幅图是解决问题。今天这节课要渗透的数学思想是遇到复杂问题从简单例子入手。经历了这样的过程：遇到问题独立思考给出猜测，然后用简单的例子来验证，第三步在经过简单的例子验证后，要在这些例子中发现规律，第四步用这些规律解决复杂的数学问题。课本上的四幅图就给了我们这样的流程。3、第三轮教学实践（1）第三轮教学设计及变易的使用：情境导入：手指游戏导入，激发学生兴趣的同时渗透概念“间隔”，初步感知间隔数与手指数的关系。在此基础上介绍学校一年一度的植树活动，再次激发学生研究植树问题的欲望。探究新知：联系生活实际，创设有效问题情境，引发猜想：为了美化校园环境，学校准备在操场边上的一条100米长的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽） ，需要准备多少棵树苗？猜猜看。预设学生猜20棵或21棵。学生自主验证，制造认知冲突，渗透化繁为简的思想方法，确定研究方法：自主确定三组路长和间距，通过画线段图，探究棵数与间隔数的关系。借助画线段图，渗透数形结合的思想方法，探究规律：研究报告只提供探究项目路长、间距、示意图、间隔数、棵数，学生通过画线段图自主探究，观察发现“棵数比间隔数多1”的规律。运用规律，验证猜想：1005+1=21（棵）拓展训练：学校准备在操场边上的一条200米长的小路两边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。需要准备多少棵树苗？借此题回顾数学模型：棵数=路长间距+1，同时聚焦变化点“小路两边”。同学们进行队列队形比赛，每列12名学生，每列的长度为22米。每两名学生之间的距离是几米？借此题引导数学模型变式：间距=路长（棵数1）。每两根旗杆之间的距离是3米，图中共有50根旗杆。从第一根到最后一根的距离是多少米？借此题引导数学模型变式：路长=（棵数1）间距。总结延伸：通过今天的学习，我们不仅发现了植树问题中两端都种的规律，而且还学习了一种研究问题的方法，那就是遇到复杂问题先从简单的问题入手。假如是两端都不栽或者只栽一端，植树的棵数和间隔数之间又有什么关系呢？变易图式：关键特征不变变教学活动CF1独立思考，提出猜想，对比猜想结论。 需要解决的问题解题结论：20棵或21棵活动一：学生在独立解题过程中出现了两种猜想结论，造成认知冲突。CF2探究规律，验证猜想。间隔数=路长间距棵数=间隔数+1画全图验证猜想画简图验证猜想活动二：学生自主验证，制造认知冲突，渗透化繁为简的思想方法，确定研究方法。学生自主设定路长、间距作为探究事例活动三：借助画线段图，渗透数形结合的思想方法，探究规律，验证猜想。CF3拓展训练，灵活运用。两端都栽的植树类问题数学模型变式：棵数=路长间距+1路长=（棵数1）间距间距=路长（棵数1）内容变式：路灯、队列、旗杆等。活动四：通过拓展训练，提高运用规律解决问题的能力。（2）第三轮授课教师反思通过反思前两次授课，第三次授课的活动环节没有规定路长和间距。只提示学生尽量使用较小的数据，让每一位学生都参与其中。借助几何图形“画一画”，激发学生的学习兴趣。新课程要求教学中要关注学生的学习过程，注重学生的学习体验，尊重学生的个性思维，要充分发挥学生的的主体地位，让他们动脑、动手、合作探究，经历分析、思考、解决问题的过程。基于以上的认识，教学中我给学生足够的时间、空间、机会和权利，让他们自己去探索，去思考，去解疑，教师做好课堂的组织者和引导者，把课堂还给学生，使课堂生机勃勃。我充分放手，让学生自己去发现规律，给学生足够的时间去探究，去体验知识的形成过程，进而享受成功的快乐。（3）第三轮观课教师反思伦孝荣老师：本节课最大的一个亮点就是学习知识的同时，注意数学思想方法的渗透。数学思想方法是数学实施素质教育的一项重要内容，它在培养学生数学思维能力，提高学生的数学素质方面具有极为重要的作用。在教学中，数学知识是一条明线，得到数学教师的重视，数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。但数学思想方法渗透比交待知识更重要，因为这是数学的精髓和灵魂。教给学生思考方法、学习方法和解决问题的方法，为学生未来发展服务，让学生在脑海里留下数学意识，长期下去，学生将终身受用。植树问题属于解决问题范畴，所以在学习过程中重在建模，利用模型解决问题，而在建模的过程中体现了多种思想方法的渗透。我们一起回顾一下张老师的课，理一理本节课用到的思想方法。猜测验证：出示例题后学生尝试解决出现两个答案：1005=20和1005+1=21 。哪个答案对呢？师鼓励学生自己想办法验证。学生根据自己验证的结果提出自己的猜测：棵数=间隔数+1，后面通过表格自己设计路长、间距等数据验证结论，从而最后得出棵数=间隔数+1的正确结论。数形结合：植树问题中的间距和间隔数不好理解，学生往往读题后脑中一片空白，不知道题目的意思。张老师利用课件出示了多组生活中的图形理解概念，为学生把抽象的知识形象化。后面的探究棵数和间隔数的表格也要求学生画示意图，进一步利用数形结合的思想帮助学生理解题意。以小见大：本节课最重要的一个思想就是以小见大。当我们遇到复杂问题时，可以从简单问题入手思考，猜测得出结论并验证，最后运用规律解决复杂问题。验证猜测的结果时有的学生画了一段小路表示100米并平均分成20份；有的通过观察手指数和空格数的关系验证。当两种方法展现在同学们面前时发现后面的方法很简单实用。通过比较学生对以小见大的思想印象深刻，今后也会自觉地运用这种方法解决问题。大王芳老师：调整之后的课，环节清晰，能够清楚地看出教师引导学生经历学习的过程，建立模型，并解决问题。40分钟的时间，和学生共同在轻松愉悦的氛围中，经历设疑、探索、发现、验证、应用这些过程，对于师生来说，都是一件快乐的事情。在这样一个研究团队中，集体的智慧，个人的优势，相得益彰。小王芳老师：本节课的导入干脆利索，通过手指游戏让学生认识到间隔的含义，从简单问题入手来解决复杂问题的数学思想方法的渗透更为明了。教学的环节合理，能引导学生经历猜想验证的过程，建立植树问题的数学模型，做到了数形结合，建构了数学模型。在学生进行验证时，利用了表格的方法，但是应该放手让学生举例验证，这样才能更好地得出结论。宋淑红老师：教学通过手指游戏使学生初步感知间隔数与手指数的关系，在此基础上延伸至其他与间隔有关的生活现象：排队，植树，停车场，窗户护栏，电线杆等等。丰富的生活素材保障了学生对间隔这一概念的理解，但是考虑到课堂时间宝贵，这样的教学应适可而止，不宜花费太多时间。接下来呈现要解决的例1，放手学生独立思考，大胆猜想，老师通过采用延迟评价的方式设下悬念，激发学生探究欲望，导致学生在验证环节出现了两种验证方式：一种是把要种的树一棵一棵都画出来，通过数一数发现应该是21棵；一种是画了一条三个端点两个间隔的线段图证明棵数比间隔数多1，所以是21棵。这两种学生资源非常好，但是遗憾的是教师没能很好的加以利用，凸显化繁为简的数学思想，建议教师可以追问一句：如果是在1000米、10000米的小路一边植树，谁的验证方法更简单？随后教师给学生充分的时间完成研究报告，借助表格归纳出数学模型，抓住了数学的本质。但是教师对各环节学习的回顾不够及时到位，导致部分学生对为什么加1这一问题认识不够清晰，对化繁为简的思想方法的运用意识不强。建议以后教学中加强回顾教学。刘新爱老师：优点：在两轮授课的基础上进行了科学的调整，环节设计合理、清楚。通过教师的积极引导解决问题，从而建立植树问题的模型，并适时渗透了类比归纳、数形结合和以小见大的数学思想方法。教学很有成效。不足之处：第一环节找手的间隔数用时还有点长没有在有效的时间内完成教学任务。体现复杂问题从简单入手的必要性不突出，复杂问题简单化，从简单问题入手研究的思想如何渗透、体现？个人认为： 100米、 1000米的小路研究起来麻烦，应改为10米，20米，这样简单的数据，通过研究简单问题发现规律，构建数学模型，再进一步扩展到用字母表示数学模型，渗透代数思想，从而很好的体现数学思维过程。田茂艳老师：经过前两轮的研究，本节教学环节设计合理，实现了“建模利用模型解决问题”，较好的渗透了数学思想方法。本节教学重视画图，通过直观图来发现规律，实现了“数形结合”，用形来帮助学生解决复杂问题。让学生在解决问题的过程中体会到了“以小见大”思想的必要性。通过学生的研究报告单归纳、总结，在学生千变万化的数据中寻找不变的关系：棵数=间隔数+1，实现了变中求不变的教学真谛，实现了由具体到抽象的思维过程，抓住了数学本质，带领学生经历了数学化的过程。曾书权老师：张老师上课的思路非常清晰，她先提炼出数学模型（间隔数+1=棵数），最后将这一数学模型应用于生活实际。整堂课节奏紧凑，层层深入，学生在愉悦的氛围中引发了乐学的动机，在开放的课堂中提供了乐学条件，在活动的氛围中增加了乐学的体验。在上课过程中，猜想到验证的学生学习过程一直贯穿着整节课。上课伊始，对学生们进行环境保护教育，让学生意识到植树和生活有紧密的联系，而且植树中还藏着有趣的数学问题，激发学生的求知欲。导入新课后，让学生成为学习的主人，学生经历了猜一猜，试一试，画一画，填一填等多种学习形式，自主探究出规律。整个过程培养了学生的动手操作能力，自主探究能力，小组合作交流能力。学生自由选择方案，体现教学方法的开放性，在教师的引导下，学生很快地发现了规律，并构建起植树问题的数学模型，为下一节课的教学打下坚实的基础。在练习巩固环节，让学生运用新获得的数学知识来解决生活中的实际问题，让学生意识到生活中处处有数学，数学源于生活，又用于生活，激发学生的学习热情。付小燕老师：这是第三次听张老师的课，与前两次相比，张老师的这节课有了很大的变化。一是浅显易懂的生活原型拉近了数学与生活的联系：老师以“手”为素材引入植树问题，大有“平凡中见新奇”的效果，学生通过观察不仅发现手指数与间隔数之间的关系，也感受到了只要处处留心，用数学的眼光去观察周围的生活，就能发现在平常事件中蕴涵的数学规律，这便是一种数学思想的渗透。在学生探究出间隔数与棵数的规律后，出示生活中的植树问题，让学生自主解决，这样既培养了学生的数学应用意识，又让学生感受到数学与生活的密切联系。接着，让学生找找生活中的类似现象，在学生从具体生活中抽象出数学现象后，又再一次让学生运用规律解决形式各异的生活问题，使数学知识运用于生活，使学生深深地体会到数学的价值与魅力。二是注重学生的自主探索：教师在出示“为了美化校园环境，学校准备在操场边上的一条100米长的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。需要准备多少棵树苗？”例题后，没有说太多的话，只是让学生用自己的办法去进行尝试，自己去发现隐含的规律。这便是学习数学的重要方式“自主探索”，著名的数学家波利维亚说过“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现”。因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中内在规律的联系。三是关注植树问题模型的拓展和应用：植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的放大，它源于现实，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，老师加强了模型应用功能的练习，本课练习有以下两个层次：直接应用模型解决简单的实际问题。课堂上，安排学生自主完成知棵数求间距，知间距求棵数，让学生从正反两个方面出发，直接应用模型解决简单的实际问题。培养学生双向可逆思维的能力。推广到与植树问题相近的一些问题中，让学生进一步体会，现实生活中的许多不同事件，如排队、安装路灯等都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义。（4）专家（东营市教研室郭子平主任）评课首先郭主任对本课中能够使用的数学思想方法进行了梳理：猜测验证：通过1个例子得到棵数和间隔数之间的关系，这个结论成不成立需要枚举的方法验证。数学中的归纳方法有枚举归纳、类比归纳。这里采用的是枚举归纳。数形结合：运用直观的图形理解抽象的数量关系。数和形两者是相辅相成的。运用图形的直观理解数量关系，运用数量关系认识图形。以小见大：一定要让学生体会到以小见大的优越性。其次郭主任引导大家对整节课进行了回顾：第一块：数手的间隔数、电线杆的间隔数、树的间隔数，充分感知间隔、间隔数，设计不错，但用时太多，以至后面关键问题没有时间。这块只要学生能知道间隔、间隔数就行，可随着教学的深入，也就是出来模型以后再让学生认识。这块想着是丰富学生的认识，但保证在有效的时间内完成教学任务，举一个例子即可，学生只要了解就行。设计意图很好，建议用时少一些。第二块：“在操场边上的一条100米长的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。需要准备多少棵树苗？”有两个学生用不同的方式去表达，教师处理