初中数学数学名师弗雷格.docx

弗雷格弗雷格，FLG(Frege，Friedrich Ludwig Go-ttlob)1848年11月8日生于德国维斯马(Wismar)；1925年7月26日卒于巴德克莱茵(Bad Kleinen)数学、逻辑学、哲学弗雷格出生的年代正值德国民主革命开始维斯马是一个远离德国政治中心的小商业城镇，革命风潮对这里影响很小弗雷格出生在一个信奉路德教的中产阶级家庭，在血统上是混杂的(部分是德国的，部分是波兰的)其父亚历山大弗雷格(AlexanderFrege)开办了一所女子学校他去世后这所学校就由他妻子来管理1869年，母亲奥古斯特弗雷格(Auguste Frege)送弗雷格到耶拿大学就读当时弗雷格就把数学作为自己的主要兴趣，但也选修了化学、物理和哲学他的老师数学家、物理学家E阿贝(Abbe)及时发现了他的才能，成为他毕生信念的支持者在阿贝的帮助下，他离开耶拿，来到格丁根大学继续深造1873年，在数学家E谢林(Schering)的指导下，弗雷格以论文“论平面上虚影的几何图形”(Ueber eine geometrische Darstellung derim ginaren Gebilde in der Ebene)获得哲学博士学位该论文通过对平面上虚影图形性质的讨论，阐明了几何学基于直觉的观点他在格丁根还参加了著名哲学家RH洛采(Lotze)的讲座洛采的逻辑观念，特别是他对纯逻辑的看法，对弗雷格逻辑思想的形成有着重要的影响弗雷格在格丁根大学获得博士学位之后，又回到耶拿大学在阿贝的帮助下，他于1874年以论文“基于量值概念外延的演算方法”(Rechungsmethoden，die sich auf eine Erweitung desGr ssenbegriffes gr nden)获得了无薪大学讲师的资格在这篇论文中，弗雷格提出了用于运算的量值概念，并断言算术真理产生于量值概念1879年，弗雷格的概念语言问世之后，他又一次在阿贝的推荐下成为耶拿大学的编外教授1896年成为荣誉教授弗雷格在耶拿大学执教40余年，讲授过数学的各分支学科及有关的逻辑系统，举办过“概念符号”讲座，他一直致力于数学基础、数学哲学和逻辑理论的研究1918年退休弗雷格首先是作为一位数学家和逻辑学家而闻名于世的他在数学上的主要成就，是使自CF高斯(Gauss)以来所建立的数学体系更精确和完善，确立了算术演算的基本规则他第一个建立了初步自足的命词演算系统和量词理论，首次提供了现代意义下的数理逻辑的一个体系，因而成为数理逻辑的奠基人他提出数学可以化归为逻辑的思想，成为逻辑主义的创始人弗雷格还是一位杰出的哲学家他的绝大部分著作都具有明显的哲学特征他认为：“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家”他直接把传统哲学对思维内容和认识能力的探讨，转向对语言表达形式和语言内部框架的考虑他认为对语言意义的分析，是哲学研究的主要任务弗雷格对哲学任务的重新规定，标志着当代西方分析哲学的开端因此他被誉为当代分析哲学的真正奠基者弗雷格的主要著作有：概念语言、算术的基础、函项与概念(Function und Begriff，1891)、论意义和所指( ber Sinn und Bedeutung，1892)、论概念和对象( berBegriff und Gegenstand，1892)、算术的基本规律12卷(以下简称基本规律)弗雷格的科学生涯大致可以分为五个时在第一个时期，弗雷格主要从事纯逻辑的研究其研究成果总结在1879年出版的概念语言中用数学方法研究逻辑问题，一般认为是由GW莱布尼茨(Leibniz)提出的文字学设想开始他提出过有关思维演算的思想莱布尼茨的这种先驱性想法没有及时得到应有的发展在淹没了一个世纪之后，19世纪英国的两位数学家A德摩根(De Morgen)和G布尔(Boole)用代数的方法建立了逻辑代数但这种逻辑代数与亚里士多德(Ar-istotle)的形式逻辑本质上是相似的在18741879年间，弗雷格攻读了布尔学派和一些哲学逻辑学家的著作除上文提到的洛采外，18世纪德国哲学家A特伦德伦堡(Trendelenburg)的著作对弗雷格也有较大的影响通过特伦德伦堡的工作使弗雷格了解到莱布尼茨关于逻辑语言的观点弗雷格还追随特伦德伦堡，把他的逻辑符号系统称作“概念语言”弗雷格用心研究莱布尼茨和I康德(Kant)的逻辑学和数学哲学方面的著作，有选择地接受了两位哲学家的思想在弗雷格晚年，他是这样描述自己的研究动机的：“我开始是搞数学在我看来，这门科学急需更好的基础：语言逻辑的不完善对这种研究是一种障碍我在概念语言中寻求弥补所以，我就从数学转向了逻辑”经过5年的沉思，弗雷格完成了一部划时代的著作概念语言在这本书里，弗雷格把从洛采和特伦德伦堡，以及从莱布尼茨和康德那里得到的观点，变成一种全新的逻辑这本不足80页的小书是弗雷格的不朽之作弗雷格在此建立的逻辑有效地终结了亚里士多德逻辑两千多年来一直占据的统治地位，完成了始于几百年前G伽利略(Galilei)破除亚里士多德物理学的进程在概念语言中，弗雷格创造了一种表意的语言，即“纯粹思想的语言”正如他在这本书的副标题中所说它可以使我们完全精确地表达判断的概念内涵弗雷格认为，真理分为两种，一种真理的证明必须以经验事实为根据，例如物理学中的定理另一种真理的证明似乎可以纯粹从逻辑规律出发他认为算术命题就是属于后一种的在探讨如何根据思维的逻辑规律经过推理以得到算术命题时，必须绝对严格，要防止未被查觉的直观因素渗入，因此必须使推理过程没有漏洞他觉得日常语言是表达严密思想的障碍当所表达的关系越复杂时，日常语言就越不能满足要求因此他创造了这种概念语言他说，用这种语言进行推理，最有利于觉察隐含的前提和有漏洞的步骤这种语言和日常语言相比，就好像机械手和人手相比，或者像显微镜和肉眼相比一样利用这种语言，弗雷格成功地构造了一个严格的逻辑演算体系下面简要介绍一下弗雷格逻辑演算的内容1弗雷格严格区别了命题的表达和断定他认为，我们只有能够表达一个思想，理解一个思想，才能对它加以断定他引进断定符号“”“”表示“是被断定的”其中垂直短线“”称为判断短线，水平短线“”称为内容短线“”是一个整体，它只表达可断定的内容，即命题的表达而“”才表示命题的断定如“”表示“不同的磁极相互吸引”这一断言，而“”只是表达了不同磁极相互吸引这一思想，而对这一思想的正确性没有任何判断2弗雷格明确提出真值蕴涵的思想并指出它与日常语言的区别他采用否定和蕴涵作为基本的逻辑联结词他用小竖线“ ”放在内容短线下面表示否定“”表示“非”符号 表示“蕴涵”他列举了和的四种可能的真值组合：(1)肯定，肯定；(2)肯定，否定；(3)否定，肯定；(4)否定，否定用符号“ ”表示以上第三种可能不实现而其余三个可能性中的每一个都可实现弗雷格说，当为真时，蕴含常可被断定，在此情形下，可以是任一命题，其具体内容完全无所谓和不必有因果关系，与日常语言中的“如果则”不同3弗雷格引进一个内容同一的符号设和为任意名称，即不一定是命题记号，他规定，“()”的意思是“名称和名称有相同的概念内容，使得总是能由替换，反之亦然”他还指出，由他的新符号所联结的名称不仅代表它们的内容而且代表名称自身后来，他改用符号“=”，“=”不被看成两个名字之间的关系，而是看成名字的指称之间的关系“=”用于专门的指称，相当于等词；用于命题的指称(真值)，则相当于现在的等值符号4弗雷格把数学中的函数概念引入逻辑演算，从而建立了量词的理论他采用变目和函项两个术语，表示变目，记号()表达变目的一个不确定的函项记号(，)表达按顺序所取的两个变目和的一个函项假定如下一种函项：当它由变目填满时，它表达可能的判断内容于是，“()”读作“有性质”，“(，)”读作“与有关系”弗雷格使用这种符号的主要优点是，它能够比普通语言所提供的方式更令人满意地表达一般性在此基础上，弗雷格引进了全称量词和存在量词表示“不管怎样取函项的变目，函项总是一个事实”即“凡a都是在这里，全称量词是基本概念，存在量词则通过全称量词而表达为它表达“至少有一个a是”5弗雷格建立了9条公理，用现代的符号表示为：(1)a(ba)，(2)(c(ba)(cb)(ca)，(3)(d(ba)(b(da)，(4)(ba)(a b)，(5) aa，(6)a a，(7)(c=d)(f(c)f(d)，(8)c=c，公理以外有四条变形规则：(2)代入规则，弗雷格使用了但没有严格地陈述假定a并不在表达式中出现，而且a仅处于(a)的变目空位中a不在和中出现，(a)中的a只处于变目空位中事实上，这条规则是第三条规则的推广弗雷格在上述公理和规则的基础上，进行了大量的推演，成功地构造了一种基本自足的逻辑演算，从而给出了历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统现代的逻辑系统它实质上包含了作为现代数理逻辑基础的两个演算系统命题演算系统和一阶谓词演算系统不幸的是，弗雷格这本划时代的小册子被数学家和哲学家们忽视了他在概念语言中建立的新逻辑没有马上被人理解其中使用复杂而陌生的符号来表达新奇的概念，确使读者望而生畏德国数学家E施罗德(Schrder)发表长篇文章，对该书进行全面批评事实上，直到BAW罗素(Russell)1901年开始发现弗雷格著作的价值之前，概念语言几乎没有读者概念语言出版之后，弗雷格的创造生涯进入第二时期在这一时期，弗雷格开始形成逻辑主义的观点在最初几年，他由于自己的著作没有受到重视而大受挫折，没有发表任何作品但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲学和数学观点，并逐渐形成了他的数学哲学的三个主要原则：第一，他反对在数学基础问题上的经验主义，否认数学来源的经验基础，强调数学真理的先天性；第二，他认为数学真理是客观的，这种客观性基于数学的非经验的基础在他看来，客观性是思想的必要条件；第三，他主张一切数学最终都可化归为逻辑，数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念，数学公理可以从逻辑原则中得到证明这第三条原则后来被罗素作为逻辑主义的基本主张而广为传播，弗雷格因此成为逻辑主义的创始人之一弗雷格在算术的基础中力图作为逻辑的延展去建立数学为此，首先要从逻辑推出算术为使大家能够理解他的著作，他对自己的观点及关于数和算术所流行的各种哲学观点作了非形式的说明然后他指出，要从逻辑推出算术，首先必须给出数和自然数的定义弗雷格接受他的前辈的观点：所有大于1的自然数可由指出它们的前趋即用“2=1+1”，“3=2+1”一类等式来定义但他认为，这些定义是不完全的，因为使用了“数1”和“加1”这两个未定义的概念他考察了从欧几里得(Euclid)到G康托尔(Cantor)以来的许多数学家的著作，发现关于数的定义是相当混乱的他指出在此之前所见到的一切关于数的定义都含有基本的逻辑错误他说：“数是什么？这是一个最根本的问题如果我们对这个问题都不能做清楚的回答，岂不是一个笑话？”又说：“数学的本质就在于，一切能证明的都要证明，而不是通过归纳法来验证因此，我们也应考虑如何来证明关于正整数的命题”弗雷格发展了概念语言中关于数学序列的理论在那里他用“遗传性”定义了“y属于从x开始的f-序列”和“y是x的f-后裔”，为自然数的定义和说明数学归纳法作了理论和技术上的准备弗雷格给出的自然数的定义的核心在于使用了“一一对应”的概念：属于两个概念F和G的对象借助于关系一一对应，如果(1)每一个属于概念F的对象对于属于概念G的一个对象，有关系；(2)对于属于概念G的每一个对象，存在一个属于概念F并与前者有关系的对象；(3)对所有x，y和z而言，如果x对y和z有关系，那么y和z就是同样的；(4)对所有x，y和z而言，如果x和y对z有关系，那么x和y就是同样的弗雷格在此基础上构造了以下三个定义：(1)“概念F与概念G是等数的”与“存在一个关系，使得属于概念F的对象与属于概念G的对象一一对应”其意义是相同的(2)属于概念F的数是“与概念F等数”这一概念的外延(3)“n是一个数”与“存在一个概念使得n是属于它的数”其意义是相同的接着他又定义了“n在自然数序列中是m的直接后继”：“存在一个概念F和一个归于它的对象x，使得属于概念F的数是n，属于概念归于F但不同于x的数是m”这实质上是后继函数的定义在这些工作的基础上，弗雷格取0作为数列的起点，提出如下定义：0是属于概念“不同于自身”的数，1是属于概念“同于0”的数，2是属于概念“同于0或同于1”的数，3是属于概念“同于0或同于1或同于2”的数，可见，1在自然数序列中是0的直接后继，2在自然数序列中是1的直接后继，等等事实上，弗雷格所用到的“一一对应”概念与康托尔所谓的集合的“等价”意义是一样的，弗雷格指出，他的数与康托尔理论中集合的“势”或“基数”是相同的两个概念同数，就是两个集合等价概念“与概念F等数”的外延，就是与集合F等价的一切集合构成的集合所以弗雷格实际上是把数定义为集合的集合，或类的类利用康托尔的语言，概括弗雷格关于数的定义：(1)一个集合的基数是所有等价于它的集合的集合(2)0=df(空集合的单元集)1=df02=df0，13=df0，1，2弗雷格的后续函数的定义实际上是说：后续函数把等价集合的集合m映射到一个新的集合的集合(m)(即n)，(m)中的每一个集合是由在m中的某一个集合加上一个新分子而得到 由此可见，自然序列中的每一个数，有一个直接后继的数这样，自然数就由0和后继函数而确定下来有逻辑学家评论，弗雷格的这个定义系统是哲学技巧中极其卓越的成就人们也很容易理解，为什么弗雷格认为他至少使得算术化归为逻辑是可能的在算术的基础的最后几页，弗雷格指出，其他类型的数，也可以用类似的方式加以定义实数和复数同样可以刻画为概念的外延在基本规律的第二卷中，他阐明了这个方案是如何实施于实数的康托尔在1884年也给出数的定义，但弗雷格的定义比康托尔的更为精确弗雷格从逻辑出发定义了数和自然数，他对自然数的归纳定义也是对数学归纳法的最好说明他认为，借助于上述定义，自然数的概念就被化归成了逻辑的概念；自然数的理论则可以借助于上述定义和逻辑得到建立，这样，算术理论就被“逻辑化”了弗雷格在他的第三时期集中精力写作基本规律原计划写三卷，实际上只完成两卷(1893，1903)弗雷格准备在这部专著中，从逻辑出发去展开除了几何学以外的全部数学他认为，逻辑的原则是完全可靠的，一旦完成了上述工作，数学“就被固定在一个永恒的基础上了”1893年，出版了基本规律第一卷，它是算术的基础的理论的严谨发展，书中改进了概念语言符号系统，提出了不同的公理，阐述了高阶谓词演算从概念语言到基本规律，弗雷格的逻辑发生了三个主要变化：(1)他在自己的系统中加上了函项的值域这一概念；(2)区分了意义的两个方面，即“所指”和“意义”；(3)更为严格地规定了与对象相对的函项的性质，明确提出了“第一层函项”和“第二层函项”的区别第一层函项就是以前所定义的函项，其变目是对象，第二层函项就是函项的函项，其变目是函项，例如在M(F()中，M就是第二层函项，其变目是F弗雷格还把概念分为第一层概念和第二层概念这些逻辑上的变化在基本规律第一卷之前的5篇文章中就已经提出并作了解释 弗雷格在基本规律第一卷中建立了另一个逻辑系统二阶谓词演算，提出了新的公理他用xF(x)代表F(x)的值域，例如，若F(x)表达“x是人”，则它的值域xF(x)就表达“人类”他还引进代表定冠词的函项符号x如xF(x)读为“那个具有性质F的x”用现在的符号表示弗雷格的新公理如下：在这个新系统中，除分离规则和代入规则之外，弗雷格还把原来系统的一些公理和定理作为新的推理规则在这一系统中处理了命题演算，谓词演算，类理论和关系理论，更重要的是进行了推导算术的工作基本规律第一卷出版后，再次受到冷遇只有G皮亚诺(Peano)在1895年作了评述，但他对这本书的内容没有足够的理解这再一次使弗雷格深感痛苦然而，弗雷格并没有放弃自己的目标，他继续撰写基本规律第二卷，其中主要论述实数的理论，并用较多的篇幅批评当时流行的观点但是，弗雷格并没有完成他的计划因为要理解数学科学的性质，除了算术以外，还必须考虑无穷集合的理论集合论弗雷格没有深入研究集合论，没有接触到关于无穷集合的各种问题，特别是悖论问题1902年，正当弗雷格等待基本规律第二卷付印的时候，他收到了罗素6月16日写给他的信信中首先称颂他的工作：“就我所知，您的工作是我们时代中最好的”“在许多具体问题上，我发现您的著作都进行了讨论、区分和定义，这使其他逻辑学家的工作黯然失色”具有讽刺意味的是，罗素的来信既标志着弗雷格的工作开始得到承认，也宣告了他的独创性工作的终结因为罗素在他的信中接着写道：“只有在一点上我遇到了困难，由于下述矛盾：令W为不能论断自身的谓词的谓词，W可以论断自身吗？每种回答都隐含着它的否定，因而人们必须得出，W不是一个谓词同理，没有不包含自身的作为整体的类的类由此我得到，在某种条件下，一个可定义的集合没有构成一个整体” 罗素当时并没有完全认识到他的发现是怎样严重地威协着弗雷格的逻辑主义纲领但是，弗雷格本人毫无疑问地认识到这个矛盾的潜在致命力他对罗素来信的反映迅速而强烈，他马上复信15：“您发现的矛盾引起了我极大的震惊，我几乎可以说是惊愕不已，因为它动摇了我建立算术基础的企图，我的基本规则第二卷看来是有缺陷的我无疑要补充一个附录，对您的发现作出论述”在1903年，弗雷格出版了带有一个后记(写于1902年10月)的基本规则的第二卷他在后记中不无悲哀地写道：“对于一个科学工作者来说，最不幸的事情莫过于：当他完成他的工作时，发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了正当本书的印刷接近完成之际，伯伦特罗素先生给我的一封信使我陷入这种境地这封信是关于我的公理V的问题我本人从来没有掩盖这条公理缺乏其他公理所具有的并必为逻辑规律所正当要求的自明性成为问题的恰恰不是我建立算术的特殊方式，而是算术是否完全可能有一个逻辑基础”弗雷格的第四时期是在极度消沉中度过的这一时期长达十几年最初，他相信能有补救的办法使他的系统避免矛盾他首先提出一种设想：可能有一些概念没有相应的类然后他用修改第公理的办法来阻止罗素悖论的衍生但是，后来逻辑学家的工作证明，他所做的努力并不足以使他的系统避免不一致他还打算论述集合论的逻辑悖论(1906)经过几年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能够找到解决矛盾的办法虽然他没有公开放弃自己的主张，但也不再做进一步的努力至到1918年，弗雷格才彻底放弃把算术化归为逻辑的一切希望，放弃了基本规律第三卷的写作计划从此以后，他又进入了新的研究时期他的研究兴趣仍在数学基础上，并很自然地转向几何学，提出了几何学是整个数学的基础的主张弗雷格在1903年以后发表的论著很少虽然弗雷格的逻辑主义纲领没有实现，但是