2012高三模拟考试数学试卷.doc

班级 姓名 学号 考试证号创新学校20112012第二学期高三模拟考试数学试卷一、填空题 （14小题，每小题5分，满分70分）1、已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。2、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 。3、求值 。4、不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。5、已知函数y=f(x)是奇函数，当时，。设f(x)的反函数是y=g(x)，则=_。6、已知函数，那么=_。7、方程_。（结果精确到0.1）8、三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6、4、3，则它的体积等于 。ABCDA1B1C1D19、椭圆 的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是 10、如右图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）。11、满足条件且的角的集合为_.12、若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为_cm。13、定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列且，公和为5，那么的值为_，且这个数列前21项和的值为_。14、是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：（1），（2），（3），（4）。以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题_。二、解答题：本大题共6小题,满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本题满分14分） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1） 将y表示成x的函数； （2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。16.（本题满分14分） 有一个项数为10的实数等比数列, 表示该数列的前项和. （1）当时,若成等差数列，求证也成等差数列； （2）研究当时, 能否成等差数列,如果能，请求出公比；如果不能，并请说明理由.17.（本题满分15分） 设函数且是奇函数. （1）求实数的值； （2）若，且在上的最小值为，求实数的值.18.（本题满分15分） 如图，过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，xyPBARQOF1F2点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点，OPAB （1）求椭圆的离心率e； （2）过右焦点作一条弦QR，使QRAB若的面积为，求椭圆的方程19.（本题满分16分） 四川汶川抗震指挥部决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内. （1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，所用材料费为，试用表示； （2）简易房面积S的最大值是多少？并求当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？20.（本题满分16分） 已知,函数. （1）当时，如果函数的最大值为，求的取值范围; （2）若对有意义的任意,不等式恒成立，求的取值范围； （3）当在什么范围内取值时，方程分别无实根？只有一实根？有两个不同实根?数学附加题21、（选做题）本题包括A、B、C、D四个小题，请选择其中两小题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。ADPCOEBF图2A如图2所示，与是的直径，是延长线上一点，连交于点，连交于点，若求证：B矩阵变换，已知矩阵，求矩阵M的特征值与特征向量C圆与椭圆有公共点，求圆的半径r的取值范围D解不等式22如图所示在直角梯形OABC中CBAOSNM点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3，以OC,OA,OS所在直线建立空间直角坐标系(1) 求异面直线MM与BC所成角的余弦值； (2) 求MN与面SAB所成的角的正弦值 23盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各张，从盒子中任取张卡片，按张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量的概率分布和数学期望；（3）计分不小于0分的概率数学参考答案一、填空1、解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，。2、分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，从而。3、解：，构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而所以可得结果为。4、解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，。5、解：f(x)是奇函数，设x0，则。6、解：本题特征是：故原式7、解：由已知，。而，又结果需要精确到0.1，所以当x=2.6时，故填。 8、 解：设三条棱长分别为，则。 得。9、解：构造圆x2y25，与椭圆 联立求得交点x02 x0（ ，）10、解：因四棱柱为直四棱柱，故为在面上的射影，从而要使，只要与垂直，故底面四边形只要满足条件即可。11、错解：， 。检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次，要角的取值注意要用集合表示，故正确的答案为12、解：当大长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、6cm时，其对角线长为cm。当大长方体的长、宽、高分别为5cm、8cm、3cm时，其对角线长为cm。当大长方体的长、宽、高分别为10cm、4cm、3cm时，其对角线长为cm。综上，大长方体的对角线最大为cm。13、解：由定义及已知，该数列为2，3，2，3，所以。14、解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：A B C x 二、解答题：本大题共6小题,满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15. (本小题满分14分)解法一:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.解法二: （1）同上.（2）设,则,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设0m1m2160,因为0m1m24240240，9 m1m29160160所以,所以函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数，所以当m=160取”=”,函数y有最小值,所以当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.16.（本小题满分16分） 解: 当 时,由得.则不成等差数列. 当时, 由得,即也成等差数列 （2）当时，如果成等差数列，则由得，当时显然不成立. 当时, ,得到关于的方程: 下面证明上述方程无解:当时,方程无解;当时, ,方程无解;当时, ,方程无解;综上所述:方程无解. 即,假设成等差数列是错误的, 不成等差数列.当时，如果成等差数列，则由得，当时显然不成立;当时, ,得到关于的方程,分解因式得: 或(舍),综上所述: 当时,当,不成等差数列; 当,成等差数列. 17. ( 本小题满分15分 )解:（1） 为奇函数， ， ， （2） ， ，即， 或（舍去） 令， ， ， ， 当时，当时， ，当时，当时，(舍去) . 18. ( 本小题满分15分 )解：（1），OPAB，解得：b=c，故（2）由（1）知椭圆方程可化简为易求直线QR的斜率为，故可设直线QR的方程为：由消去y得：，于是的面积S=，因此椭圆的方程为，即19（本题满分16分）解：(1),即 ，且 ;由题意可得： ； 当且仅当取最大值 ;答：简易房面积的最大值为100平方米，此时前面墙设计为米. 20（本小题满分16分）解：（1）函数的图像开口向上，函数在或处取得最大值，则，得：.(2) 等价于,其中,即: 由，,令，得，当 时，当；， .(3) 设,其中.观察得当时,方程即为: 的一个根为.猜测当时方程分别无根,只有一个根,有且只有两个根.证明: ,等价于: 此方程有且只有一个正根为, 且当时,; 当时,函数只有一个极值. 当时, 由(2)得恒成立,方程无解.当时, ,则, 当且仅当时,此时只有一个根当时, 关于在递增,18 ., 则方程必有且只有两个根。附加题21、（选做题）本题包括A、B、C、D四个小题，请选择其中两小题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A如图2所示，与是的直径，是延长线上一点，连交于点，连交于点，若求证：ADPCOEBF图2证明： B矩阵变换（本题满分10分）已知矩阵，求矩阵M的特征值与特征向量解：矩阵M的特征多项式为分令得矩阵M特征值为：分将=4代入方程： 可得矩阵M属于特征值4的特征向量为分同理属于特征值-1的特征向量为分 C圆与椭圆有公共点，求圆的半径r的取值范围解：将代入圆方程得=于是D解不等式解：()当x-2时,得-(2x-1)-(x+2)4得,此时不等式无解；()当-2x，得-(2x-1)+(x+2)-1,；()当x时，得(2x-1)+(x+2)4,得综上原不等式的解集为(1,1)22如图所示在直角梯形OABC中CBAOSNM点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3，以OC,OA,OS所在直线建立空间直角坐标系(3) 求异面直线MM与BC所成角的余弦值； (4) 求MN与面SAB所成的角的正弦值解(1)根据题意可得: 解：如图建系，则S(0,0,1) C(2,0,0) A(0,1,0) B(1,1,0)所以N (1,0,0) M(1) (2)设平面SAB的一个