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数学分析选讲复习资料参考答案一、选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：1、下列命题中，正确的是： A、若在点连续，则在连续； B、若 在上连续；则对在上连续； C、若是初等函数，其定义域为，则在有界； D、函数在点连续的充要条件是在点的左、右极限存在.答：（ B ）2、当时，以B为极限，则A、存在满足有;B、有；C、存在，使不以B为极限；D、时，的极限存在.答：（ B D ）3、设函数在上连续，则在上有A、；B、；C、；在上单调；D、在上未必有最大值.答：（ B ）4、设级数收敛，则A、 当时，. B、有界；C、绝对收敛； D、 未必存在答：（ AB ）5、若数列满足，则下列说法正确的是（ B ）A、 当时，都有。B、 当时，都有。C、 当时，都有。D、 当时，都有。6、下列定积分为0的是 （ C ）A、 B、 C、 D、7、设定义在上，且在上连续，则（ AC ） A、在可积； B、在上连续；C、对在上连续； D、在上有界。8、下列说法正确的是（ BD ）A、若收敛，则收敛，收敛；B、若收敛，收敛，则收敛；C、若收敛，则收敛；D、若收敛，则数列收敛二、填空题。1、 0 2、的值为 2 ；3、若， a+b ；4、 .5、已知，则 ；6、极限的值为 ；7、反常积分的值为 1 ；8、设收敛，则 -1 。三、计算题1、求不定积分解：令，则，则原式。（为任意常数）2、设试确定的值，使在处可导。解：要使在处可导，则在处连续，所以，另一方面，在处可导当且仅当在处的左导数等于右导数，而， ，所以，则。3、求极限解：原式.4、设，则：(1)在定义域上是否连续；(2)在处的导数值。解：(1)当时，显然连续；当时，由定义，在处连续，从而在定义域上连续；(2)，该极限不存在，所以在处不可导。5、求定积分；解：6、求级数的收敛域。解：，则收敛半径。当时，级数为，不收敛。当时，级数为，是交错级数，而单调递减且趋于0，故收敛。因此，的收敛域为。7、求极限。解：当充分大时，此时，故，即。8、求极限。解：由洛必达法则，。9、求极限。解：由洛必达法则，。10、求极限。解：四、1、判断的不连续点，并指出类型。解：，所以的不连续点为。对于，所以是的第一类间断点。对于，所以是第一类间断点中的可去间断点。对于，所以是的第二类间断点。2、写出的（带有拉格朗日余项 ）麦克劳林公式，并且估计的值，使其误差不超过.解：的（带有拉格朗日余项 ）麦克劳林公式为，.令则，要估计的值，使其误差不超过，只需余项不超过即可。即.因为，当时，.所以。五、A、证明：当时，.解：令，则当时，故在单调递增，所以，即。另一方面，令，则时，所以，故在单调递增，所以，即综上，当时，.B、证明：若函数在区间上可导，且，则在内有。证：令，由已知，在上可导，且，故在上单调递增，所以在上有，即。六、A、设1、 证明在（0，0）点连续2、 求3、 考察在（0，0）的可微性. （12分）解：1、令，则，故在（0，0）点连续.2，不存在；.3、因为不存在，所以在（0，0）不可微。B、1、证明在（0，0）点连续2、求3、考察在（0，0）的可微性. （12分）解：1、令，则，故在（0，0）点连续.2、；.3、，令，则，所以在（0，0）可微.C、1、证明在（0，0）点连续2、求3、考察在（0，0）的可微性. 解：1、令，则，故在（0，0）点连续. 2、；.3、，令，则，则，该极限不存在。所以在（0，0）的不可微.D