2015山东文理解析几何解答题研究.doc

2015山东高考数学文理科解析几何解答题研究（2015山东高考理科20题）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.（）求椭圆C的方程；（）设椭圆，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.（）求的值；（）求面积最大值.解析：（）由椭圆的离心率为可知，而则，左、右焦点分别是,设两圆的一个交点为，由题意知：故椭圆C的方程为.。注：11年山东高考第一次考察椭圆定义！（）（）（法一）椭圆E的方程为，设点，满足，射线，代入可得点，于是.。注：此问方式较多！（）（）（法二）椭圆化圆：，椭圆，如下图由数形结合知：PQO（）（）（法一）椭圆化圆：,椭圆， （）（）（法二：常规）点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍：，得，整理得，而直线与椭圆C：有交点P，则有解，即有解，其判别式，即，设，等号当仅当时取！今年文科比理科少简单几乎一样，不再研究！（）（）（法三）三角代换令，当面积最大时的中点在椭圆C内或上，研究解读：（一）整体问题：这是本题最大的难点！根本在于发现！这就是个“整体”的问题！所谓“换元”一般是在问题比较复杂且具备“整体性”时运用的一种转化方式，因此换元只是一种形式，观察事物的本质也就是具备整体性的“元素”才是转化的根本！我们回顾一下：（1）2013文科22题“核心问题”：（2）2011理科22题“核心问题”：（3）2012文科22题“核心问题”：时求的最大值这个问题：（法一）令，以下略！（法二）令，则，以下略！（法三）令，表示连线的斜率；以下略！以上3种方法都是“整体”本质的研究问题！（4）2008山东文科22题“核心问题”：，求其最小值及此时的K.（法一），以下略！（法二）其实此题的前一年即2007年全国卷21题中曾出现：对比2009山东理22：，求其最值及此时k的值。（思考：呢？）研究解读：（二）转化问题：本题当然不会白证！这是为了将面积转化成较好求得其他面积！一般常见方式为：等底转化、等高转化、按比例转化、割补转化等。下面回顾对比：EFDBGAHW（1）2014山东高考数学理科21题：已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解析（）（）（法二）巧用切线转化三角形面积，与2014青岛二模20题类似。下面看关键部分：此种方法较标准答案间接很多，整个过程如果结合“点差法”几乎可以口算！（2）2015青岛一摸文科20题：直线与椭圆相交于、两不同点，若椭圆上一点满足.求面积的最大值及此时的.解析：（）关键部分： ，又因为，又， 令，则，当时取等号！本题风格上模仿2014理科21题但是就“转化求面积”而言还是与今年高考题高度吻合！本题其实还有一种解法：设，下略。研究解读：（三）椭圆定义问题（迟来的爱）及圆与椭圆交汇问题，下面回顾2015个人预测夜半轻私语：椭圆的左右焦点分别，以为直径的圆与分别交于除外的两点，且。（1）求椭圆的标准方程；解析：（1）以下略。这个文件我已经在高考前发给每一位数学老师。研究解读：（四）椭圆化圆问题椭圆化圆的初步研究胶州市实验中学刘红升 2015.8 椭圆化圆就是通过“伸缩变换”将坐标空间伸缩，使椭圆转化成圆（有些题目须再化回椭圆），使问题的运算量下降、难度降低，毕竟圆的“数形结合”属性要比椭圆明显好用的多！这也是转化化归思想的体现。并不是所有椭圆问题都可以化圆处理，必须保证转化前后的等价性。 目前我认为能够明确等价的是： “直线与椭圆的位置关系”伸缩后等价于“直线与圆的位置关系”； 直线平行关系等价；（直线的垂直关系及夹角大小一般会改变）； 面积与伸缩成正比； 直线斜率与伸缩反比；坐标与完全伸缩同步。平行或共线的线段长度比值不变！相互垂直的线段比值化其中一个关于y=x对称点后不变（见后面08文）！（证明略，其他情况暂不可控！） 目前为止，我尚不能确定长度、角度是否存在可实际操作的关系，暂认为“不可控”。由于山东高考题11年来文理科均有一些题目必须依赖长度，因此能够用“椭圆化圆”处理的题目比例约为60%多一点（准确统计见后面的统计表），尽管“椭圆化圆”不是一种放之四海皆准的“通法”，但依然有很大的使用价值，从知识上看：近几年尖子生难以逾越140与解析几何关系最大，我们岂能因循守旧坐以待毙！椭圆化圆在山东高考中的有效率统计：20052006200720082009201020112012201320142015山东理科抛物线双曲线椭圆抛物线椭圆椭圆椭圆抛物线椭圆抛物线椭圆不可用不可用可用不可用不可用不可用有效不可用有效不可用有效椭圆化圆20052006200720082009201020112012201320142015山东文科抛物线椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆不可用有效可用有效不可用可用有效不可用有效有效有效椭圆化圆椭圆有效率11年近9年近5年近3年山东文科总有效率54%56%80%100%山东文科椭圆类有效率60%56%80%100%山东理科总有效率28%33%60%67%山东理科椭圆类有效率50%50%100%100%个人感悟：有时候我就在想：难道学生的水平尤其是尖子生的水平真的连我都不如？不可能吧！看看高考最难的问题其实每年都变化不大，为什么这些压轴题我一遍都能做（今年不好意思把第一问算错了）对而学生甚至是尖子生都难以完成呢？理科用概率作为借口理由也未必充分！因为2006年山东理科概率就是考得20题，就是涉及排列组合，比今年的题更难更易错（有重复问题），难道大家高考前没有做吗？2010年理科概率不也是考得20题，运算量更大