第二章 轴向拉伸和压缩.ppt

轴向拉伸和压缩 第二章 2 2拉 压 杆的内力 2 4斜截面上的应力 2 3横截面上的正应力 2 5拉 压 杆的变形和位移 2 8强度计算 2 6材料在拉压时的力学性能 2 7应力集中 目录 2 1概述 2 1轴向拉伸与压缩的概念和实例 轴向拉压的受力特点 作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合 轴向拉压的变形特点 杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短 拉绳 课堂练习 图示各杆BC段为轴向拉伸 压缩 的是 2 2拉 压 杆的内力 内力 指由外力作用所引起的 物体内相邻部分之间分布内力系的合力 附加内力 研究内力方法 截面法 1 内力的概念 FN称为轴力 2 轴力和轴力图 取左 取右 得 得 轴力正负号规定 上述求解拉 压 杆轴力的方法称为截面法 其基本步骤是 截开 在需求内力的截面处 假想地用该截面将杆件一分为二 代替 任取一部分 另一部分对其作用以内力代替 假设为正 平衡 建立该部分平衡方程 解出内力 轴力图 为了清楚地看到轴力沿杆长的变化规律 可以用图线的方式表示轴力的大小与横截面位置的关系 这样的图线称为轴力图 x轴表示横截面位置 FN轴表示对应该位置的轴力大小 例2 1 书例2 1 一等直杆受四个轴向外力作用 如图所示 试作轴力图 几点说明 1 荷载将杆件分成几段 就取几个截面来研究 2 轴力大小与截面面积无关 3 集中力作用处轴力图发生突变 突变值等于该集中力 解 1 1截面 2 2截面 3 3截面 例2 2试作轴力图 例2 3 书例2 2 一受力如图所示的阶梯形杆件 q为沿轴线均匀分布的荷载 试作轴力图 解 首先求出A端反力FR 由截面法可得AB CD段轴力 课堂练习 1 若将图 a 中的F力由D截面移到C截面 图b 则有 2 横截面面积为A 长度为l 材料比重为的立柱受力如图所示 若考虑材料的自重 则立柱的轴力图是 l l 2 l 2 3 作图示杆的轴力图 解 设坐标原点在自由端 x轴向右为正 取左侧x段为研究对象 内力FN x 为 思考题 图示杆长为l 受分布力q kx作用 方向如图 试画出杆的轴力图 l q x 单凭轴力的大小还不足以判断杆件的受力程度 例如 两根材料相同但粗细不同的杆 在相同的拉力下 随着拉力的增加 则细杆一定先强度不足而破坏 1 应力的概念 2 3横截面上的正应力 从工程实用的角度 把单位面积上内力的大小 作为衡量受力程度的尺度 并称为应力 这说明拉压杆的强度除了与轴力的大小有关外 还与横截面的尺寸有关 应力的一般性定义 书26页 应力分量 应力 分布内力在一点处的集度 与强度密切相关 应力单位 2 横截面上的正应力 为了确定拉 压 杆横截面上的应力 必须首先了解分布内力在横截面上的变化规律 这通常是根据实验观察到的拉 压 杆变形时的表面现象 对杆件内部的变形规律做出假设 再利用变形与分布内力间的物理关系 便可得到分布内力在横截面上的分布规律 平面假设 杆件变形后 原为平面的横截面仍然保持为平面 且仍垂直于轴线 根据平面假设 相邻两个横截面间的所有纵向纤维的伸长是相同的 再根据材料是均匀连续的假设 可以得出横截面上的分布内力是均匀分布的 结论 正应力 为常量 根据静力学求合力的概念 得 适用条件 1 轴力过形心 即必须是轴向拉伸 压缩 2 符合平面假设 Saint Venant原理 当杆端以均匀分布的方式加力时 2 1 式对任何横截面都是适用的 当采用集中力或其他非均布的加载方式时 在加力点附近区域的应力分布比较复杂 2 1 式不再适用 然而影响的长度不超过杆的横向尺寸 例2 4 书例2 3 设例2 1中的等直杆为实心圆截面 直径d 20mm 试求此杆的最大工作应力 FN max 35kN BC段 危险截面 在研究拉 压 杆的强度问题时 通常把最大工作正应力所在的横截面称为危险截面 例2 5 书例2 4 一阶梯形立柱受力如图所示 F1 120kN F2 60kN 柱的上 中 下三段的横截面面积分别是A1 2 104mm2 A2 2 4 104mm2 A3 4 104mm2 试求立柱的最大工作正应力 不计立柱的自重 解 首先作出立柱的轴力图 如右图所示 由于立柱是变截面 必须求出各段的工作应力 经过比较才能确定最大正应力 压应力 结果表明 最大工作应力为10MPa的压应力 中段 例2 5 书例2 4 一阶梯形立柱受力如图所示 F1 120kN F2 60kN 柱的上 中 下三段的横截面面积分别是A1 2 104mm2 A2 2 4 104mm2 A3 4 104mm2 试求立柱的最大工作正应力 不计立柱的自重 压应力 压应力 课堂练习 已知三铰屋架如图 承受竖向均布载荷 载荷的分布集度为 q 42kN m 屋架中的钢拉杆为NO 22a型工字钢 试求钢拉杆横截面的正应力 不计钢拉杆的自重 求应力 局部平衡求轴力 查书附录 的型钢表 NO 22a工字钢 A 42cm2 2 4斜截面上的应力 规定 从横截面按逆时针转到斜截面的a角为正 反之为负 由平衡方程 Fa F 则 Aa 斜截面面积 p 为斜截面上任一点的总 全 应力 仿照横截面上正应力为均匀分布的推理过程 可得到 斜截面上的应力也是均匀分布的 用p 表示 为横截面上的正应力 斜截面上总应力 将p 沿着斜截面的法线和切线分解 切应力符号规定如下 它绕截面内侧某点有顺时针转动趋势者为正 反之为负 正应力 切应力 2 2 2 5拉 压 的变形和位移 一 轴向变形 轴向伸长 引入比例常数E 并注意到FN F 得到 实验表明 当拉杆横截面上的正应力不超过材料的比例极限时 不仅变形是弹性的 而且伸长量 l与拉力F和杆长l成正比 即 E称为弹性模量 表示材料在拉压时抵抗弹性变形的能力 因而它是材料的一种力学性能 单位为Pa 工程中常用GPa 1GPa 109Pa 其值与材料有关 由实验测定 例如Q235钢 E 200 210GPa EA称为杆件的拉伸 压缩 刚度 纵向线应变 上式通常称为单向应力状态下的胡克定律 胡克定律成立条件 正应力不超过材料的比例极限 无量纲 二 横向变形 泊松比 横向线应变 横向尺寸缩短量 故与符号相反 实验表明 在材料正应力没有超过比例极限时 横向线应变与纵向线应变之比为常数 用绝对值表示为 或写成 称为横向变形因数或泊松比 例2 6 书例2 5 已知 AB段 A1 400mm2BC段 A2 250mm2 E 210GPa 求 1 AB BC段的伸长量及杆的总伸长量 2 C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移 1 变形 物体受力以后发生尺寸和形状的改变 解 杆的总伸长量 伸长 伸长 伸长 显然 两个截面的相对位移 在数值上等于两个截面之间的那段杆件的伸长 或缩短 因此 C截面与B截面的相对位移是 因A截面固定 所以C截面的位移就等于AC杆的伸长 例2 6 书例2 5 已知 AB段 A1 400mm2BC段 A2 250mm2 E 210GPa 求 1 AB BC段的伸长量及杆的总伸长量 2 C截面相对B截面的位移 相对位移 和C截面的绝对位移 2 位移 指物体上的一些点 线 面在空间位置上的改变 解 课堂练习 1 已知 AAB 500mm2ABC 200mm2 E 210GPa 求 杆的总变形量 解 1 作轴力图 2 计算变形 计算结果为负 说明整根杆发生了缩短 缩短 2 求AB杆的伸长量 lAB 所以 已知 AB杆为圆截面钢杆 d1 30mmE1 200GPa l1 1m BC为正方形木杆a 150mm E2 10GPa F 30kN 求 B结点的位移 解 取节点B为研究对象 例2 7 书例2 6 1 受力分析并求1 2杆轴力 解得 例2 7 书例2 6 已知 AB杆为圆截面钢杆 d1 30mmE1 200GPa l1 1m BC为正方形木杆a 150mm E2 10GPa F 30kN 求 B结点的位移 2 求1 2杆变形 3 求B结点位移 作位移图 例2 8 书例2 7 三杆的横截面面积均为A 1000mm2 弹性模量均为E 200GPa l 1m AB为刚性杆 求A B两点的位移 解 1 受力分析 取AB为研究对象 拉力 伸长 2 变形计算 B A l 1 2 3 A2 B1 3 求A B点位移 课堂练习 3 已知AB杆为刚性杆 P1 5kN P2 10kN l 1mm CD杆的E 72GPa A 440mm2 求A截面铅垂位移 解 1 取AB杆 求CD杆的轴力 压 2 计算CD杆的缩短量 缩短 3 作位移图 几何关系 2 6材料在拉伸 压缩时的力学性能 杆件在外力作用下是否会破坏 除计算工作应力外 还需知道所用材料的强度 才能作出判断 前面提到的E p等都是材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能 均属于材料的力学性能 材料的力学性能取决于材料的内部条件和外部条件 内部条件指的是材料组成的化学成分 组织结构等 外部条件则包括构件的受力状态 环境温度 周围介质和加载方式 材料不同 环境不同 材料的力学性能也就不同 材料的力学性能必须用实验的方法测定 本节主要介绍 低碳钢和铸铁在室温 20 C 静载下 通过轴向拉伸和压缩得到的力学性能 材料最基本的力学性能 一 低碳钢材料拉伸时的力学性能 碳钢的分类 低碳钢 含碳量 0 25 的碳素钢中碳钢 含碳量0 25 0 55 的碳素钢高碳钢 含碳量0 55 2 0 的碳素钢 实验条件 室温 20 左右 静载 载荷从零开始缓慢增加到力F 标准试件 万能试验机 电子试验机 试验设备 1 弹性阶段Ob 整个拉伸过程分为四个阶段 拉伸图 应力 应变曲线 Oa段为直线 应力与应变成正比 Oa直线的斜率 2 屈服阶段bc 3 强化阶段cd 是低碳钢的重要强度指标 是低碳钢的重要强度指标 4 颈缩阶段de 伸长率 断面收缩率 是低碳钢的塑性指标 卸载后 重新加载 加载路线基本沿卸载路线 这样 材料的比例极限有所提高 但塑性降低 这种现象叫做冷作硬化 二 其它材料拉伸时的力学性能 灰口铸铁拉伸时的特点 1 应力 应变曲线是一微弯的线段 无屈服和颈缩现象 2 变形很小时 试件就断了 伸长率很小 是典型的脆性材料 只有一个强度指标 沿横截面拉断 断口平齐 三 材料在压缩时的力学性能 2 低碳钢压缩时的E ss与拉伸时基本相同 3 屈服以后 试件逐渐被压成鼓状 其横截面面积不断增大 4 由于试件压缩时不会发生断裂 因此无法测定其强度极限 故像低碳钢一类塑性材料的力学性能通常由拉伸实验测定 1 低碳钢压缩试样采用圆柱体 且h d 低碳钢压缩实验 铸铁压缩实验 2 应力 应变曲线直线段很短 近似符合胡克定律 3 压缩时强度极限比拉伸时强度极限大得多 即 b c 3 5 5 b t 4 材料逐渐被压成鼓状 后来沿与轴线大约350方向断裂 主要是被剪断的 1 铸铁压缩试样也采用圆柱体 且h 2d 2 7应力集中 由前面可知 受轴向拉伸 压缩 的等直杆 其横截面上的正应力是均匀分布的 但是工程上有些拉压杆 由于实际的需要而有切口 切槽 圆孔等 以致这些部位的横截面尺寸发生突然的改变 光弹性实验和弹性理论的分析都表明 在横截面尺寸急剧变化的区域 横截面上的正应力已不再均匀分布 1 应力集中的概念 应力集中 由于截面尺寸突然改变而使应力局部增大的现象 2 理论应力集中因数 3 生活中的例子包装袋上的小口 边缘做成锯齿状等 4 在静荷载作用下 由塑性材料制成的杆件可以不考虑应力集中的影响 质地均匀的脆性材料要考虑应力集中的影响 铸铁可以不考虑由于外形改变而引起的应力集中的影响 在动荷载作用下 不论是塑性材料还是脆性材料均应考虑应力集中的影响 第十四章 2 8强度计算 由前面的分析可知 由塑性材料制成的拉 压 杆的工作正应力达到材料的屈服极限 s时 杆件将出现显著的塑性变形 由脆性材料制成的拉 压 杆的工作正应力达到材料的强度极限 b时 杆件将发生断裂破坏 因此 把屈服极限 s和强度极限 b分别作为塑性材料和脆性材料的强度指标 统称为材料的极限应力 以 u表示 即 一 安全因数和许用应力 为了保证构件能够正常工作并具有必要的安全储备 不能用极限应力作为拉 压 杆最大工作正应力的限值 一般将极限应力除以大于1的因数n 作为工作正应力的最大许用值 称为材料的许用应力 以 表示 即 二 强度条件 为了保证拉 压 杆具有足够的强度 必须使杆件的最大工作正应力不超过材料拉伸 压缩 时的许用应力 即 上式称为拉 压 杆的强度条件 1 强度校核 已知荷载 杆件的截面尺寸和材料的许用应力 即可计算杆件的最大工作正应力 并检查是否满足强度条件的要求 这称为强度校核 对于等直杆 2 15 式可改写成 应用强度条件可以进行三类计算 考虑到许用应力是概率统计的数值 为了经济起见 最大工作正应力也可略大于材料的许用应力 一般认为以不超过许用应力的5 为宜 3 确定结构的许用载荷 已知结构承受的荷载和材料的许用应力 即可算出杆件的最大轴力 并由此确定杆件的横截面面积 已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力 可根据强度条件计算出该杆所能承受的最大轴力 亦称许用轴力 2 选择杆件的横截面尺寸 然后根据静力平衡条件 确定结构所许用的荷载 例2 10 书例2 9 阶梯形杆如图所示 AB BC和CD段的横截面面积分别为A1 1500mm2 A2 625mm2 A3 900mm2 杆的材料为Q235钢 170MPa 试校核该杆的强度 解 1 作轴力图 2 校核强度 由轴力图和各段杆的横截面面积可知 危险截面可能在BC段或CD段 压应力 BC段 CD段 拉应力 故该杆满足强度条件 结果表明 杆的最大正应力发生在CD段 相对误差 例2 11 书例2 10 已知三铰屋架如图 承受竖向均布载荷 载荷的分布集度为 q 4 2kN m 屋架中的钢拉杆材料为Q235钢 170MPa 试选择钢拉杆的直径 不计钢拉杆的自重 1 42m q A C B 8 5m 钢拉杆 0 4m 0 4m 局部平衡求轴力 由强度条件求直径 为了经济起见 选用钢拉杆的直径为14mm 其值略小于计算结果 但是其工作正应力超过许用应力不到5 例2 12 书例2 11 如图所示的简易起重设备 AB杆用两根70mm 70mm 4mm等边角钢组成 BC杆用两根10号槽钢焊成一整体 材料均为Q235钢 170MPa 试求设备所许用的起重量W 解 1 分别取滑轮和B结点为研究对象 求出两杆的轴力 解得 2 求两杆的许用轴力 例2 12 书例2 11 如图所示的简易起重设备 AB杆用两根70mm 70mm 4mm等边角钢组成 BC杆用两根10号槽钢焊成一整体 材料均为Q235钢 170MPa 试求设备所许用的起重量W 查型钢表