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函数的奇偶性教案 课标要求： 一、知识与技能 1.从形与数两个方面进行引导，使学生深刻理解函数的奇偶性概念。 2.通过设置问题，培养学生的判断和推理能力。 二、过程与方法 师生共同讨论，研究，从代数的角度来严格推证论证 三、情感态度与价值观 通过绘制函数图象来陶冶学生的情操，通过组 教学重点与难点： 函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定． 教学过程设计： 前面我们已经研究了函数的单调性，它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质，今天我们继续研究函数的另一个性质。从什么角度呢？将从对称的角度来研究函数的性质。 师：同学们，“对称”是大自然的一种美，在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢? 教师提问：这些图片在形状上有什么特征？ 引导学生从对称性的角度去观察，同时让学生回想初中所学习的轴对称图形与中心对称图形的定义。 很容易可以得出结论：图片①②是轴对称图形，图片③④是中心对此图形。 　(学生可能会举出一些数值上的对称问题, 等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如 和 等.) 　　结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于Y轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于X轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于X轴对称的吗? 　　学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个X只能对一个Y,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于X 轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于Y轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律. 二. 讲解新课 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性(图1)． 　　生：函数f(x)=x2是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)=|x|－1是定义域为全体　　 　　图象关于y轴对称． 师：那么究竟什么叫关于y轴对称？　　　 　　师：(幻灯演示)将f(x)=x2在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的．既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？ 　　(幻灯演示)我们在函数f(x)=x2位于y轴右侧的图象上任取一点(x，f(x))，通过沿　　 　　标有什么关系？ 　 　　对应的函数值相等． 　　师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？ 　　生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 　　(当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充．) 　　师：下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意一个x∈D，都有f(－x)=f(x)成立”说明了什么？ 　　生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的． 　　师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？ 　　生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件． 　　师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义． 　　生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等． 　　师：下面我们看几个习题． 　　(幻灯) 　　1．判断下列函数是否是偶函数． 　　(1)f(x)=x2，x∈[－1，2]； 　　 　　生：函数f(x)=x2，x∈[－1，2]不是偶函数．因为它的定义域关于原点不对称． 　　于原点对称． 　　(对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f(x)=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论．) 　　(多重复合幻灯) 　　2．判断下列图象(图2)是否是偶函数的图象？ 　　师：首先，我们取几对相反数检验一下(复片1)．当自变量取1这对相反数时，对应的函数值f(1)与f(－1)恰好相等；当自变量取3这对相反数时，对应的函数值f(3)与f(－3)也恰好相等；当自变量取4时，也得到了相同的结果．类似的相反数还可以举出很多对．由此，是否就能判断该图象是偶函数的图象呢？ 　　(有的学生认为能判断，有的学生认为不能，当学生发表完意见后，教师总结．) 　　师：当自变量取2这对相反数时，我们观察到f(2)与f(－2)并不相等，这就违背了偶函数定义中，自变量取值的任意性，即不能使函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，所以该图象不是偶函数的图象． 　　同学们，让我们再来观察一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？ 　　(幻灯．旋转片) 　　观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 　　生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称． 　　师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？ 　　 　　师：(幻灯演示)将f(x)=x3在第一象限内的图象，绕着原点旋转180，我们发现它与f(x)=x3在第三象限内的图象重合了．这说明我们刚才的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？ 　　生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数． 　　师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？ 　　生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 　　师：定义中“任意一个x∈D，都有f(－x)=f(x)成立”说明了什么？ 　　生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的． 　　师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．那么这个定义的实质是什么呢？ 　　生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数． 　　师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？ 　　生：有．函数f(x)=0，x∈R就是一个． 　　师：那么这样的函数有多少个呢？ 　　生：只有函数f(x)=0，x∈R一个． 　　师：再想一想．函数的三要素是什么呢？ 　　生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域． 　　师：对．可见三要素不同的函数就是不同的函数． 　　生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为f(x)=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：f(x)=0，x∈[－3，－1]∪[1，3]；f(x)=0，x∈[－5，－2]∪[－2，－5]等等． 　　师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数． 　　例1 判断下列函数的奇偶性： 　　(1)f(x)=lg(4＋x)＋lg(4－x)； 　　 　　分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 　　解(1) f(x)的定义域是｛x|4＋x＞0且4－x＞0｝=｛x|－4＜x＜4｝，它具有对称性． 　　因为 f(－x)=lg(4－x)＋lg(4＋x)=f(x)， 　　所以f(x)是偶函数，不是奇函数． 　　(2)解法一：当x＞0时，－x＜0，于是 　　当x＜0时，－x＞0，于是 　　综上可知，在R-∪R+上，g(x)是奇函数． 　　 　　 　　这两条曲线(图4)关于原点对称，因此函数g(x)在R-∪R+上是奇函数． 　　例2 设F(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，F(x)的解析式是ex，求F(x)在R上的表达式． 　　解 任取x∈(－∞，0)，设 P(x，y)是函数 F(x)图象上的一个点．由于F(x)是奇函数, 　　 　　 －y＝e-x→y＝－e-x． 　　上式就是点P(x，y)的坐标满足的关系式，即x＜0时F(x)的解析式． 　　当x=0时，F(－0)=－F(0)，即F(0)=0．所以奇函数 　　(今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义法”是基本方法．) 　　练习 (幻灯)判断下列函数的奇偶性，并说明理由． 　　1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20]； 　　2．f(x)=x3＋x，x∈[－2，2)； 　　3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]； 　　 　　5．f(x)=|x－2|＋|x＋2|； 　　6．f(x)=|x－2|－|x＋2|； 　　7．f(x)=5； 　　 　　生：1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20)的定义域关于原点不对称，因此是非奇非偶函数． 　　2．f(x)=x3＋x，x∈[－2，2)的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非偶函数． 　　3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为f(－x)=f(x)且f(－x)=－f(x)，定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函数． 　　 　　点也对称，所以是奇函数． 　　5．f(x)=|x－2|＋|x＋2|是偶函数．这是因为f(－x)=|－x－2|＋|－x＋2|=|x＋2|＋|x－2|=f(x)，且x∈R，所以是偶函数． 　　6．f(x)=|x－2|－|x＋2|是奇函数．这是因为f(－x)=|－x－2|－|－x＋2|=|x＋2|－|x－2|=－(|x－2|－|x＋2|)=－f(x)，且x∈R，所以是奇函数． 　　7．f(x)=5是偶函数．这是因为f(－x)=5=f(x)，且x∈R，所以是偶函数． 　　 　　 　　=lg1=0，即f(－x)=－f(x)，且x∈R，所以是奇函数． 　　师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件． 　　作业 　　课本P52练习第2题，P59习题五第8，9，10题．其中第10题加一问“为什么？” 　

内容简介：

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