高中数学之含绝对值不等式的解法.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）解析：四川省成都市新都一中 肖宏本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页，第卷3至1 0页满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.来第卷注意事项：1答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试卷上3。本试卷共1 2小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径P(AB)=P(A)P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径一、 选择题：（1）i是虚数单位，计算ii2i3（A）1 （B）1 （C） （D）解析：由复数性质知：i21故ii2i3i(1)(i)1答案：A（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（A） （B） （C） （D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.w_w_w.k*s 5*u.c o*m答案：D（3）2log510log50.25w_w_w.k*s 5*u.c o*m（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4w_w w. k#s5_u.c o*m解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252答案：C（4）函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是（A） （B） （C） （D）解析：函数f(x)x2mx1的对称轴为x w_w_w.k*s 5*u.c o*m 于是1 m2答案：A（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1w_w w. k#s5_u.c o*m解析：由16，得|BC|4 w_w_w.k*s 5*u.c o*m4而故2答案：C w_w_w.k*s 5*u.c o*m（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是w_w w. k#s5_u.c o*m（A） （B） w_w_w.k*s 5*u.c o*m（C） （D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin(x) w_w_w.k*s 5*u.c o*m 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.答案：Cy0x70488070(15,55)（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为w_w_w.k*s 5*u.c o*m（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱则w_w w. k#s5_u.c o*m目标函数z280x300y结合图象可得：当x15,y55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：B w_w_w.k*s 5*u.c o*m（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且 w_w_w.k*s 5*u.c o*m作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1w_w w. k#s5_u.c o*m故an是公比为2的等比数列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1则答案：B（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是w_w_w.k*s 5*u.c o*m（A） （B） （C） （D）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*m而|FA| w_w_w.k*s 5*u.c o*m |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2 w_w_w.k*s 5*u.c o*m又e(0,1)故e答案：D（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_w.k*s 5*u.c o*m 若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，324个若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共312个算上个位偶数字的排法，共计3(2412)108个答案：C（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（A） （B） w_w_w.k*s 5*u.c o*m（C） （D）解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC w_w_w.k*s 5*u.c o*mcosBAC连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC，同理AN，且MNCD w_w_w.k*s 5*u.c o*m而ACR,CDR故MN：CDAN:AC w_w_w.k*s 5*u.c o*m MN，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON所以M、N两点间的球面距离是 w_w_w.k*s 5*u.c o*m答案：A（12）设，则的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）2 （B）4 （C） （D）5解析： w_w_w.k*s 5*u.c o*m0224当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b,c满足条件.答案：B第卷二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）的展开式中的第四项是 . w_w_w.k*s 5*u.c o*m解析：T4 w_w_w.k*s 5*u.c o*m答案：（14）直线与圆相交于A、B两点，则 .解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2圆心到直线的距离为dw_w w. k#s5_u.c o*m故 w_w_w.k*s 5*u.c o*m得|AB|2答案：2（15）如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知ADl，CD故ADC为二面角的平面角，为60又由已知，ABD30连结CB，则ABC为与平面所成的角w_w_w.k*s 5*u.c o*m设AD2，则AC，CD1AB4sinABC答案：（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：集合Sabi|（为整数，为虚数单位）为封闭集；w_w_w.k*s 5*u.c o*m若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. w_w w. k#s5_u.c o*m其中真命题是 （写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知正确.当S为封闭集时，因为xyS，取xy，得0S，正确对于集合S0，显然满足素有条件，但S是有限集,错误取S0，T0,1，满足,但由于011T，故T不是封闭集，错误答案：三、 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E.（18）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积.（19）（本小题满分12分）（）证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式.（）已知ABC的面积，且，求cosC.（20）（本小题满分12分）已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.（21）（本小题满分12分）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.（22）（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）设关于的方程求在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；（）当ae（e为自然对数的底数）时，证明：；（）当0a时，试比较与4的大小，并说明理由.含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。（一）、公式法：即利用与的解集求解。 主要知识：1、绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上，两点间的距离.。2、与型的不等式的解法。当时，不等式的解集是不等式的解集是; 当时，不等式的解集是不等式的解集是;3与型的不等式的解法。把 看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解。当时，不等式的解集是不等式的解集是; 当时，不等式的解集是不等式的解集是;例1 解不等式分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“”看着一个整体。答案为。(解略)（二）、定义法:即利用去掉绝对值再解。例2。解不等式。分析:由绝对值的意义知，a0，a0。解:原不等式等价于0x(x+2)0-2x0。（三）、平方法:解型不等式。例3、解不等式。解:原不等式(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)0(3x-4)(x-2)0 。说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例4 解不等式。分析:由，得和。和把实数集合分成三个区间，即，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。解:当x-2时，得，解得：当-2x1时，得，解得：当时，得 解得：综上，原不等式的解集为。说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。三、几何法：即转化为几何知识求解。例5 对任何实数，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ()(A)k3(B)k-3(C)k3(D)k-3分析:设，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是，于是题转化为求的最小值。解:、的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离-的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。四、典型题型1、解关于的不等式解：原不等式等价于，即 原不等式的解集为2、解关于的不等式 解：原不等式等价于3、解关于的不等式解：原不等式可化为 即 解得： 原不等式的解集为4、解关于的不等式 解： 当时，即，因，故原不等式的解集是空集。 当时，即，原不等式等价于解得： 综上，当时，原不等式解集为空集;当时，不等式解集为 5、解关于的不等式解：当时，得，无解 当，得，解得： 当时，得，解得： 综上所述，原不等式的解集为，6、解关于的不等式 （答案：） 解：五、巩固练习1、设函数 ;若，则的取值范围是 .2、已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 3、不等式的实数解为 4、解下列不等式 ； ； ； ； ； （）5、若不等式的解集为，则实数等于 （ ） 6、若，则的解集是（ ） 且 且7、对任意实数，恒成立，则的取值范围是 ；对任意实数，恒成立，则的取值范围是 ；若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ； 8、不等式的解集为（ ） 9、解不等式：10、方程的解集为 ，不等式的解集是 ； 12、不等式的解集是（ ） 11、不等式的解集是 12、 已知不等式的解集为，求的值 13、解关于的不等式：解关于的不等式；14、不等式的解集为（ ）. 15、 设集合，则等于 ( ) 16、不等式的