河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(四)解析版.doc

河北保定易县中学2017届高三上学期周考数学（理）试卷（四）一选择题（12小题，每题5分，共60分）1已知集合A=xN|1xlog2k，集合A中至少有3个元素，则（）Ak8Bk8Ck16Dk162复数的共轭复数的虚部是（）ABC1D13已知f（x）=xsinx，命题p：x（0，），f（x）0，则（）Ap是假命题，p：x（0，），f（x）0Bp是假命题，p：x（0，），f（x）0Cp是真命题，p：x（0，），f（x）0Dp是真命题，p：x（0，），f（x）04算法通宗是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A3B4C5D65设函数f（x）=sin（2x）的图象为C，下面结论中正确的是（）A函数f（x）的最小正周期是2B函数f（x）在区间（，）上是增函数C图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D图象C关于点（，0）对称6程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A0B2C4D147若不等式组表示的区域，不等式（x）2+y2表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为（）A114B10C150D5082015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A，B，C，D，E，除B与E、D与E不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多只进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（）A48种B36种C24种D8种9实数x，y满足，则xy的最小值为（）A2BCD110如图，在OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，yR），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A，B，C，D，11F1，F2分别是双曲线=1（a，b0）的左右焦点，点P在双曲线上，满足=0，若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（）ABC +1D +112如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB、DD交于M，N，设BM=x，x0，1，给出以下四个命题：平面MENF平面BDDB；当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF周长L=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）ABCD二.填空题（4小题，每小题5分，共20分）13双曲线y2=1的焦距是，渐近线方程是14已知三棱锥ABCD中，AB面BCD，BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为15已知a=cosxdx，则x（x）7的展开式中的常数项是（用数字作答）16（填空题压轴题：考查函数的性质，字母运算等） 设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且f（x+k）f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=|xa|2a，若f（x）为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是三解答题17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c（）求证：a，c，b成等差数列；（）若C=，ABC的面积为2，求c18某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（）求T的分布列与数学期望ET；（）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率19如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE（I）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值20已知椭圆的离心率为，且过点若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”（I）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由21已知函数f（x）=lnxx2+ax，（1）当x（1，+）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1x2，求证（3）证明当n2时，坐标系与参数方程22在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（为参数）（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围不等式选讲23已知x0R使得关于x的不等式|x1|x2|t成立（）求满足条件的实数t集合T；（）若m1，n1，且对于tT，不等式log3mlog3nt恒成立，试求m+n的最小值答案一选择题（12小题，每题5分，共60分）1已知集合A=xN|1xlog2k，集合A中至少有3个元素，则（）Ak8Bk8Ck16Dk16【考点】集合的表示法【分析】首先确定集合A，由此得到log2k4，由此求得k的取值范围【解答】解：集合A=xN|1xlog2k，集合A中至少有3个元素，A=2，3，4，log2k4，k16故选：C2复数的共轭复数的虚部是（）ABC1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出原复数的共轭复数得答案【解答】解：=，复数的共轭复数为i，虚部为1故选：C3已知f（x）=xsinx，命题p：x（0，），f（x）0，则（）Ap是假命题，p：x（0，），f（x）0Bp是假命题，p：x（0，），f（x）0Cp是真命题，p：x（0，），f（x）0Dp是真命题，p：x（0，），f（x）0【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：f（x）=xsinx，x（0，），f（x）=1cosx0，f（x）是（0，）上是增函数，f（0）=0，f（x）0，命题p：x（0，），f（x）0是假命题，p：x（0，），f（x）0，故选：A4算法通宗是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A3B4C5D6【考点】等差数列的前n项和【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n1a盏灯，共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即解得：a=3故选：A5设函数f（x）=sin（2x）的图象为C，下面结论中正确的是（）A函数f（x）的最小正周期是2B函数f（x）在区间（，）上是增函数C图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D图象C关于点（，0）对称【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：根据函数f（x）=sin（2x）的周期为=，可得A错误；在区间（，）上，2x（，），故f（x）没有单调性，故B错误；把函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x）的图象，故C错误；令x=，可得f（x）=sin（2x）=0，图象C关于点（，0）对称，故D正确，故选：D6程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A0B2C4D14【考点】程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：由a=14，b=18，ab，则b变为1814=4，由ab，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2故选：B7若不等式组表示的区域，不等式（x）2+y2表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为（）A114B10C150D50【考点】几何概型；简单线性规划【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域内的概率【解答】解：作出平面区域如图：则区域的面积为SABC=区域表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域和的公共面积为S=+=芝麻落入区域的概率为=落在区域中芝麻数约为360=30+20114故选A82015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A，B，C，D，E，除B与E、D与E不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多只进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（）A48种B36种C24种D8种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】单独会晤，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，CD，CE共8种情况，再分步，即可得出结论【解答】解：单独会晤，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，CD，CE共8种情况，设为第n次，分成四个时段，每个时段即某个上午或下午有两次，各个时段没有关系设第一次会晤有E，则有两种方法（不防设为AE），则第二次会晤在BCD内任选（设为BC），有三种方法，第三次设再有E则有一种方法（CE），第四次在ABD内任选则有两种方法（设为AD），则剩下的排序只有4种，则有23124=48种故选：A9实数x，y满足，则xy的最小值为（）A2BCD1【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用；三角函数的化简求值【分析】配方可得2cos2（x+y1）=（xy+1）+xy+1，由基本不等式可得（xy+1）+xy+12，或（xy+1）+xy+12，进而可得cos（x+y1）=1，x=y=，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值【解答】解：，2cos2（x+y1）=2cos2（x+y1）=，故2cos2（x+y1）=xy+1+，由基本不等式可得（xy+1）+2，或（xy+1）+2，2cos2（x+y1）2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y1）=2，故cos2（x+y1）=1，即cos（x+y1）=1，此时xy+1=1，即x=y，x+y1=k，kZ，故x+y=2x=k+1，解得x=，故xy=xx=（）2，当k=0时，xy的最小值，故选：B10如图，在OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，yR），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A，B，C，D，【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】若P在线段AB上，设=，则有=，由于=x+y，则有x+y=1，由于在OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，P落在线段MN上，则x+y=2即可得到取值范围【解答】解：若P在线段AB上，设=，则有=，=，由于=x+y（x，yR），则x=，y=，故有x+y=1，若P在线段MN上，设=，则有=，故x=1，y=0时，最小值为，当x=0，y=1时，最大值为故范围为由于在OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，则=x+y=x+y（x，yR），则x=， y=，故有x+y=2，当x=2，y=0时有最小值，当x=0，y=2时，有最大值故范围为若P在阴影部分内（含边界），则故选：C11F1，F2分别是双曲线=1（a，b0）的左右焦点，点P在双曲线上，满足=0，若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（）ABC +1D +1【考点】双曲线的简单性质【分析】设P为双曲线的右支上一点，由向量垂直的条件，运用勾股定理和双曲线的定义，可得|PF1|+|PF2|，|PF1|PF2|，再由三角形的面积公式，可得内切圆的半径，再由直角三角形的外接圆的半径即为斜边的一半，由条件结合离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设P为双曲线的右支上一点，=0，即为，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，2，可得|PF1|PF2|=2（c2a2），可得|PF1|+|PF2|=，由题意可得PF1F2的外接圆的半径为|F1F2|=c，设PF1F2的内切圆的半径为r，可得|PF1|PF2|=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），解得r=（2c），即有=，化简可得8c24a2=（4+2）c2，即有c2=a2，则e=+1故选：D12如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB、DD交于M，N，设BM=x，x0，1，给出以下四个命题：平面MENF平面BDDB；当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF周长L=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用面面垂直的判定定理去证明EF平面BDDB四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可判断周长的变化情况求出四棱锥的体积，进行判断【解答】解：连结BD，BD，则由正方体的性质可知，EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB，所以正确连结MN，因为EF平面BDDB，所以EFMN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小所以正确因为EFMN，所以四边形MENF是菱形当x0，时，EM的长度由大变小当x，1时，EM的长度由小变大所以函数L=f（x）不单调所以错误连结CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以CEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥因为三角形CEF的面积是个常数M，N到平面CEF的距离是个常数，所以四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常函数，所以正确所以四个命题中假命题所以选C二.填空题（4小题，每小题5分，共20分）13双曲线y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=x【考点】双曲线的简单性质【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，焦距是2c=2，渐近线方程是y=x故答案为：2；y=x14已知三棱锥ABCD中，AB面BCD，BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥的外接球体积【解答】解：根据已知中底面BCD是边长为2的正三角形，AB面BCD，可得此三棱锥外接球，即为以BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球BCD是边长为2的正三角形，BCD的外接圆半径r=，球心到BCD的外接圆圆心的距离d=1故球的半径R=，三棱锥的外接球体积为=故答案为：15已知a=cosxdx，则x（x）7的展开式中的常数项是128（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】利用微积分基本定理可得a，再利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：a=cosxdx=，则x的展开式中的通项公式：Tr+1=x=（2）rx7r，令7r=0，解得r=7常数项=128故答案为：12816（填空题压轴题：考查函数的性质，字母运算等） 设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且f（x+k）f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=|xa|2a，若f（x）为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由题意可以得到再由定义存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且f（x+k）f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”对所给的问题分自变量全为正，全为负，一正一负三类讨论，求出参数所满足的共同范围即可【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=|xa|2a，又f（x）为R上的“2011型增函数”，当x0时，由定义有|x+2011a|2a|xa|2a，即|x+2011a|xa|，其几何意义为到点a小于到点a2011的距离，由于x0故可知a+a20110得a当x0时，分两类研究，若x+20110，则有|x+2011+a|+2a|x+a|+2a，即|x+a|x+2011+a|，其几何意义表示到点a的距离小于到点a2011的距离，由于x0，故可得aa20110，得a；若x+20110，则有|x+2011a|2a|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011a|4a，其几何意义表示到到点a的距离与到点a2011的距离的和大于4a，当a0时，显然成立，当a0时，由于|x+a|+|x+2011+a|aa+2011|=|2a2011|，故有|2a2011|4a，必有20112a4a，解得 综上，对xR都成立的实数a的取值范围是 故答案为：三解答题17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c（）求证：a，c，b成等差数列；（）若C=，ABC的面积为2，求c【考点】数列与三角函数的综合；正弦定理；余弦定理的应用【分析】（）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可（）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可【解答】解：（）证明：由正弦定理得：即，sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinCsinB+sinA+sin（A+B）=3sinCsinB+sinA+sinC=3sinCsinB+sinA=2sinCa+b=2ca，c，b成等差数列（）ab=8c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=（a+b）23ab=4c224c2=8得18某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（）求T的分布列与数学期望ET；（）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数样本容量，数学期望ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32（分钟）；（）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P（A）=1P（）=0.91【解答】解（）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而数学期望ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32（分钟）（）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T270）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09故P（A）=1P（）=0.91故答案为：（）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（）0.9119如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE（I）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（I）由PC底面ABCD，可得PCAC由AB=2，AD=CD=1，利用勾股定理的逆定理可得：ACBC，因此AC平面PBC，即可证明平面EAC平面PBC（II）取AB的中点F，两角CF，则CFAB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得设P（0，0，a）（a0），可取=（1，1，0），利用向量垂直与数量积的关系可得：为平面PAC的法向量设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，可得，由于二面角PACE的余弦值为，可得=，解得a=4设直线PA与平面EAC所成角为，则sin=|=即可得出【解答】（I）证明：PC底面ABCD，AC平面ABCD，PCACAB=2，AD=CD=1，AC=BC=，AC2+BC2=AB2，ACBC，又BCPC=C，AC平面PBC，又AC平面EAC，平面EAC平面PBC（II）解：取AB的中点F，两角CF，则CFAB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0），设P（0，0，a）（a0），则E，=（1，1，0），=（0，0，a），=，取=（1，1，0），则=0，为平面PAC的法向量设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即，取=（a，a，4），二面角PACE的余弦值为，=，解得a=4，=（4，4，4），=（1，1，4）设直线PA与平面EAC所成角为，则sin=|=，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为20已知椭圆的离心率为，且过点若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”（I）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，代入点，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，运用数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式大于0，韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理，即可得到定值【解答】解：（I）由题意知e=，a2b2=c2，即又，可得a2=4，b2=3，即有椭圆的方程为+=1；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，即，由得（3+4k2）x2+8kmx+4（m23）=0，=64m2k216（3+4k2）（m23）0，化为3+4k2m20x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2+km（）+m2=，代入，即，得：，2m24k2=3，O到直线l的距离为，ABO的面积为，把2m24k2=3代入上式得21已知函数f（x）=lnxx2+ax，（1）当x（1，+）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1x2，求证（3）证明当n2时，【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a2x恒成立，求出a的范围即可；（2）求出a，得到f（）=，问题转化为证明ln，令t=，0x1x2，0t1，即证明u（t）=+lnt0在0t1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；（3）令a=1，得到lnxx2x，得到x1时，分别令x=2，3，4，5，n，累加即可【解答】（1）解：x（1，+）时，函数f（x）为递减函数，f（x）=2x+a0在（1，+）恒成立，即a2x恒成立，而y=2x在（1，+）递增，故2x1，故a1；（2）证明：f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，