线性代数命题集锦.doc

线性代数命题集锦（浙江大学 姜豪）本集锦是对1中定理及推论的完善与补充。第一章 行列式命题 1.2.1 任一级排列都可经有限次对换变成级标准排列。 （反之，级标准排列可经有限次对换变成。）命题 1.2.2 任一级排列与级标准排列可经有限次对换互变，且 对换个数与有相同的奇偶性。命题 1.2.3 任两个级排列与都可经有限次对换互变。若它们的 奇偶性相同，则对换个数必为偶数；若它们的奇偶性不同，则对换个数必为奇数。（同性偶变，异性奇变）命题1.3.1 如两个整数的奇偶性都改变，则其和的奇偶性不变。命题1.3.2 n阶行列式det的展开式中项的符号是 命题1.3.3 命题1.3.4 其中固定。命题1.3.5 其中固定。命题1.4.1 只用形式的运算就可以把n阶行列式化为上（下）三角行列式； 只用形式的运算就可以把n阶行列式化为上（下）三角行列式。命题1.5.1 设， ， 则有， ， 。推论1.5.1 设（n阶行列式简写）。的第行元素的代数余子式为 . 将的第行用代替得行列式，则 类似地有：若的第列元素的代数余子式为 . 将的第列用代替得行列式，则 .命题1.5.2 设, 则， .命题1.5.3 设 . 则有 .速降法计算行列式公式：， ， .第二章 矩阵及其初等变换命题2.2.0 （行列式乘法定理）设是阶行列式，则 。推广： 设都是阶行列式，则 。命题2.2.1 同理有 .命题2.3.1 若，则有 .命题2.4.1 的行是的行的线性组合，组合系数是的行；的列是的列的线性组合，组合系数是的列。命题2.4.2 (i) 设，则可逆当可逆时， (ii) 设，则可逆当可逆时， .定理2.5推论 设是n阶矩阵，则可逆 .定理2.5推论 设是n阶矩阵，则可逆可表成有限个初等矩阵的乘积。定理2.5推论4 设是矩阵(i) 必存在m阶可逆矩阵，和n阶可逆矩阵，使得 (ii) 必存在m阶可逆矩阵，和n阶可逆矩阵，使得 .命题2.5.1 设为可逆矩阵，则可对作有限次初等行变换将化为单位矩阵。引理2.6.1 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。引理2.6.2 任一矩阵都可经过有限次初等行变换化为一个阶梯形矩阵。定理2.6推论 设是n阶矩阵，则可逆 .命题2.6.1 命题2.6.2 .命题 2.6.3 当，中矩阵分为个等价类；当，中矩阵分为个等价类。命题2.6.4 设是矩阵，则 存在使 存在使 .也即，有左逆列满秩；有右逆行满秩。证明：我们证：有左逆列满秩。即，存在使。：因为是矩阵，且，所以由教材P60定理2.3.由教材P65定理2.5的推论3存在阶可逆矩阵与阶可逆矩阵使 注意到 令，则是的左逆： 。：设存在使。因为是矩阵，所以有 又由教材p100例6 但已知，于是我们有 所以，由 ， ， 。同理可证：有右逆行满秩。常用分块求逆公式：可逆可逆， 且可逆可逆， 且设可逆，则有第三章 线性方程组与向量的线性相关性定理3.3推论1 设，则线性无关；线性相关 .定理3.3推论2 设是n阶方阵，令，则线性无关；线性相关 .命题3.3.1 如果对矩阵只做初等行变换化为矩阵，则的列向量组与的列向量组有相同的线性关系。具体地说：设(i) 线性无关线性无关。(ii) .注：命题3.3.1可简单地表为：矩阵的初等行变换不改变列的线性关系。命题3.3.2 矩阵的初等列变换不改变行的线性关系。命题3.3.3 设线性无关，则能由线性表示线性相关。命题3.3.4 设能由线性表示，则 表法唯一线性无关。命题3.3.5 设有向量组，则 线性相关可以被一个向量个数小于的向量组线性表示。命题3.3.6 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则 秩(I)秩(II) .命题3.3.7 等价的向量组必等秩（等价必等秩）。命题3.3.8 设有向量组(I)与(II), 已知秩(I)=秩(II)，则(I)与(II)等价(I)可由(II)线性表示或(II)可由(I)线性表示。证明：“”：由教材P91定义3.4得出。“”：设秩(I)=秩(II)=, 设为(I)的极大无关组，设为(II)的极大无关组。设(I)可由(II)线性表示，则 可由线性表示 可由线性表示，于是由教材P97定理3.6 线性相关 而线性无关 由， 和教材P96定理3.5（或用命题3.3.3）可由线性表示， 所以可由线性表示，故与等价，所以(I)与(II)等价。一箭三雕法命题3.3.9 无关组的延长组无关（相关组的缩短组相关）。证明：设有向量组I：向量组II：则向量组II是向量组I的延长组。设线性无关 令 令 由 ， 和教材P94定理3.3 但是的子矩阵，所以 而是矩阵 由， 由和教材P94定理3.3线性无关。命题3.3.10 设线性无关，且 则(i) 与的列向量组有相同的线性关系；(ii) 线性无关的列向量组线性无关 .证明：(i) 设，则(ii) 由(i)推出。命题3.3.11 设是矩阵，则.证明：设， 。由和教材P99定理3.8秩，同理，由 。设是的极大无关组，设是的极大无关组。则可由线性表示，所以由命题3.3.6秩秩 。而由教材P99定理3.8秩, 所以 。命题3.3.12 设是n阶方阵，则可逆满秩可表成有限个初等矩阵的乘积的列（行）向量组线性无关的任一特征值都不为零。证明：可逆（教材P47定理2.2） 满秩（教材P69定义2.14） 的列（行）向量组线性无关（教材P94定理3.3）。又由教材P65定理2.5的推论 可逆可表成有限个初等矩阵的乘积。又由教材P117定理4.1的推论4.1 可逆的任一特征值都不为零。命题3.3.13 .证明：设 。由教材P99定理3.8秩，秩 。设为的极大无关组，设为的极大无关组。由极大无关组与原向量组的等价性能被线性表示，所以，由命题3.3.6秩秩 。又由教材P99定理3.8秩，所以。命题3.3.14 .证明：，由命题3.3.13, 所以。命题3.3.15 设，且线性无关，则一定可以在中找到个向量，使线性无关。证明：取元单位向量组： （参见教材P55例2），则是线性无关的。因为，所以由教材P97定理3.6不能被线性表示。不妨设不能被线性表示，则由命题3.3.3 ,线性无关。如果，任务已完成。如果，则由定理3.6 仍然不能被,线性表示，故存在不能被,线性表示，于是由命题3.3.3 ,线性无关。然后再重复上述考察步骤。由此可知，一定存在使 ， 线性无关。命题3.3.16 设是实矩阵，则 。证明：考虑实系数齐次线性方程组： 与 其中 显然，方程组 的解也是的解。若是的解，则 ，注意到，故必有，即也是的解。从上面所证知方程组与同解，故有相同的基础解系，于是由1P103定理3.10.又。命题3.4.1 设是矩阵，是矩阵，且，则 .命题3.4.2 设为n阶方阵，且，则.命题3.4.3 实系数齐次线性方程组如果有基础解系，则必有全部由实的解向量构成的基础解系。命题3.4.4 。 推广： 。第四章 特征值和特征向量，矩阵的相似对角化命题4.1.1 n阶三角矩阵的特征值就是其主对角线上的n 个元素。推论 对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。命题4.1.2 设，则 .特征值的度数：设是方阵的特征值。的属于的线性无关的特征向量的最大个数称为的度数。命题4.2.1 设是n 阶方阵的特征值，则的度数等于 .定理4.8 设是n 阶方阵的特征值，则的度数不会超过的重数。单特征值：设是n 阶方阵的特征值，如果是的特征多项式的单根（重数为1），则称是的单特征值。多重特征值：设是n 阶方阵的特征值，若的重数，则称为的多重特征值。命题4.2.2 方阵的单特征值的度数是1 .定理4.9 n阶方阵可相似对角化的充要条件是：的每个特征值的度数等于重数。命题4.2.3 n阶方阵可相似对角化的充要条件是：的每个多重特征值的度数等于重数。命题4.2.4 n阶方阵可相似对角化的充要条件是：对于的每一个重特征值，其中，有 .命题4.2.5 主对角线上元素全相等的非对角上（下）三角阵不可相似对角化。命题4.2.6 设是n阶实矩阵，是的一个实特征值，则必有一组属于的线性无关的实特征向量，其向量个数等于的度数。命题4.2.7 (方阵的三角化)(i) 设，若的n个特征值，则存在n阶可逆实矩阵，使 (ii) 设，若的n个特征值为，则存在n阶可逆（复）矩阵，使 .证明：(i) 对作归纳法。当，是实矩阵，即是一个实数，结论显然。设对阶实矩阵结论已成立。现在设，的个特征值 。取的属于的实特征向量。由命题4.2.6知这样的存在。由于，故线性无关。由命题3.3.15可以把扩充成一个线性无关的含个向量的向量组，设为 令，则由命题3.3.12知可逆，且是实矩阵。我们有 。与相似，由教材P120定理4.6知与有相同的特征值，即的特征值也是 。因为是阶实方阵，而，所以也是阶实方阵，于是是阶实方阵。我们有，另一方面 ，这两式的右边应相等 。 所以阶实矩阵的特征值是： 。由归纳假设存在阶实可逆矩阵，使。于是 . 令, 则, 可逆, 且 . 所以对结论仍成立. 所以由归纳法, 结论得证.(ii) 在复数范围内, 用类似方法可证.命题4.2.8 设为n阶方阵，可逆，则 .证明: 命题4.2.9 设为n阶方阵，(i) (ii) (iii) 证明: (i) .(ii) 同理可证. 由(i), (ii)可推得(iii).命题4.2.10 设是n阶方阵，是多项式，若与相似，则与相似。证明: 若与相似，则存在阶可逆矩阵, 使. (教材P120定义4.3)于是, 由命题4.2.8, 所以.命题4.2.11 设为n阶实方阵，的全部特征值都是实数。是实系数多项式，则也是n阶实方阵，其全部特征值是，且都是实数。证明：由于为n阶实方阵，是实系数多项式，且都是实数 也是n阶实方阵， 都是实数。由已知条件和命题4.2.7存在阶可逆实矩阵，使 由命题4.2.8 由命题4.2.9 由， ， 由命题4.1.1的全部特征值是，而与相似，故由教材P120定理4.6的全部特征值是 .命题4.2.12 设为n阶方阵, 是多项式, (i) (ii) (iii) 这里表示相似关系。证明：(i) 已知 由和命题4.2.10 由命题4.2.9 由， 。同理可证(ii)与(iii) 。命题4.2.13 设n阶矩阵可逆，且的全部特征值为，则的全部特征值为 .证明：因为可逆，所以由教材P117推论4.1由已知条件和命题4.2.7存在阶可逆矩阵，使 而 由命题2.4.2 由， ， 由命题4.1.1的全部特征值是 。而与相似，故由教材P120定理4.6的全部特征值为 。命题4.2.14 设n阶矩阵可逆，且的全部特征值为，则的全部特征值为 .证明：由命题4.2.13的全部特征值为 由教材P47定理2.2 由，和命题4.2.11的全部特征值为 .命题4.3.1 1阶正交矩阵就是1和 .命题4.3.2 是正交矩阵是正交矩阵。命题4.3.3 第一类初等矩阵是正交矩阵。命题4.3.4 设是实矩阵，则(i) 是正交矩阵且 ；(ii) 是正交矩阵且 .关于复数的一些性质的复习是虚数单位。 .的共轭： 当 . .是实数 .矩阵的共轭令表示复数域，考虑复矩阵，其中 .定义：， 即 .与同型。 .共轭矩阵的性质(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) 如可逆，则(vii) 是实矩阵(viii) 设，则，,且 .命题4.3.5