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文档简介

1. 求证:方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.证明必要性:若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,则即解得k2.充分性:当k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1,x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10,x110,x210.x11,x21.综上可知,方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.2. 求关于x的方程ax2x10至少有一个负实根的充要条件解当a0时,解得x1,满足条件;当a0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则a0;若方程有两个负的实根,则必须满足0a.综上,若方程至少有一个负的实根,则a.反之,若a,则方程至少有一个负的实根因此,关于x的方程ax2x10至少有一个负实根的充要条件是a.3. 给出下列命题:命题“若b24acb0,则0”的逆否命题;“若m1,则mx22(m1)x(m3)0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为 答案解析否命题:若b24ac0,则方程ax2bxc0(a0)有实根,真命题;逆命题:若ABC为等边三角形,则ABBCCA,真命题;因为命题“若ab0,则0”是真命题,故其逆否命题为真;逆命题:若mx22(m1)x(m3)0的解集为R,则m1,假命题,因为得m.所以应填.4. 已知p:x1,q:(xa)(xa1)0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 答案0,解析(xa)(xa1)0得xa1或xa,所以q:axa1,而p是q的充分不必要条件,所以有 或,得0a.5. 求证:一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明充分性:(由ac0推证方程有一正根和一负根)ac0.方程一定有两不等实根,设为x1,x2,则x1x20,方程的两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性:(由方程有一正根和一负根推证ac0)方程ax2bxc0有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x20,即ac0,综上可知,一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0两种情况,当xy0时,不妨设x0,得|xy|y|,|x|y|y|,等式成立当xy0,即x0,y0或x0,y0,y0时,|xy|xy,|x|y|xy,等式成立当x0,y0时,|xy|(xy),|x|y|xy(xy),等式成立总之,当xy0时,|xy|x|y|成立必要性:若|xy|x|y|且x,yR,得|xy|2(|x|y|)2,即x2

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