《数学的产生于发展》PPT课件.ppt

第三章数学的产生与发展 第一节数学的产生与发展第二节近代数学的发展第三节现代数学的发展 第一节数学的产生与发展一 数学的萌芽阶段 一 巴比伦数学巴比伦人擅长计算 在出土的泥版中 刻有乘法表 平方根表 倒数表等 巴比伦人已具备较高的解题技巧 能接一些一元二次 多元一次和少数三 四次方程 几何上能求一些面积和体积 二 埃及数学对数学的贡献 归纳起来在以下几个方面 建立了基本的四则运算法则 具备了算术级数和几何级数的知识 能处理包括一次方程和某些类型的二次方程的问题 掌握了关于平面图形和立体图形的求积方法 三 中国数学出土的甲骨文表明 中国商代就出现了用十进数表示大数的方法 二 常量数学阶段 一 古希腊数学的先驱泰勒斯被称为第一个几何学家 他确立了和证实了为人们公认的第一批几何定理 1 圆为它的任一直径所平分 2 半圆的圆周角是直角 3 等腰三角形两底角相等 4 相似三角形的各对应边成比例 5 若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等 二 古希腊数学的标志欧几里得和阿基米德为古希腊做出了重大贡献 三 中世纪的中国数学公元前2世纪西汉时期的 周髀算经 主要成就是分数运算 勾股定理等数学问题及其在天文 生产中的应用 公元前1世纪的 九章算术 采用问题集的形式 涉及算术 初等代数 初等几何等多方面内容 公元3世纪魏晋时期 赵爽和刘徽等人在中国数学史上最早对数学定理和公式进行证明 公元263年 刘徽作 九章算术注 创立了割圆术 公元5世纪南北朝时期 祖冲之父子大大推进了刘徽的数学思想和方法 宋元时期 涌现出数学 宋元四大家 杨辉 秦九韶 李冶 朱世杰 为数学发展做出了重要贡献 四 印度数学 绳法经 五 阿拉伯数学花剌子米 约780 850 是对欧洲数学影响最大的数学家 他在 还原与对消计算概要 一书中记述了800多个问题 阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术 三角学在阿拉伯人的研究和努力下发展为独立的学科 巴塔尼在他的著作中 星的科学 创立了系统的三角术语 如正弦 余弦 正切 余切等 他发现了一系列的三角函数关系 天文学家艾卜勒外法最早引入正割函数和余割函数 并得出三角函数的一些重要公式 第二节近代数学的发展近代数学的建立一 解析几何的创立笛卡尔在1637年出版的 科学中正确运用理性和追求真理的方法论 中 比较全面地叙述了解析几何的基本思想和主要观点 二 微积分的创立微积分的诞生 是全部数学史中的一个伟大的创举 追溯一下历史就可发现 早在微积分诞生之前的2000多年 就已经有了它的萌芽 比如 古代的人民用方砖砌圆 我国庄子的 一尺之棰 日取其半 万世不竭 魏晋时刘徽的 割圆术 祖恒原理 等等 都涉及到以 直 代 曲 的极限观念 属于微积分的朴素思想 阿基米德更可称为是微积 分学的先驱 他不仅成功地将 穷竭法 应用于求像抛物线弓形那样复杂的曲边形的面积中 而且在求积时应用了级数有限项之和所成序列的近似法 还首次提出了现在所谓的上积分与下积分的概念等 但是真正形成微积分思想是17世纪后半叶 牛顿 莱布尼兹总结和发展了前人的工作 几乎同时建立了微积分的方法和理论微积分的起源 主要是力学与几何两大类问题 已知变速运动的路程为时间的函数 求瞬时速度及加速 度 求曲线的切线等 这类问题的数学抽象化 即微分学 已知变速运动的速度为时间的函数 求运动物体通过的路程 求曲线围成的面积等 这类问题的数学抽象化 即积分学 英国著名数学家 物理学家牛顿 Newton 1643 1727 从研究物理问题出发创立了微积分 1665 1666 牛顿称之为 流数术理论 他的微积分的思想最早出现在1665年5月20日的一 份手稿中提到 流数术 这一天可以作为微积分诞生的日子 而微积分的思想公开发表于1687年他的巨著 自然哲学的数学原理 中 牛顿的 流数术 中 有三个重要的概念 流动量 流动率 瞬 牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型 把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量 即以时间为独立变数的函数 生长中的量 称为流动量 流动率是流动量的变化速度 即变化率 生长率 称为导数 所谓 瞬 这个 概念 如牛顿所说是一种刚刚产生的无限小的量 如一个无限小的时间间隔称为一个瞬 牛顿把全部微积分问题分为两大类 他用运动学上的术语表达为 速度 与 路程 速度 相当于现在的导函数 路程 相当于现在的原函数 时间 被简单地作为所有变量的公共自变量 流数术所提出的中心问题是 已知连续运动的路程 求给定时刻的速度 即微分法 已知运动速度 求给定时间内经过的路程 即积分法 牛顿专论 微积分的著作有两部 第一部正式的 系统的论述流数术的重要著作是 流数术和无穷级数 于1671年写成 在1736年才正式出版 另一部著作是 曲线求积论 于1676 1691年写成 在1704年出版 用字母x y z 表示流动量 简称为流量 用加点字母x y z 表示流动率 称为流数 或称为速度 用字母 表示一个瞬 德国数学家莱布尼兹 LeIbniz 1646 1716 从儿何角度出发独立地创立了微积分 1675 1676 莱布尼兹当时把微积分称为 无穷小算法 他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中 1684年他在 教师学报 杂志上发表了微分法的论文 一种求极大值 极小值和切线的新方法 它也适用于无理量 以及这种新方法的奇妙类型的计算 这是历史上最早发表的关于微积分的文章 1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文 潜在的几何与不可分量和无限的分析 他是历史上的符号创造家之一 用df表示微分 拉丁文叫differentia即 细分 的第一个字母 r表示导数 dx 表示n阶微分 表示积分 拉丁文summa即 求和 的第一个字母s的拉长变形 在数学史上 关于微积分创立的优先权问题发生了一场激烈的争论 英国皇家学会为此成立了专门的评判委员会 经过长时间的调查 裁定牛顿与莱布尼兹分别独立地创立了微积分 牛顿的 流数术 与莱布尼兹的 无穷小算法 只是名称不同 实质是一回事 他们创立微积分的途径和方法不同 牛顿主要是在力学研究的基础上 运用几何方法来研究微积分 莱布尼兹主要是在 研究曲线的切线和面积问题上 运用分析方法引进微积分的概念 他们各有特点 牛顿在微积分的应用方面处理得较好 主要结合运动学 莱布尼兹对表达形式所采用的符号运用得较好 因此将微积分基本定理称为 牛顿 莱布尼兹公式 三 对数的创立英国数学家纳皮尔发明了对数方法 对数是中学初等数学中的重要内容 那么当初是谁首创 对数 这种高级运算的呢 在数学史上 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家 纳皮尔 Napier 1550 1617年 男爵 在纳皮尔所处的年代 哥白尼的 太阳中心说 刚刚开始流行 这导致天文学成为当时的热门学科 可是由于当时常量数学的局限性 天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的 天文数字 因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者 为了简化计算 他多年潜心研究大数字的计算技术 终于独立发明了对数 当然 纳皮尔所发明的对数 在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样 在纳皮尔那个时代 指数 这个概念还尚未形成 因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样 通过指数来引出对数 而是通过研究直线运动得出对数概念的 那么 当时纳皮尔所发明的对数运算 是怎么一回事呢 在那个时代 计算多位数之间的乘积 还是十分复杂的运算 因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法 让我们来看看下面这个例子 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 这两行数字之间的关系是极为明确的 第一行表示2的指数 第二行表示2的对应幂 如果我们要计算第二行中两个数的乘积 可以通过第一行对应数字的加和来实现 比如 计算64 256的值 就可以先查询第一行的对应数字 64对应6 256对应8 然后再把第一行中的对应数字加和起来 6 8 14 第一行中的14 对应第二行中的16384 所以有 64 256 16384 纳皮尔的这种计算方法 实际上已经完全是现代数学中 对数运算 的思想了 回忆一下 我们在中学学习 运用对数简化计算 的时候 采用的不正是这种思路吗 计算两个复杂数的乘积 先查 常用对数表 找到这两个复杂数的常用对数 再把这两个常用对数值相加 再通过 常用对数的反对数表 查出加和值的反对数值 就是原先那两个复杂数的乘积了 这种 化乘除为加减 从而达到简化计算的思路 不正是对数运算的明显特征吗 经过多年的探索 纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著 奇妙的对数定律说明书 向世人公布了他的这项发明 并且解释了这项发明的特点 所以 纳皮尔是当之无愧的 对数缔造者 理应在数学史上享有这份殊荣 伟大的导师恩格斯在他的著作 自然辩证法 中 曾经把笛卡尔的坐标 纳皮尔的对数 牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明 法国著名的数学家 天文学家拉普拉斯 PierreSimonLaplace 1749 1827 曾说 对数 可以缩短计算时间 在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍 四 概率论的诞生17世纪中叶 法国数学家帕斯卡 费马以及荷兰数学家惠更斯等人基于排列组合的方法 探讨了一些组合概率方面的问题 概率论是一门应用非常广泛的学科 在数学史上 它的产生是以帕斯卡和费马在1654年的七封通信为标志的 由于这些信件中所解决的问题多是与赌博有关的点数问题 因此人们总是把概率论的产生归功于赌博这项机遇游戏 但考古学发现告诉我们 赌博游戏早在文明初期就已经存在了 迄今已有几千年的历史 而概率论从诞生至今不过三百余年 这说明赌博并不是概率论产生的决定性条件 在从赌博出现到概率论产生之间的这段 空 白 期 必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中 那么这些因素是什么 换句话说 需要具备哪些先决条件 概率论才能得以形成 一 独立随机过程的出现对概率论而言 两个最主要的概念就是独立性和随机性 1 概率论是从研究古典概型开始的 它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程 通过对这些过程中出现的问题的解决 概率理论体系才逐渐地建立起来 因此要考察概率论的产 生条件 我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解 事实上 这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了 那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具 将一个或多个趾骨投掷出去 趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见 由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性 而每次投掷的结果也互不影响 这与我们今天投掷骰子的基本原理相当 因此趾骨可以被看作是骰子的雏形 但是由于趾骨形状的规则性较差 各种结果出现的机率不完全相同 即不具备等可能性 所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程 加之趾骨作为一种占卜工具 其本身具有神圣的地位 普通人不可能轻易使用 这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识 随着社会的进步和文明的发展 骰子变得越来越普遍 不仅数量增多 规则性也日益精良 此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具 从原理上看 只要一枚骰子是质地均匀的 它就可以产生一系列标准的独立随机过程 这些过程具备良好的性质 独立性 随机性 等可能性 是进行概率研究的理想对象 如果经常接触这些随机过程 就很有可能从中发现某些规律性 实际上 通 过对骰子的研究我们确实发现了一些有趣的现象 在考古出土的骰子当中 有一些被证明是用于赌博的工具 它们的形状规则而质地却不均匀 也就是说 骰子的重心并不在其几何中心 可以想像 如果骰子的某一面较重 则其对面朝上的机率就会增大 这种骰子明显是为了赌博时用于作弊 而从另一个角度看 如果古代人知道质地不均匀的骰子产生各个结果的可能性不同 那么他们必定清楚一个均匀的骰子产生任何一个结果的机率是相等的 也就是说 经常从事赌博的人必然可以通过大量的游戏过程 意识到掷骰子所得到的结果具有某种规律性 并且这种规律性还可以通过改变骰子的质地而得到相应的改变 虽然古代人的这些意识还只停留在经验总结的水平上 却不得不承认这是一种最原始的概率思想 赌博游戏存在的时间之长 范围之广 形式之多令人惊讶 但有如此众多的人沉迷于这种游戏活动 也在客观上积累了大量的可供学者进行研究的随机过程 更为重要的是 在进行赌博的过程中 或许是受到经济利益的驱使 已经开始有人试图解开骰子的奥秘 意大利数学家卡尔达诺就是其中的一位 他本人是个大赌徒 嗜赌如命 但他却具有极高的数学天分 在赌博的过程中 卡尔达诺充分发挥了他的数学 才能 研究可以常胜不输的方法 据说他曾参加过这样一种赌法 把两颗骰子掷出去 以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容 那么 赌注下在多少点上最有利 两个骰子朝上的面共有36种可能 点数之和分别为2 12共11种 从上图可知 7位于此六阶矩阵的对角线上 它出现的概率为6 36 1 6 大于其他点数出现的概率 因此卡尔达诺预言说押7最好 这种思想今天看来很简单 但在当时却是很杰出的 他还以自己丰富的实践经验为基础 写成了全面探讨赌博的 机遇博奕 LiberdeLudoAleae英译为TheBookofGameofChance 一书 书中记载了他研究赌博的全部成果 并且明确指出骰子应为 诚实的 honest 即六个面出现的机会相等 以便在此基础上研究掷多粒骰子的等可能结果数 2 这些实例充分说明 赌博曾对概率论的产生起过积极的作用 这可能就是人们在谈到概率论时总是把它与赌博联系在一起的缘故吧 但是我们应该认识到 赌博的价值并不在于 其作为一种游戏的娱乐作用 而在于这种机遇游戏的过程实际上就是良好的独立随机过程 只有出现了独立随机过程 概率论才有了最初的研究对象 而概率论也的确是在解决机遇游戏中出现的各种问题的基础上建立起自己的理论体系的 因此在概率论的孕育期 可以作为一种模型进行研究的机遇游戏过程即独立随机过程的出现是概率论得以产生的一个重要前提条件 二 社会需求对概率论形成的促进作用与前面述及的几点因素相比 社会因素显然不能作为概率论产生的内在因素 而只能被当作是一种外在因素 但从概率论发展的过程来看 作为一种与实际生活紧密相关的学科 其理论体系在相当大的程度上是基于对社会和经济问题的研究而形成的 因此对实际问题的解决始终是概率理论形成的一种外在动力 在这一点上 社会因素与概率理论形成了一种互动 的关系 它们需要彼此相结合才能得到各自的良好发展 从17 18世纪概率论的初期阶段来看 社会经济的需求对概率论的促进作用是相当巨大的 在社会需求中 最主要的是来自保险业的需求 保险业早在奴隶社会便已有雏型 古埃及 古巴比伦 古代中国都曾出现过集体交纳税金以应付突发事件的情形 到了14世纪 随着海上贸易的迅速发展 在各主要海上贸易国先后形成了海上保险这种最早的保险形式 其后 火灾 保险 人寿保险也相继诞生 各种保险虽形式各异 但原理相同 都是靠收取保金来分担风险的 以海上保险为例 经营海上贸易的船主向保险机构 保险公司 交纳一笔投保金 若货船安全抵达目的地 则投保金归保险机构所有 若途中货船遭遇意外而使船主蒙受损失 则由保险机构根据损失情况予以船主相应的赔偿 这样做的目的是为了将海上贸易的巨大风险转由两方 即船主与保险公司 共同承担 从这个过程中可以看出 对保险公司而言 只要船只不出事 那么盈利将是肯定的 对船主而言 即使船只出事 也可以不必由自己承担全部损失 从性质上看 从事这种事业实际上就是一种赌博行为 两方都面临巨大风险 而这种涉及不确定因素的随机事件恰恰属于概率论的研究范围 代写工作总结由于保险业是一项于双方都有利的事业 因此在16 17世纪得到了快速的发展 欧洲各主要的海上贸易国如英国 法国 意大利等都纷纷成立保险公司 以支持海上贸易的发展 此外还出现了专门为他人解决商业中利率问题的 精算师 不过在保险业刚起步的时候 并没有合理的概率理论为保金的制定提供指导 最初确定投保金和赔偿金的数额全凭经验 因此曾经出现过很长时间的混乱局面 而这样做的直接后果就是不可避免地导致经济损失 例如在17世纪 养老金的计算就是一个焦点问题 荷兰是当时欧洲最著名的养老胜地和避难场所 但其养老金的 计算却极为糟糕 以致政府连年亏损 这种状况一直持续到18世纪 概率理论有了相当的发展 而统计工作也日渐完善之后 情况才有所改观 在结合大量统计数据的前提下 运用概率理论进行分析和计算 由此得到的结果才更有可能保证投资者的经济利益 我们可以举一个人寿保险的例子来说明概率理论是如何应用到保险事业中来的 2500个同年龄段的人参加人寿保险 每人每年1月交投保费12元 如果投保人当年死亡 则其家属可获赔2000元 假设参加投保的人死亡率为0 002 那么保险公司赔本的概率是多少 从直观上看 如果当年的死亡人数不超过15人 则保险公司肯定获利 反之 则赔本 不过单凭经验是绝对不行的 必需有一套合理的理论来帮助处理此类问题 根据所给条件 每年的投保费总收入为2500 12 30000 元 当死亡人数n 15时不能盈利 令所求之概率为P 由二项分布的计算公式可以得出P n 15 0 000069 也就是说 如果按以上条件进行投保并且不出现特别重大的意外 则保险公司有几乎百分之百的可能性会盈利 这个问题就是通过将概率理论运用到关于人口死亡的统计结果之上从而得到解决的 这个简单的例子告诉我们 概率理论对保险业的发展有着相当重要的指导作用 根据统计结果来确定在什么样的条件下保险公司才能盈利是概率理论对保险业最主要的贡献 它可以计算出一项保险业务在具备哪些条件的情况下会使保险公司获得收益 并进而保证保险公司的经营活动进入良性循环的轨道 从另一方面看 最初保险业的快速发展与 其不具有基本的理论依据是极不协调的 这很容易导致保险公司由于决策失误而蒙受经济损失 因此保险事业迫切需要有合理的数学理论作为指导 在当时的社会环境下 由科学家参与解决实际问题是非常有效的 而由保险所产生的实际问题确实曾吸引了当时众多优秀数学家的目光 在1700 1800年间 包括欧拉 伯努利兄弟 棣莫弗 deMoivre 高斯等在内的许多著名学者都曾对保险问题进行过研究 这些研究的成果极大地充实了 概率理论本身 可以说 经济因素和概率理论在彼此结合的过程中形成了良好的互动关系 一方面数学家们可以运用已有的理论解决现实问题 另一方面 新问题的出现也大大刺激了新理论的诞生 概率论的应用为保险业的合理化 规范化提供了保证 正是由于有了概率论作理论指导 保险业的发展才能够步入正轨 反过来 保险业所出现的新的实际问题 也在客观上促进 了概率理论的进一步完善 这样 对于概率论的发展来说 保险业的需求便顺理成章地成为了一个巨大的动力 第三节现代数学的发展一 几何学革命罗巴切夫斯基对非欧几何学的贡献 1893年 在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像 这位数学家就是俄国的伟大学者 非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基 H N JIoqaheBCKNN 1792 1856 非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果 它的创立 不仅带来了近百年来数学的巨大进步 而且对现代物理学 天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响 可是 这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的段时间内 不但没 能赢得社会的承认和赞美 反而遭到种种歪曲 非难和攻击 使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认 失败的启迪罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中 从失败走上他的发现之路的 欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一 它是由古希腊学者最先提出来的 公元前3世纪 希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得 Euclid 约公元前330年 前275 集前人几何研究之大成 编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著 几何原本 这部著作的重要意义在于 它 是用公理法建立科学理论体系的最早典范 在这部著作中 欧几里得为推演出几何学的所有命题 一开头就给出了五个公理 适用于所有科学 和五个公设 只应用于几何学 作为逻辑推演的前提 几何原本 的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都是很满意 唯独对第五个公设 即平行公理 提出了质疑 第五公设是论及平行线的 它说的是 如果一直线和两直线相交 所构成的两个同侧内角之和小于两直角 那么 把这两直线延长 它们一定在那两内角的侧相交 数学家们并不怀疑这个命题的真实性 而是认为它无论在语句还是在内容上都不大像是个公设 而倒像是个可证的定理 只是由于欧几里得没能找到它的证明 才不得不把它放在公设之列 为给出第五公设的证明 完成欧几里得没能完成的工作 自公元前3世纪起到19世纪初 数学家们投入了无穷无尽的精力 他们几乎尝试了各种可能的方法 但都遭到了失败 罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的 开始 他也是循着前人的思路 试图给出第五公设的证明 在保存下来的他的学生听课笔记中 就记有他在1816 1817学年度向何教学中给出的几个证明 可是 很快他便意识到自己的证明是错 误的 前人和自己的失败从反面启迪了他 使他大胆思索问题的相反提法 可能根本就不存在第五公设的证明 于是 他便调转思路 着手寻求第五公设不可证的解答 这是一个全新的 也是与传统思路完全相反的探索途径 罗巴切夫斯基正是沿着这个途径 在试证第五公设不可证的过程上发现一个新的几何世界的 那么 罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢 又是怎样从中发现新几何世界的呢 原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法 反证法 这种反证法的基本思想是 为证 第五公设不可证 首先对第五公设加以否定 然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统 并由此展开逻辑推演 假设第五公设是可证的 即第五公设可由其它公理公设推演出来 那么 在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾 至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾 反之 如果推演不出矛盾 就反驳了 第五公设可证 这一假设 从而也就间接证得 第五公设不可证 依照这个逻辑思路 罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理 过平面上直线外一点 只能引一条直线与已知直线不相交 作以否定 得到否定命题 过平面上直线外一点 至少可引两条直线与已知直线不相交 并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演 在推演过程中 他得到一连串古怪的命题 但是 经过仔细审查 却没有发现它们之间含有任何罗辑矛盾 于是 远见卓识的罗巴切夫斯基 大胆断言 这个 在结果中并不存在任何矛盾 的新公理系统可构成一种新的几何 它的罗辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美 而这个无矛盾的新几何的存在 就是对第五公设可证性的反驳 也就是对第五公设不可证性的逻辑证明 由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物 罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为 想象几何 在冷漠中宣告新几何诞生1826年2月23日 罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文 几何学原理及平行线定理严格证明的摘要 这篇首创性论文的问世 标志着非欧几何的诞生 然而 这一重大成果刚一公诸于世 就遭到正统数学家的冷漠和反对 参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家 其中著名的数学家 天文学家西蒙诺 A M C MOHOB 有后来成为科学院院士的古普费尔 A R KYI I ep 以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼 H p a Mah 在这些人的心目中 罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家 可是 出乎他们的意料 这位年轻的教授在简短的开场白之后 接着说的全是 一些令人莫明其妙的话 诸如三角形的内角和小于两直角 而且随着边长增大而无限变小 直至趋于零 锐角一边的垂线可以和另一边不相交 等等 这些命题不仅离奇古怪 与欧几里得几何相冲突 而且还与人们的日常经验相背离 然而 报告者却认真地 充满信心地指出 它们属于一种逻辑严谨的新几何 和欧几里得向何有着同等的存在权利 这些古怪的语言 竟然出自一个头脑清楚 治学严谨的数家教授之口 不能不 使与会者们感到意外 他们先是表现现一种疑惑和惊呆 不多一会儿 便流露出各种否定的表情 宣讲论文后 罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论 提出修改意见 可是 谁也不肯作任何公开评论 会场上一片冷漠 一个具有独创性的重大发现作出了 那些最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专家 却因思想上的守旧 不仅没能理解这一发现的重要意义 反而采取了冷谈和轻慢的态度 这 实在是一件令人遗憾的事情 会后 系学术委员会委托西蒙诺夫 古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组 对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定 他们的态度无疑是否定的 但又迟迟不肯写出书面意见 以致最后连文稿也给弄丢了 在孤境中奋斗终生罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域 但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认 就在他去世的前两年 俄国著名数学家布尼雅可夫斯基 yh kobck 1804 1889 还在其所著的 平行线 一书中对罗巴切夫斯基发难 他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性 来否定非欧几何的真实性 英国著名数学家莫尔甘 Morgan 1806 1871 对非 欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了 他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说 我认为 任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何 莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度 在创立和发展非欧几何的艰难历程上 罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者 就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯 Gauss 1777 1855 也不肯公开支持他的工作 高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠 负有 欧洲数学之王 的盛名 早在1792年 也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年 他就已经产生了非欧几何思想萌芽 到了1817年已达成熟程度 他把这种新几何最初称之为 反欧几何 后称 星空几何 最后 称 非欧几何 但是 高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对 会由此影响他的尊严和荣誉 生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世 只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中 当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作 平行线理论的几何研究 1840年 后 内心是矛盾的 他一方面私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是 俄国最卓越的数学家之一 并下决心学习俄语 以便直 接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作 另一方面 却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白 也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论 他积极推选罗巴切夫斯基为哥延根皇家科学院通讯院士 可是 在评选会上和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中 他对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献 创立非欧几何却避而不谈 高斯凭任在数学界的声望和影响 完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力 促进学术界对非欧几何的公认 然而 在顽固的保守势力面前他却丧失了斗争的勇气 高斯的沉默和软弱表现 不便严重限制了他在非欧几何研究上所能达到的高度 而且客观上助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击 晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重 他不仅在学术上受到压制 而且在工作上还受到限制 按照当时俄国大学委员会的条例 教授任职的最高斯限是30年 依照这个条例 1846年罗巴切夫斯基向人民教育部提出呈文 请求免去他在数学教研室的工作 并推荐让位给他的学生A 波波夫 人民教育部早就对不顺从他们意志办事的罗巴切夫斯基抱有成见 但又找不到合适的机会免去他在喀山大学的校长职务 罗巴切夫 斯基辞去教授职务的申请正好被他们用以作为借口 不仅免去了他主持教研室的工作 而且还违背他本人的意愿 免去了他在喀山大学的所有职务 被迫离开终生热爱的大学工作 使罗巴切夫斯基在精神上遭到严重打击 他对人民教育部的这项无理决定 表示了极大的愤慨 罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年 他从来没有动摇过对新几何远大前途的坚定信念 为了扩大非欧几何的影响 争取早日取得学术界的承认 除了用俄文外 他还用法文 德文发现了自己的著作 同时还精心设计了检验大尺度空间几何特性的天文观测方案 不仅如此 他还发展了非欧几何的解析和微分部分 使之成为一个完整的 有系统的理论体系 在身患重病 卧床不起的困境下 他也没停止 对非欧几何的研究 他的最后一部巨著 论几何学 就是在他双目失明 临去世的前一年 口授他的学生完成的 历史是最公允的 因为它终将会对各种思想 观点和见解作出正确的评价 1868年 意大利数学家贝特拉米 Beltrami 1835 1899 发表了一篇著名论文 非欧几何解释的尝试 证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面 例如拟球曲面 上实现 这就是说 非欧几何命题可以 翻译 成相应的欧几里得几何命题 如果欧几里得几何没有矛盾 非欧几何也就自然没有矛盾 人们既然承认欧几里是没有矛盾的 所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了 直到这时 长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究 罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美 他本人则被人们赞誉为 几何学中的哥白尼 二 群论的建立人们在寻找五次方程的解法中 一个新的数学分支 群论诞生了 伽罗瓦是第一个使用群的系统地研究群的数学家 他在19岁时 就使用群的思想解次了五次方程的问题 伽罗瓦1811年10月26日出生在法国巴黎一个小市镇上 他小时候和高斯正好相反 根本没有人认为他是 神童 他的教师曾说伽罗瓦 没有智慧 不然就是把智慧藏得太深了 我没法去发现 有的教师干脆说 伽罗瓦 什么也不懂 其实伽罗瓦在中学时代就对数学表现了非凡的天赋 他从16岁起就致力于五次方程各五次以上方程的根式解法的研究 教科书满足不了人求知的欲望 他就直接深入学习和了解数学专著 前辈数学家勒让德的 几何原理 拉格朗日的 论方程的代数解法 解析函数论 欧拉和高斯等数学大师的著作使他乐而忘返 尤其是对同辈挪威数学家阿贝尔成果的研究 更直接影响了伽罗瓦群论思想的产生 阿贝尔是一位富于创造才能的数学家 当他还是中学生时就开始着手探讨高次方程的可解性问题 但命运不济 他写的关于椭圆函数的论文被巴黎科学院打入了冷宫 阿贝尔并没有放弃 终于又在不久以后发表论文证明了一般五次以上的代数方程 它们的根式解法是不存在的 只有某些特殊的五次以上的方程 可以用根式解法 阿贝尔的成果轰动了世界 使延续了3个世纪的五次方程难题解决了 但由于过于劳累 年仅 27岁的阿贝尔就在贫病交加中逝世了 同时 也留下了问题给世人 究竟哪些方程可用根式解 哪些不能 完成这个艰巨任务的就是伽罗瓦 伽罗瓦17岁开始研究方程可解性问题 提出群的用于处理可解性问题 获得了重大成果 但他性格倔强 比阿贝尔更加生不逢时 3次把研究论文交法国科学院审查 都未能得到及时的肯定 不仅如此 由于伽罗致词热烈支持和参与法国 七月革命 人在进入巴黎高等师范学校的第一年就被开除学籍 之后又两次被抓进监狱 获释后的一个月 1832年5月31日 在和反动军官的决斗中 伽罗瓦被击中要害 第二天 1832年 5月31日早晨 一颗数学新星殒落了 死时还不满21岁 决斗前夕 伽罗瓦把他的研究工作写成信件 托朋友转交 百科评论 杂志 然而不幸的是 伽罗瓦的群论思想由于超越时代太远而未及时地被人们理解和接受 以致埋没了10年多 幸好手稿保存下来 1843年9月 法国数学家刘维尔重新整理了伽罗瓦的数学手稿 向法国科学院作了报告 并于1846年 在他自己办的数学杂志上发表了它 这才引起了数学界的注意 数学家们在伽罗瓦群论思想的基础上 开始追踪 研究和发展 逐渐开创了一个新的数学分支 抽象代数学 它包括群论 环论域论 布尔代数等 伽罗瓦是不幸的 生前他没有得到他应有的荣誉和地位 但人那颗被冷遇的倍爱创伤的心 却始终充满着对未来的热情 期待和对追求 在20世纪 数学家们开始研究一种新型结构叫 环 注 环是一个集合群 其中的元素满足加法的交换律和结合律 乘法的结合律及加法 与乘法的分配律 在20世纪的前30多年中 由于德国数学家诺特 EmmyNoether 1882 1935年 的工作 环的结构的研究变得非常重要 环论往往相当抽象 虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素 但是由于他们对矩阵的理解非常深刻 给出了许多卓有成效的解释 所以有时把一个特殊的环表示成一个n n矩阵的集合 这类矩阵表示 不仅能使数学家们把环 理解成具体的 甚至是可以计算的问题 而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想 这种用矩阵集合表示环或群的方法 已经成为了当代数学 物理学 以及理论化学的一个重要组成部分 三 集合论的诞生集合论在数学中占有一个独特的地位 它的基本概念已渗透到数学的所有领域 按现代数学观点 数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群 环 拓扑空间 或者是可以通过集合来定义的 如自然数 实数 函数 从这个意义上说 集合论可以说是整个现代数学的基础 集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一 是 在19世纪末由德国的康托尔 1845 1918 创立起来的 但是 它萌发 孕育的历史却源远流长 至少可以追溯到两千多年前 1 无穷集合的早期研究集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论 集合作为数学中最原始的概念之一 通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体 例如美国国会图书馆的全部藏书 自然数的全体以及直线上所有点的总体等等 集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的 早在集合论创立之前两千多年 数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题 古希腊的学者最先注意并考察了它们 公元前5世纪 埃利亚学派的芝诺 约公元前490 前430 一共提出45个悖论 其中关于运动的四个悖论 二分法悖论 阿基里斯追龟悖论 飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名 前三个悖论都与无穷直接有关 芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念 但问题的实质却与无穷集合有关 在数理哲学中 有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注 一种是无穷过程 称为潜在无穷 一种是无穷整体 称为实在无穷 希腊哲学家亚里士多德 前384 前322 最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别 这种思想在当今仍有重要意义 他认为只存在潜在无穷 如地球的年龄是潜在无穷 但任意时刻都不是实在无穷 他承认正整数是潜在无穷的 因为任何正整数加上1总能得到一个新数 对他来说 无穷集合是不存在的 哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内 如同下了一道禁令 谁敢冒天下之大不韪 以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久 公元5世纪 拜占庭的普罗克拉斯 410 485 是欧几里德 几何原本 的著名评述者 他在研究直径分圆问题时 注意到圆的一根直径分圆成两个半圆 由于直径有无穷多 所以必须有两倍无穷 多的半圆 为了解释这个在许多人看来是一个矛盾的问题 他指出 任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆 而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆 也就是说 无穷只能是一种观念 而不是一个数 不能参与运算 其实 他这里是接受了亚里士多德的潜无穷的概念 而否认实无穷的概念 对这种对应关系采用了回避的态度 到了中世纪 随着无穷集合的不断出现 部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来 例如 数学家们注意到把两个同心圆上的点用公共半径联结起来 就构成两个圆上的点之间的一一对应关系 近代科学的开拓者伽利略 1564 1642 注意到 两个不等长的线段上的点可以构成一一对应 他又注意到 正整数与它们的平方可以构成一一对应 这说明无穷大有不同的 数量级 不过伽利略认为这是 不可能的 他说 所有无穷大量都一样 不能比较大小 到了十七世纪 数学家把无穷小量引进数学 构成所谓 无穷小演算 这就是微积分的最早名称 所谓积分法无非是无穷多个无穷小量加在一起 而微分法则是两个无穷小量相除 由于无穷小量运算的引进 无穷大模大样地进入数学 虽然它给数学带来前所未有的繁荣和进步 它的基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑 他们对无穷仍然 心存疑虑 这方面以 数学家之王 高斯 1777 1855 的意见为代表 高斯是一个潜在无穷论者 他在1831年7月12日给他的朋友舒马赫尔的信中说 我必须最最强烈地反对你把无穷作为一完成的东西来使用 因为这在数学中是从来不允许的 无穷只不过是一种谈话方式 它是指一种极限 某些比值可以任意地逼近它 而另一些则容许没有限制地增加 这里极限概念只不过是一种潜在的 无穷过程 这里高斯反对那些哪怕是偶尔用一些无穷的概念 甚至是无穷的记号的人 特别是当他们把它当成是普通数一样来考虑时 法国大数学家柯西 1789 1857 也同他的前人一样 不承认无穷集合的存在 他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的事 科学家们接触到无穷 却又无力去把握和认识它 这的确是向人类提出的尖锐挑战 正如大卫 希尔伯特 1862 1943 在他的1926年 论无穷 的讲演中所说的那样 没有任何问题象无穷那样深深地触动人的情感 很少别的观念能象无穷那样激励理智产生富有成果的思想 然而也没有任何其它概念能象无穷那样需要加以阐明 面对 无穷 的长期挑战 数学家们不会无动于衷 他们为解决无穷问题而进行的努力 首先是 从集合论的先驱者开始的 2 集合论的诞生数学分析严格化的先驱波尔查诺 1781 1848 也是一位探索实无穷的先驱 他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人 他明确谈到实在无穷集合的存在 强调两个集合等价的概念 也就是后来的一一对应的概念 他知道 无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体 他认为这个事 实必须接受 例如0到5之间的实数通过公式y 12x 5可与0到12之间的实数构成一一对应 虽然后面的集合包含前面的集合 为此 他为无穷集合指定超限数 使不同的无穷集合 超限数不同 不过 后来康托尔指出 波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的 另外 他还提出了一些集合的性质 并将他们视为悖论 因此 他关于无穷的研究哲学意义大于数学意义 应该说 他是康托尔集合论的先驱 黎曼 1826 1866 是在1854年的就职论文 关于用三角级数表示函数的可能性 中首次提出 唯一性问题 的 大意是 如果函数 x 在某个区间内除间断点外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数 那么这样的三角级数是否是唯一的 但他没有给予回答 1870年海涅 1821 1881 证明 当 连续 且它的三角级数展开式一致收敛时 展开式是唯一的 进一步的问题是 当 具有无穷多个间断点时 唯一性 能否成立 康托尔就是通过对唯一性问题的研究 认识到无穷集合的重要性 并开始从事无穷集合的一般理论研究 1873年11月29日康托尔在给戴德金 1831 1916 的一封信中 终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来 正整数的集合 n 与实数的集合 x 之间能否把它们一一对应起来 同年12月7日 康托尔写信给戴德金 说他已能成功地证明实数的 集体 是不可数的 也就是不能同正整数的 集体 一一对应起来 这个时期应该看成是集合论的诞生日 1874年 康托尔发表了这个证明 不过论文题目换成另外一个题目 论所有实代数数集体的一个性质 因为克洛内克 1823 1891 根本就反对这种论文 他认为这种论文根本没有内容 无的放矢 该文提出了 可数集 概念 并以一一对应为准则对无穷集合进行分类 证明了如下重要结果 1 一切代数数是可数的 2 任何有限线段上的实数是不可数的 3 超越数是不可数的 4 一切无穷集并非都是可数的 无穷集同有穷集一样也有数量 基数 上的区别 康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来 瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨 1859 1919 在他的综合报告中 明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用 这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学 而是真正对数学发展起作用的理论工具 在分组会上 法国数学家阿达玛 1865 1963 也报告 康托尔对他的工作的重要作用 随着时间的推移 人们逐渐认识到集合论的重要性 希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论 是数学天才最优秀的作品 是人类纯粹智力活动的最高成就之一 是这个时代所能夸耀的最巨大的工作 在1900年第二届国际数学家大会上 希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性 并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首 当康托尔的朴素集合论出现一 系列悖论时 克洛内克的后继者布劳威尔 1881 1966 等人借此大做文章 希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布 没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来 四 现代数学的主要成就 一 泛函分析泛函分析 FunctionalAnalysis 是现代数学的一个分支 隶属于分析学 其研究的主要对象是函数构成的空间 泛函分析是由对变换 如傅立叶变换等 的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的 使用泛函作为表述源自变分法 代表作用于函数的函数 巴拿赫 StefanBanach 是泛函分析理 论的主要奠基人之一 而数学家兼物理学家伏尔泰拉 VitoVolterra 对泛函分析的广泛应用有重要贡献 希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类 即对于任意两个希尔伯特空间 若其基的基数相等 则它们必彼此同构 对于有限维希尔伯特空间而言 其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换 对于无穷维希尔伯特 空间而言 其上的任何态射均可以分解为可数维度 基的基数为50 上的态射 所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射 希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是 是否对于每个希尔伯特空间上的算子 都存在一个真不变子空间 该问题在某些特定情况下的答案是肯定的 泛函分析收敛的勒贝格可测函数 所构成的空间 参看Lp空间 十九世纪以来 数学的发展进入了一个新的阶段 这就是 由于对欧几里得第五公设的研究 引出了非欧几何这门新的学科 对于代数方程求解的一般思考 最后建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论 这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件 本世纪初 瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中 出现了把分析学一般化的萌芽 随后 希尔伯特和海令哲来创了 希尔伯特空间 的研究 到了二十年代 在数学界已经逐渐形成了一般分析学 也就是泛函分析的基本概念 由于分析学中许多新部门的形成 揭示出分析 代数 集合的许多概念和方法常常存在相似的地方 比如 代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法 并且解的存在和唯一性条件也极其相似 这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了 泛函分析的产生正是和这种情况有关 有些乍看起来很不相干的东西 都存在着类似的地方 因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知 n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响 这样 就显示出了分析和几何之间的相似的地方 同时存在着把分析几何化的一种可能性 这种可能性要求把几何概念进一步推广 以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间 这时候 函数概念被赋予了更为一般的意义 古典分析中的函数概