《有理函数积分》PPT课件.ppt

2020 3 23 微积分 有理函数积分 1 上课 凑微分法 第一换元 第二换元积分法 分部积分法 规律 被积函数仅含对数或反三角函数 复习 直接积分法 两类换元积分法 分部积分法 直接用公式 被积 函数为两类不同函数之积 u的选择 三多选多 指多 选多 代对选对 代反选反 指弦任选 积分重现 2020 3 23 微积分 有理函数积分 3 例 假分式化为整式与真分式之和 真分式化为最简分式之和 今天专门探讨这类有理函数积分的一般方法 2020 3 23 微积分 有理函数积分 4 两个多项式的商表示的函数 5 5有理函数的积分 一 有理函数的定义 假定分子 分母无公因式 真分式 假分式 利用多项式除法 假分式可化成整式与真分式之和 2020 3 23 微积分 有理函数积分 5 例 难点 真分式 可化为部分分式之和 二 化真分式为部分分式之和 1 部分分式 指如下四种 最简真分式 6 1 真分式的分母中有因式 则分解后为 2 真分式化为部分分式之和的一般规律 特殊地 分解后为 2 分母中有因式 则分解后为 特殊地 分解后为 实系数多项式均可唯一分解成一次因式和二次质因式之积 2020 3 23 微积分 有理函数积分 7 3 部分分式的系数确定 例1 2020 3 23 微积分 有理函数积分 8 取x 0 取x 1 取x 2 并将A C值代入 1 例2 2020 3 23 微积分 有理函数积分 9 例3 即 2020 3 23 微积分 有理函数积分 10 有理函数化为整式与部分分式之和后 只出现三类积分 对积分 2 三 有理函数的积分 一 有理函数定义 二 化真分式为 部分分式之和 1 多项式 2020 3 23 记作a2 讨论积分 3 1 n 1 记作b a b记号同前 再令 上节递推公式 2 n 1 2020 3 23 微积分 有理函数积分 13 综上 1 2 3 三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论有理函数的原函数能用初等函数表示 且积分结果只含有有理分式 对数函数 反正切函数 不含其它类型的函数 注尽管被积函数只要连续就一定存在原函数 初等函数在其定义区间连续 但有的初等函数的原函数却不是初等函数 如 等不能用初等函数表示 通常我们说这些积分是 积不出来 的 2020 3 23 微积分 有理函数积分 14 例4求积分 解 分解见前例2 2020 3 23 微积分 有理函数积分 15 例5求积分 解 分解见前例3 例6求积分 解 P159例13 令x tant 或 上节递推公式 2020 3 23 微积分 有理函数积分 17 例7求积分 解 令 2020 3 23 微积分 有理函数积分 18 2 将真分式分解成部分分式之和 1 将假分式化成多项式和真分式之和 3 逐项积分 注 上述有理函数的积分方法中 确定待定系数比较麻烦 故应优先选择其它简便方法 例 P172 5 5 小结 有理函数的积分 2 积分方法 万能代换 四 三角函数有理式的积分 补充 1 三角函数有理式 由三角函数及常数经有限次四则运算得到的函数 可记为 例 关于t的有理函数的积分 2020 3 23 微积分 有理函数积分 22 注意 上面的方法对三角函数有理式的积分均可积出 但应优先考虑简便解法 如凑微分法 练习 2020 3 23 微积分 有理函数积分 23 2020 3 23 微积分 有理函数积分 24 作业 P1725 2 4 5 7 2020 3